Geometrian Epistemologia

Sisällysluettelo:

Geometrian Epistemologia
Geometrian Epistemologia

Video: Geometrian Epistemologia

Video: Geometrian Epistemologia
Video: Teorema de Thales · Les Luthiers 2024, Maaliskuu
Anonim

Maahantulon navigointi

  • Kilpailun sisältö
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Ystävät PDF-esikatselu
  • Kirjailija- ja viittaustiedot
  • Takaisin alkuun

Geometrian epistemologia

Ensimmäinen julkaistu maanantaina 14. lokakuuta 2013; sisältöversio torstaina 31. heinäkuuta 2017

Geometrinen tieto koskee tyypillisesti kahdenlaisia asioita: määritelmien, lauseiden ja geometriajärjestelmän todisteiden sisältämä teoreettinen tai abstrakti tieto; ja jonkin verran tietoa ulkomaailmasta, kuten ilmaistaan geometriajärjestelmästä otetuilla termeillä. Abstraktin geometrian ja sen käytännön ilmaisun välisen suhteen luonne on myös otettava huomioon.

Tämä essee pitää erilaisia teorioita geometrian, niiden perusteet ymmärrettävyyden, voimassaoloa ja fyysisten tulkitsemiseen kaudella pitkälti ennen kynnyksellä teorioiden erityinen ja yleisen suhteellisuusteorian vuonna 20 : nnen vuosisadan. Osoittautuu, että monimutkainen vuorovaikutus lyhyimmän ja suoran välillä on töissä monissa vaiheissa.

Ennen 19 : nnen vuosisadan ainoa geometria tutkittiin syvällisemmin tai ajatellaan olevan tarkka tai oikea kuvaus fyysisen tilan, ja se oli Euklidinen geometria. 19 th -luvulla itse piti runsaus uuden geometrioita, joista tärkeimpiä olivat projektiivinen geometria ja Epäeuklidinen tai hyperbolinen geometria. Projektiivisella geometrialla voidaan ajatella euklidisen geometrian ei-metristen ja muodollisten puolien syventämistä; ei-euklidinen geometria haasteena sen metrisiin näkökohtiin ja vaikutuksiin. 20-luvun avausvuosiin mennessäluvulla oli ehdotettu erilaisia Riemannian differentiaaligeometrioita, jotka tekivät tarkan käsityksen ei-euklidisesta geometriasta. Myös abstraktien geometrioiden alueella, kuten David Hilbertin ehdottamissa, on tapahtunut merkittävää edistystä. Tästä seuraa, että käsitteet 'geometria' ja 'fyysinen tila' ei ole yksinkertainen merkityksiä 19 th luvulla, ja muuttuvat käsitykset nämä termit eivät seuraavat yksinkertaista mallia hienosäätö. Siksi heidän välisillä suhteillaan on myös monimutkainen historia.

  • 1. Epistemologiset kysymykset Euclidin geometriassa
  • 2. Epistemologiset kysymykset soveltavassa geometriassa

    2.1 Mekaniikan vaikutukset

  • 3. Projektiivinen geometria

    • 3.1 Koordinaattimuunnokset; Kleinian geometria
    • 3.2 Hilbert ja muut aksomaattisessa projisoidussa geometriassa
  • 4. Ei-euklidinen geometria
  • 5. Riemannian geometria

    • 5.1 Geodesics ja yhteydet
    • 5.2 Riemann ja Beltrami sekä tiukka ei-euklidinen geometria
  • 6. Ei-euklidisen geometrian ymmärrettävyys

    • 6.1 Herbartin filosofia
    • 6.2 Helmholtz ja Poincaré
    • 6.3 Poincaré vs. Russell
  • 7. Loppuhuomautukset
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Muut Internet-resurssit
  • Aiheeseen liittyvät merkinnät

1. Epistemologiset kysymykset Euclidin geometriassa

Euclidin esittämän geometrian yksityiskohtainen tarkastelu paljastaa useita ongelmia. On harkittava näitä melko yksityiskohtaisesti, koska tietoteoreettisesti vakuuttava tila Eukleideen Elements oli riitauttamattomaksi lähes kaikki vasta myöhemmin vuosikymmeninä 19 th luvulla. Tärkeimpiä näistä ongelmista ovat epäselvyys suoran ja tason määritelmissä sekä sekavuus lyhyimmän ja suoran välillä geometrisen perusominaisuutena. (Katso monet kommentit, jotka on kerätty Heathin Euclid's Elements -lehdessä.) Vaikutuksia rinnakkaiseen postulaattiin käsitellään erikseen, katso kohta Ei-euklidinen geometria.

Neljä ensimmäistä Euclid's Elements -kirjaa käsittelevät suoria ja ympyröitä, mutta on hyvin tiedossa, että suoran käsitteen määritelmä on vain epätyydyttävämpi. Viivan sanotaan olevan "leveä pituus" ja suoran olevan viiva, "joka on tasaisesti itsestään olevien pisteiden kanssa". Tämä voi auttaa vakuuttamaan lukijoita siitä, että heillä on yhteinen käsitys suoraviivaisesta linjasta, mutta siitä ei ole hyötyä, jos teoriassa luodaan odottamattomia vaikeuksia - kuten näemme.

Niille, jotka päättivät lukea Elementit huolellisesti ja nähdä kuinka tärkeitä termejä käytetään, kävi ilmeiseksi, että tili on tietyllä tavalla huomattavan tarkkoja ja toisillaan puutteellinen. Suorat muodostetaan melkein aina äärellisiksi segmenteiksi, joita voidaan pidentää toistaiseksi, mutta kuten monet kommentoijat huomauttivat, vaikka Euclid totesi, että minkä tahansa kahden pisteen välillä on segmentti, hän ei nimenomaisesti sanonut, että tämä segmentti on ainutlaatuinen. Tämä on virhe ensimmäisen kongruenssilauseen (I.4) todistuksessa, joka sanoo, että jos kahdella kolmiolla on kaksi paria puolia yhtä suuret ja mukana oleva kulma on yhtä suuri, kolmioiden loput sivut ovat yhtä suuret.

Lause I.4 on mielenkiintoinen toisella tavalla. Lauseella I.2 on tarkka ja ei suinkaan itsestään selvä todiste siitä, että tietty linjan segmentti tasossa voidaan kopioida tarkasti yhteen sen päätepisteistä mihin tahansa tason määrättyyn pisteeseen. Lause I.4 vaatii oikein todistuksen siitä, että kulma voidaan samoin kopioida tarkasti mielivaltaisessa pisteessä, mutta tätä Euklidia ei voida tarjota tässä vaiheessa (yksi annetaan kohdassa I.23, joka kuitenkin rakentaa näihin aikaisempiin tuloksiin). Siksi hän antoi kalju väitteen siitä, että yksi kolmio voidaan kopioida tarkasti mielivaltaisessa asennossa, mikä herättää ihmeen, miksi tällaista hoitoa käytettiin kohtaan I.2. Itse asiassa koko hahmojen liikkeen käsitteestä tuli tulla pitkittynyt keskusteluaihe arabien / islamin aikoina. (vähennys Euclidissä, katso Mueller 1981).

Elementtikirja I: n todennäköinen lukeminen on, että suora viiva voidaan ymmärtää johtavan suuntaan siten, että jokaisessa suunnassa on suora viiva jokaisessa pisteessä ja vain yksi suora viiva tietyssä pisteessä tietyssä suunnassa. Rinnakkaispostulaatissa sanotaan sitten, että linjat, jotka ylittävät tietyn viivan yhtä kulmassa, osoittavat samaan suuntaan eivätkä kohtaa. Tätä on kuitenkin pidettävä tulkintana, ja selkeäksi tekeminen vaatii melko paljon työtä.

Suunta on kuitenkin uskottavampi ehdokas kuin etäisyys; Euclid ei aloittanut ajatuksella, että kahta erillistä pistettä yhdistävä suora viiva on lyhyin niitä yhdistävä käyrä. Elementtien merkityksellinen primitiivinen käsite on segmenttien, kuten tietyn ympyrän kaikkien säteiden, tasa-arvoisuus. Euclid totesi yleisenä käsitteenä 4, että jos kaksi segmenttiä voidaan saada samaan aikaan, ne ovat yhtä suuret, ja (vaikeassa I.4) hän käytti päinvastoin, että jos kaksi segmenttiä ovat yhtä suuret, ne voidaan saada aikaan samanaikaisia. Segmentit ovat sellaisia, että jompikumpi on pienempi kuin toiset tai ovat yhtä suuret, ja kohdassa I.20 Euclid osoitti, että "missä tahansa kolmiossa kaksi puolta millään tavalla yhdessä ovat suurempia kuin jäljelle jäävät". Tästä tuloksesta on tullut kolmion eriarvoisuus,ja on pitkä matka osoittaa, että mitä tahansa kahta erillistä pistettä yhdistävä linjaosa on lyhin käyrä näiden pisteiden läpi. Kun yhdensuuntainen postulaatti on otettu käyttöön, Euclid osoitti, että yhdensuuntaisen kuvan vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret, ja siten etäisyys yhdensuuntaisten viivojen parin välillä on vakio.

Mutta Elementeissä on myös toinen heikkous, joka on myös huomion arvoinen, vaikka se kiinnitti vähemmän huomiota, ja tämä on koneen luonne. Tasolla on toinen epästandardi määritelmä, joka on selvästi mallinnettu linjan määritelmälle: “tason pinta on pinta, joka on tasaisesti suorassa linjassa itsensä kanssa” (ja mikä yllättävää,”pinta on se, jolla on vain pituus ja leveys”). Sen jälkeen sanaa "plane" ei mainita neljässä ensimmäisessä kirjassa, vaikka ne koskevat vain tason geometriaa. Kun Euclid kääntyi kiinteään geometriaan kirjassa IX, hän aloitti kolmella lauseella osoittamaan peräkkäin, että suora viiva ei voi sijaita osittain tasossa eikä osittain, että jos kaksi suoraa viivaa leikkaavat toisiaan, ne sijaitsevat tasossa ja jokainen kolmio sijaitsee ja jos kaksi tasoa kohtaavat, niin he tekevät niin linjassa. Kuitenkin,Hänen voidaan sanoa vain vaativan näitä tuloksia ja tekevän niistä uskottavia, koska hän ei voi käyttää koneen määritelmäänsä todistaakseen mitään niistä. Ne muodostavat kuitenkin perustan seuraaville lauseille: tason missä tahansa pisteessä on kohtisuora tasoon ja kaikki viivat, jotka ovat kohtisuorassa tiettyyn viivaan tietyssä pisteessä, muodostavat tason.

I.4 on jälleen kerran ongelmallista. Harkitse vähennystä ad absurdumia varten, että yhdellä on kaksi kolmiota, (ABC) ja (A'BC) niiden yhteisen tukikohdan (BC) samalla puolella, ja sellainen, että (BA = BA ') ja (CA = CA'). Sen on tarkoitus osoittaa, että siksi huiput (A) ja (A ') osuvat toisiinsa, ja tämän täytyy, kuten Gauss huomautti (julkaisemattomissa huomautuksissa, katso Gauss Werke 8, 193) käyttää tosiasiaa, että kolmiot sijaitsevat samassa tasossa. Tarvitaan hyvä tason määritelmä, joka mahdollistaa tämän tuloksen todistamisen.

Sanotaan, että puhtaasti synteettinen geometria käsittelee alkeellisia käsitteitä, kuten suoria ja tasoja, jollain edellä esitetyllä tavalla. Toisin sanoen se pitää suoran suoran ja tason tasaisuutta perustavanlaatuisena ja vetoaa juuri kuvattuihin ilmaantuvuusominaisuuksiin. Se vastustaa ajatusta ottaa etäisyys peruskäsitteenä tai ajatus korvata lauseet geometriassa lauseilla numeroita (esimerkiksi koordinaatteina), vaikkakin sen suhteen ei ole vihamielistä, kun siihen rakennetaan koordinaattigeometriaa.

Sanotaan myös nykyisiä tarkoituksia varten, että metrinen geometria on sellainen, jossa etäisyys on alkeellinen käsite, joten linjasegmenttien voidaan sanoa olevan samanpituisia, yhdenmukaisten kuvioiden vastaavat sivut ovat yhtä pitkiä ja geometriset muunnokset säilyttävät pituudet. Voimme myös sallia, että yhtäläisyydet ovat sallittuja: nämä ovat muunnoksia, jotka tuottavat mittakaaviokopioita kuvioista. (Mikään lause Euclidin elementeissä ei riipu kuvan todellisesta koosta: mikä tahansa lause, joka koskee yhtä kuvaa, koskee kaikkia sen skaalakopioita.)

Alkuperäinen geometria nykypäivän lännessä siirtyi hämmentyneellä tavalla etäisyyden muuttamisesta primääriseksi käsitteeksi pitäen samalla usein euklidista painotusta suoraisuuteen, mikä usein sekoittaa eri käsitteiden vaikutuksia. Huomattava esimerkki tästä, vaikka tämä oli tuloksellista, oli John Wallisin väite rinnakkaispostulaatin puolustamiseksi (annettu luenna vuonna 1665 ja julkaistu julkaisussa Wallis 1693). Kuten hän tajusi, se lepää kyvyllä tehdä mielivaltaisia mittakaavakopioita kolmiosta, ja tämä näyttää olevan ensimmäinen kerta, kun vastaavuus tunnustettiin näiden kahden järjestelmän välillä:

  1. Eukleidin elementit
  2. Euclidin elementit, joissa rinnakkainen postulaatti on poistettu, ja olettamus siitä, että mielivaltaisesti samanlaisia lukuja esiintyy, lisättiin.

Encylopédie Méthodique -kirjeessä (1784: osa 2, 132) d'Alembert määritteli geometrian tiedeksi, joka opettaa meitä tuntemaan kehon laajuuden, sijainnin ja kiinteyden. Hän jatkaa, että sen periaatteet perustuvat niin ilmeisiin totuuksiin, että niitä ei voida kiistää. Viiva (käyrän merkityksessä) on yksiulotteinen, ja lyhyin kaksi pistettä yhdistävä viiva on suora. Rinnakkaisviivat ovat viivoja, joita ei jatketa koskaan, vaikka ne ulottuvat, koska ne ovat kaikkialla yhtä kaukana.

Joseph Fourier otti keskustelussa Mongen kanssa myös etäisyyden käsitteen perustavanlaatuiseksi, mutta hän aloitti kolmiulotteisella avaruudella. Sitten hän määritteli peräkkäin pallon, tason (pisteinä, jotka ovat yhtä kaukana kahdesta annetusta pisteestä) ja viivan (pisteinä, jotka ovat yhtä kaukana kolmesta annetusta pisteestä). Tämä antoi hänelle ainakin määritelmät näistä aiemmin huolestuttavista käsitteistä (ks. Bonola 1912, 54).

Adrien-Marie Legendre oli matemaatikko, joka vastusti Elementien didaktisia tavoitteita, mutta ei alkuperäisiä formulaatioitaan. Hän kirjoitti useita erilaisia versioita Éléments de géométrie (1794) -muodostaan euklidisen tiukuuden palauttamiseksi geometrian opetukseen, jota hänen mielestään olivat syöpänneet tekstit, kuten Clairaut (1741), joka luottaa ajatuksiin itsestäänselvyys. Ne eroavat suuresti, kuten hänen piti myöntää, heidän epäonnistuneissa yrityksissä päätellä samansuuntainen postulaatti.

Kaikissa näissä painoksissa Legendre otti tiukasti metrisen näkökulman. Hänen ensimmäisessä painoksessaan avattu määritelmä julisti, että”geometria on tiede, jonka tarkoituksena on mittakaavan mitta”. Hän selitti, että laajuudella on kolme ulottuvuutta, pituus leveys ja korkeus; viiva on pituus ilman leveyttä, sen raajoja kutsutaan pisteiksi ja pisteellä ei sen vuoksi ole mittaa. Suora viiva on lyhin polku pisteestä toiseen; pinnoilla on pituus ja leveys, mutta ei korkeutta tai syvyyttä; ja taso on pinta, jossa jos kaksi mielivaltaista pistettä yhdistetään suoralla linjalla, tämä viiva on kokonaan pinnassa.

Sitten Legendre pyrkii todistamaan elementtien lauseet yhdessä joidenkin tulosten kanssa, joita Euclid oli mieluummin olettaa, kuten (Legendren ensimmäinen tulos): kaikki kaksi suorakulmaa ovat yhtä suuret. Hänen lause 3 osoitti, että kahta erillistä pistettä yhdistävä viiva on ainutlaatuinen (sen olemassaolon oletetaan hiljaisesti olevan seurausta suoran määritelmästä). Jokaisessa painoksessa noudatetaan tuttuja yhdenmukaisuuslauseita, kunnes rinnakkaista postulaatiota ei voitu enää sivuuttaa. Kun rinnakkaisviivojen olemassaolo varmistettiin, Legendre osoitti niiden olevan yhtä kaukana.

Itse asiassa Legendren yritykset palauttaa tiukat vaatimukset alkuaineiden geometrian käsittelemisessä eivät olleet parempia kuin Euclidin, ja tietyllä tavalla pahempaa, ei vain siksi, että hänen yritykset todistaa rinnakkaispostitus väistämättä epäonnistuivat, vaan koska hän salakuljetti enemmän tililleen kuin tajusi.. Mutta sen tärkein merkitys nykyisiin tarkoituksiin on, että se on esimerkki yrityksestä maadoittaa perusgeometria etäisyyden käsitteeseen tai pikemminkin, ja tarkemmin sanoen ajatukseen, että suora viiva on lyhyimmän etäisyyden käyrä minkä tahansa sen pisteen välillä. Itse etäisyyttä ei ole määritelty.

Lopuksi: kohtuullinen näkemys tuolloin olisi ollut se, että metrinen geometria oli tarpeen talonsa järjestämiseksi, eikä se todennäköisesti pystynyt tekemään niin siirtämällä etäisyyden käsite rakenteeseen, joka on mallinnettu Euklidin Elementeillä. Tämä on perinteisen geometrian hankala sijainti, ja se on saattanut avata ihmisten mielen vaihtoehtojen mahdollisuuksille. Varmasti kaksi oli tarkoitus tuottaa. Yksi, projektiivinen geometria, monisti ja paransi geometrian synteettistä puolta. Toinen, ei-euklidinen geometria, oli uusi ja haastava metrinen geometria. Mutta ennen kuin katsomme niitä, siirrymme nykyaikaisiin filosofisiin keskusteluihin geometriasta.

2. Epistemologiset kysymykset soveltavassa geometriassa

On hyödyllistä ylimääräistä yksinkertaistamista sanoa, että noin vuonna 1800 nähtiin, että oli yksi fyysinen tila (maailmankaikkeus) ja että tämän avaruuden kuvasi geometria Euclid's Elementsissä, joka oli ainoa ehdokas tällaiseen tehtävään. Riidat koskivat tämän geometrian tiukkaa esittämistä ja sen tarkkaa soveltamista fyysisessä maailmassa. Geometrian tarjoaman tiedon luonne oli myös keskustelun aihe.

Locke (ks. Kohta Locke) on ottanut aristotelilaisen perinteen perusteella ajatuksen, että euklidinen geometria ja rationaalinen teologia ovat esimerkkejä tieteellisestä tiedosta, mutta yritti perustaa filosofiansa intuitiiviseen, demonstratiiviseen ja herkkään tietoon. Intuitiivinen tieto on mitä tarttuu heti; demonstratiivinen tieto käyttää todistuksen välivaiheita, kuten geometriassa. Molemmat nämä tietomuodot ovat varmoja. Arkaluonteinen tieto ei ole varma: se on se, mitä opimme aistiemme kautta, sillä on vaikutuksia, mutta ei syitä, se on parhaimmillaan osittaista ja voi olla petollinen. Mutta koska Locke perusti tietyn tiedon olemusten tuntemiseen, joka hänen mielestään oli pysyvästi piilossa meiltä, hänet pakotettiin puolustamaan tätä heikompaa tietomuotoa, joka sopii ihmisten tietoon. Avaruuden voidaan ajatella koostuvan kaikista (todellisista ja mahdollisista) esineiden sijainneista; puhdas tila on avaruus, josta kaikki kiinteät rungot on poistettu, ja etäisyys primitiiviseen käsitteeseen, jota käytämme keskustelemaan ruumiiden välisestä erottelusta.

Ihmisen ymmärtämistä koskevassa esseessä (1690) Locke väitti tämän

Kun pidämme itsemme mielenosoituksen varmuudella, että kolmion kolme kulmaa ovat yhtä suuret kuin kaksi oikeaa, mitä me enemmän ymmärrämme, että tasa-arvo kahteen oikeaan on välttämättä yhtä mieltä ja erottamaton siitä kolmiota kolme kulmaa? (Essee IV.i.2)

ja myöhemmin

… Ajatus suorakulmaisesta kolmiosta kuljettaa välttämättä saman verran kulmiaan kahteen oikeaan. Emme voi myöskään kuvitella tätä suhdetta, näiden kahden idean yhteyttä, olla mahdollisesti muutettavissa tai riippua mistä tahansa mielivaltaisesta voimasta, mikä valinnan perusteella teki sen tai pystyi tekemään muuten. (Essee IV.iii.29, s. 559–560)

Vastaavien esineiden arkaluontoisella tiedolla ei kuitenkaan voisi koskaan olla tällaista varmuutta, ja koska tietomme perustuu tietoihimme esineistä, näyttää siltä, että avaruustutkimus on erilaista kuin geometrian tuntemuksemme. Euklidinen geometria tarjosi Lockelle siis eräänlaista tietoa, kokemus ja tieteellinen kokeilu toisen. Voidaan todellakin sanoa, että epistemologinen aukko on edelleen filosofiassa nykyään erotuksena empiirisen ja a priori tiedon välillä, joka on edelleen laajalti tunnustettu.

Tilanne Humen kanssa on monimutkaisempi, mutta myös kiistatta selkeämpi, koska kuilu hoidetaan suoraan. Hän puolusti teoksessaan ihmisluonnosta (1739–1740) aritmeettisen ja algebran varmuutta, mutta estäi sen geometrialta sillä perusteella, että tietojamme pisteistä ja viivoista ovat luonnostaan epätarkkoja. Euklidisen geometrian totuudet eivät olleet totuuksia maailmasta, vaan abstraktista järjestelmästä, ja pysyisivät paikkansa, jos maailmassa ei olisi lukuja, jotka vastaavat heidän euklidialaisia vastaavuuksia. Tasakylkisen kolmion lause, joka vahvistaa kolmen kolmen sivun tasa-arvon, jolla on kaksi yhtä suurta kulmaa, on ymmärrettävä, Hume ehdotti väitteeksi, että tietyissä olosuhteissa kolmion kaksi puolta ovat suunnilleen yhtä suuret ja tulkitaan tällä tavalla väite on varma (katso Badici 2011 ja de Pierris 2012).

Kantin metafysiikassa (ks. Hänen puhtaan syyn kritiikki (1781/1787) ja Kantin näkemykset avarasta ja ajasta) tilanne on jälleen monimutkaisempi tai hienostuneempi. Kant esitteli käsitteen a priori tieto vastakohtana jälkikäteen ja synteettinen tieto toisin kuin analyyttinen tieto, jotta voidaan olemassa tieto, joka ei tukeutunut kokemukseen (ja oli näin ollen a priori), mutta joka ei ollut luonteeltaan tautologinen (ja siksi synteettinen eikä analyyttinen). Analyyttiset lausunnot ovat ennakkoon, a priori ei-analyyttisten lauseiden kiistanalainen luokka sisältää ne, joita ei voisi olla muuten, ja siten ne tarjoavat tietyn tiedon. Heidän joukossaan ovat euklidisen geometrian lausunnot; Kant katsoi synteettisen ennakkotilan tilan avaruustietoon. Hän myös luonnehti varmuutta euklidiseen geometriaan. Mutta kirjoitti Kant,ei filosofi tiedä, että kolmion kulmasumma on kaksi suoraa kulmaa, se on matemaatikko, koska matemaatikko tekee tietyn rakenteen, joka tekee väitteen totuudesta todistettavissa (ks. Critique, A 716, B 744).

Ranskalaisten filosofien joukossa hallitseva asema 1770-luvulla oli karteesialainen asema, joka, kuten Clairautin Élémens de géométrie (1741) osoitti, oli kenties kohtuuttoman naiivia vaatiessaan selkeitä ja välittömiä ideoita. D'Alembertin asema artikkeleissaan Encylopédie Méthodique (1784) oli hienostuneempi. Geometrian kohteet on ymmärrettävä erottamalla kappaleista kaikki laadut paitsi, että ne ovat läpäiseviä, jaettavissa olevia ja kuvioituja. Näiden esineiden joukossa ovat linjat, joista puuttuu leveys, ja pinnat, joilla ei ole syvyyttä. Geometrian kohteista vahvistetut totuudet ovat puhtaasti abstrakteja ja hypoteettisia, koska esimerkiksi täydellisenä ympyränä ei ole sellaista. Esitetyt ominaisuudet voivat pitää sisällään todelliset ympyrät vain siltä osin kuin todellinen kohde lähestyy täydellisen ympyrän tilaa,

Ne ovat tietyssä mielessä raja ja, jos voidaan sanoa näin, asymptote fyysisistä totuuksista, termi niille esineille, jotka lähestyvät niin tarkasti kuin toivovat koskaan saapumatta siihen tarkalleen. (katso Encylopédie Méthodique II, 132)

Kuitenkin, jos matemaattiset lauseet eivät ole tarkalleen luonteessa, nämä lauseet palvelevat ainakin riittävän tarkasti käytännössä. Jotta ne voidaan osoittaa täysin tiukasti, niitä on pidettävä ruumiiden pitämisessä abstraktin täydellisyyden tilassa, jota heillä ei oikeastaan ole.

Geometriassa tutkitut käyrät eivät ole täysin suoria eikä täydellisesti kaarevia, pinnat eivät ole täysin tasaisia eivätkä täydellisesti kaarevia, mutta mitä lähempänä ne ovat, sitä enemmän ne lähestyvät tilaa, jolla on ne ominaisuudet, jotka todistetaan johdoista tarkalleen suorina tai kaarevina, ja pinnat, jotka ovat tarkasti litteitä tai kaarevia.

Nämä pohdinnat, d'Alembert jatkoivat, riittävät kumotakseen epäilijät, jotka valittavat, että geometrisia esineitä ei oikeastaan ole, ja muut matematiikkaa tietämättömät, jotka pitävät sitä hyödytöntä ja turhaa peliä.

Siksi vaikuttaa siltä, että filosofit eivät löytäneet mitään ongelmia Euclidin elementeissä, mutta Hume, d'Alembert ja muut empiristisen vakuutuksen aiheet kiistävät lauseiden sovellettavuuden sillä perusteella, että geometrian kohteilla ei ehkä ole vastaavia esineitä maailmassa. Filosofit, jotka ovat avoimempia ajatukselle laajasta joukosta tiettyjä tietoja (kuten esimerkiksi Kant), voisivat antaa geometrisille lauseille a priori-totuuksien tilan, jotka eivät voisi olla muita kuin ne ovat.

2.1 Mekaniikan vaikutukset

Fyysinen tila oli naiivi, kolmiulotteinen versio Euclidin elementtien ja Cartesian koordinoidun kolmiulotteisen geometrian avaruudesta, ja näin Newton oli pitänyt sitä Principia Mathematicassa (1687). Sitä pidettiin neutraalina areenana, jolla ei ollut omia ominaisuuksiaan, jota läpäisivät erilaiset voimat, jotka fyysiset ruumiit olivat luoneet ja joihin puolestaan vaikuttivat. Tärkein näistä oli painovoiman, jotka matemaatikot, loogiseksi perinne pitää salaperäinen, jopa kelvottomia, konsepti kun se otettiin käyttöön, mutta joilla sovitun alussa 19 : nnenLaplace on osoittanut vuosisadan pystyneensä käsittelemään kaikkia aurinkojärjestelmän tunnettuja liikkeitä. Seurauksena painovoimasta oli tullut luonnollinen, primitiivinen käsite, jota ei enää tarvinnut selittää tarkemmin, ja vuoden 1800 jälkeen ihmisten, jotka olivat työskennelleet uusien magneettisuuden ja sähkön teorioiden parissa, oli kohtuullista pitää niitä voimina ja mallintaa niitä tarvittaessa, Newtonin painovoimalla.

Fyysinen tila, kuten Newton kuvasi Principiassaan, on tutkittava siirtämällä liikkeessä olevien kappaleiden havainnoista toisiinsa nähden ja mielivaltaisen kellon avulla aikatauluttamalla vastaavaan todelliseen liikkeeseen absoluuttisessa tilassa ja ajassa. Kuten Newton kertoi ensimmäisen Scholiuminsa lopussa, hänen tutkielmansa tarkoituksena oli näyttää

miten määritetään todelliset liikkeet niiden syistä, vaikutuksista ja ilmeisistä eroista, ja päinvastoin, kuinka määritetään niiden syyt ja vaikutukset, olivatpa totta vai ilmeisiä liikkeet.

Oli selvästi epäilemättä Newtonin mieltään euklidinen luonteesta fyysistä tilaa, ja tosiaan näyttää olleen mitään epäilyjä joukossa ESO: ssa 17 : nnen vuosisadan että tila oli kuvattavissa että termit Euclid n elementtejä. On myös todennäköistä, että Newtonin fysiikan kasvava tunnustaminen vahvisti uskoa siihen, että avaruus oli kolmiulotteinen, homogeeninen, isotrooppinen ja että sitä voidaan kuvata ikään kuin äärettömästä koordinaattien ruudukosta, mikä kuvaa esimerkkejä lauseista - ellei tarkalleen. elementtien määritelmät.

Newtonin perustaman fyysisen tilan geometristen näkökohtien joukossa on hänen ensimmäisen lainsa lausunto:

Jokainen ruumis säilyy lepotilassaan tai tasaisesti liikkumassa suoraan eteenpäin, paitsi siltä osin kuin sen on pakotettava muuttamaan tilaansa vaikutteilla olevilla voimilla.

Tuloksena on myös, että homogeeninen pallomainen kiinteä aine vaikuttaa samoihin gravitaatiovaikutuksiin muihin kappaleisiin kuin sama massa, joka olisi keskittynyt kehon keskipisteeseen. Toisin sanoen sellaiset elimet käyttäytyvät tavalla, joka on todistettavasti eikä vain lähes suunnilleen sama kuin pistemassat. Tällä tavoin pisteet ja viivat saavat fyysisen merkityksen hänen dynamiikan teoriassa.

Se oli Laplace, joka antoi vahvimman argumentin sanomalla, että fyysinen tila noudattaa euklidista geometriaa. Hän lisäsi mielenkiintoisen huomautuksen (siteerattu Bonolassa 1912: 54) vuoden 1796 Exhibition du système du monde -lehdessä (ks. Kirja V, Ch. V, s. 472) sanoakseen, että

Geometrien yritykset todistaa Euclidin postulaatti paralleleilla ovat olleet tähän asti turhaa. Kukaan ei kuitenkaan voi epäillä tätä olettamaa ja lauseita, jotka Euclid päätteli siitä. Siten avaruuden käsite sisältää erityisen ominaisuuden, itsestään selvän, jota ilman rinnakkaisten ominaisuuksia ei voida tarkistaa. Ajatus rajoitetusta alueesta, esimerkiksi ympyrä, ei sisällä mitään, mikä riippuu sen absoluuttisesta suuruudesta. Mutta jos kuvittelemme sen säteen pienenevän, meidät saatetaan pienentämään yhtä suuressa suhteessa sen ympärysmittaan ja kaikkien merkittyjen kuvioiden sivuihin. Tämä suhteellisuus vaikuttaa minusta luonnollisemmalta postulaatilta kuin Euclidin, ja on syytä huomata, että se löydetään uudelleen universaalin painovoiman teorian tuloksista.

Tämä on hämmästyttävän samanlainen kuin Wallisin näkemys selvästi yli sata vuotta aiemmin, vaikka Laplace ei maininnut Wallisia eikä ehkä ole tiennyt keskusteluaan rinnakkaisesta postulaadista.

Siksi noin vuonna 1800 oli totta, että ongelmat euklidisen geometrian totuusväitteiden kanssa olivat sijainneet ulkoisten maailmojen tuntemuksen yleisten ongelmien joukossa. Luottamus filosofisiin ja tieteellisiin piireihin euklidisen geometrian pätevyydestä sinänsä oli korkea.

3. Projektiivinen geometria

Sen mielestä monet 19 th -luvulla, Euklidinen geometria menettänyt laatua oleva asema on geometria, joka pidettiin yleisemmin: projektiivinen geometria. (Esittely on geometria 19 : nnenluvulla, ks. Harmaa 2011. Projektiivinen geometria on kuvattu tekstissä, yhdeksännentoista vuosisadan geometria, katso myös eri kirjailijoiden julkaisut julkaisussa Bioesmat-Martagon 2011.) Projektiivisella geometrialla on oma perustava ongelma, samanlainen kuin euklidisen geometrian etäisyys. koskee ristisuhteen käsitettä, ja meidän on seurattava pyrkimyksiä luoda projektiivinen geometria itsenäisenä aiheena, määritellä ristisuhde tässä ympäristössä ja ratkaista esiin nousseet epistemologiset kysymykset (Kleinin Erlangen-ohjelmaan liittyvä saavutus)). Katsotaan myös, että projektiivisen geometrian kasvu luo kentän Hilbertin geometrian aksiomaatiolle.

Lentokoneprojektiivinen geometria sai erityisen vauhtia Jean Victor Poncelet'n kirjasta vuodelta 1822. Traité des propriétés projectives des figures, jossa hän osoitti projektiivisten menetelmien voiman provosoivassa ei-metrisen geometrian muotoilussa. Uuden geometrian perusluonne on siinä mielessä, että sen voidaan ajatella kaatavan suorien linjojen yksinkertaisimmat ominaisuudet - kaksi erillistä pistettä määrittelevät ainutlaatuisen viivan, kaksi erillistä viivaa kohtaa korkeintaan yhdessä pisteessä samalla kun hylätään metrisen käsitteen etäisyys ja kulma.

Chasles (1837) kirjoitti uudelleen Poncelet'in vaatimukset linjan linjoiksi kuvaavan tason muutoksista tiukemmalla tavalla, mikä korosti ristisuhteen epävarianssia. Neljän pisteen (A), (B), (C), (D) ristiosuudeksi linjassa määritetään (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB), ja jos pisteet on kuvattu vastaavasti (A '), (B'), (C '), (D') vastaavasti projektiivisella muunnoksella, niin

[AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = A'B '{.} C'D' / mathbin {/} A'D '{.} C'B'.)

Tämä kuitenkin jätti aiheen epämiellyttävään asemaan, joka näyttäisi olevan yleisempi kuin euklidinen geometria, koska euklidiset, metriset muunnokset ovat projektiivisia muutoksia, mutta ei päinvastoin, vaikka näyttävät silti olevan riippuvaisia metrisesta käsitteestä määritellessään sen perustavanlaatuista invarianttia.

Georg Karl Christian von Staudt käsitteli tätä kysymystä 1840- ja 1850-luvuilla. Hänen kaksi kirjaansa (1847, 1856–1860) yrittivät antaa perustan projektiiviselle geometrialle, joka teki siitä itsenäisen kohteen, riippumaton euklidisesta geometriasta. Niitä oli vaikea lukea ja puutteellisia monin tavoin, mutta tiukan teorian luomiseen voitiin nähdä ensimmäistä kertaa jo aloitetun tehtävän suorittaminen. Von Staudt väitti, että tasomaisen projektiivisen geometrian muunnokset voisivat kartoittaa minkä tahansa kollineaaristen pisteiden kolminkertaisen muihin ja minkä tahansa pisteen nelinkertaisen (joista kolme ei ollut kollineaarisia) mihinkään toiseen, mutta ei minkään kollineaaristen pisteiden nelinkertaisen toiseen. Sitten hän teki yksityiskohtaisen tutkimuksen kolineaarisista nelinkertaisista. Hän teki myös lyhyitä huomautuksia siitä, kuinka euklidinen geometria voitaisiin saada projektiivisestä geometriasta,ja näistä voidaan nähdä, että hänen teoria kollineaarisista nelinkertaisuuksista pelkistyi tutuksi ristisuhteen teoriaksi heti, kun Euklidian etäisyyden käsite lisättiin projektiiviseen geometriaan. Klein teki tämän näkemyksen selväksi ja selväksi useissa lehdissä 1870-luvun alkupuolella. Ensimmäinen luettavissa oleva projektiivisen geometrian oppikirja ja sille, joka antoi sille nimen, oli Cremonan Elementi di geometria projettiva vuonna 1873, ja sen jälkeen aihe nousi nopeasti, jotta siitä tuli klassisen perusgeometrian perusta.ja se, joka antoi sille nimen, oli Cremonan Elementi di geometria projettiva vuodelta 1873, ja sen jälkeen aihe nousi nopeasti tullakseen klassiseksi perusgeometriaksi.ja se, joka antoi sille nimen, oli Cremonan Elementi di geometria projettiva vuodelta 1873, ja sen jälkeen aihe nousi nopeasti tullakseen klassiseksi perusgeometriaksi.

Sen peruskäsitteet olivat sen pisteen, viivan ja tason tila, jota oli rikastettu (mathbb {R} ^ 3), jota usein kutsuttiin tasona äärettömyyteen, niin että kaikki kaksi tasopiiriä kohtaavat. Ennen axiomatisations teorian lopussa 19 th -luvulla, piste, viiva, ja kone olivat määrittelemättömiä käsitteitä, intuitiivinen tulkinta, joka mahdollisti valmis kanavan välillä projektiivisen ja Euklidinen geometria. Geometrian kartan sallitut muunnokset osoittavat pisteisiin, linjat linjoihin ja tasot tasoihin ja ristisuhteen säilyttämiseksi. Ne vaikuttavat tilaan transitiivisesti, joten mikään piste, viiva tai taso ei ole erityinen, ja siksi linjat, jotka ovat yhdensuuntaiset millä tahansa avaruuden äärellisellä osalla, voidaan kartoittaa leikkauslinjoihin ja päinvastoin.

Synteettisessä muodossaan projektiivisen geometrian onnistumiset rajoittuivat suurelta osin yksinkertaisuuteen, jonka se johti kartiomaisten tutkimiseen - kaikki ei-rappeutuneet kartiomaiset (ympyrä, ellipsi, parabooli ja hyperbooli) ovat projektiivisesti samanarvoisia. Projektiivinen geometria osoitti algebrallisessa muodossaan melkein välttämättömänä minkä tahansa asteen tasoalgebrallisten käyrien tutkimisessa ja laajennettuna korkeampien mittojen projektiivisiin tiloihin algebralisten pintojen tutkimuksessa. Kaikki tämä myötävaikutti epämetrisen geometrian keskeiseen merkitykseen, joka perustuu hiukan muutakin kuin suoran linjan käsitteeseen sekä linjojen ja tasojen esiintymisominaisuuksiin.

Projektiivisella geometrialla oli myös yksi hätkähdyttävä ominaisuus, nimeltään kaksinaisuus ja jota Cremona piti logiikan laisena. Projektiivisessa tasomaisessa geometriassa on mahdollista vaihtaa termit 'piste' ja 'viiva', 'sattuma' ja 'samanaikainen' ja tällä tavoin vaihtaa päteviä lauseita. Seurauksena on, että kaikilla projektiivisen geometrian määritelmillä, lauseilla ja todisteilla on kaksoismerkki. Esimerkiksi Desarguesin lauseen lausunnon ja sen todistuksen kaksinkertaisuus on lauseen ja sen todistuksen käänteinen vastakohta. Kolmessa ulottuvuudessa termit 'piste' ja 'taso' voidaan vaihtaa samalla tavalla ja linjat vaihdetaan muiden linjojen kanssa. Tämä herättää mielenkiintoisen epistemologisen kysymyksen: tilaa on helppo käsittää pisteistä koostuvaksi, mutta mahdotonta pitää sitä intuitiivisesti linjoista koostuvana. Asioiden pahentamiseksiavaruus on kolmiulotteinen, kun sitä pidetään pisteistä koostuvana, mutta neljäulotteista, kun se koostuu viivoista.

3.1 Koordinaattimuunnokset; Kleinian geometria

Kleinin Erlangen-ohjelma ja siitä, josta on tullut tunnetuksi Kleinianin näkemys geometriasta, kuvataan artikkelissa, yhdeksännentoista vuosisadan geometria. Se on tullut pääasialliseksi lähteeksi näkemykselle, että geometria voidaan määritellä ryhmäksi, joka toimii tilassa, ja geometrinen ominaisuus on mikä tahansa ominaisuus, joka on invariantti kaikissa sopivan ryhmän muunnoksissa.

Klein puolsi tätä näkemystä julkaisussa, joka julkaistiin, kun hänestä tuli professori Erlangenin yliopistossa vuonna 1872, ja muissa julkaisuissa lehdissä 1870-luvulla geometrian yhtenäistämiseksi. Hän esitteli tavan osoittaa, että metrisiä geometrioita, kuten euklidisiä ja muita kuin euklidisiä geometriikkaa, ja muita geometrioita, kuten käänteistä geometriaa ja birationaalista geometriaa, voidaan pitää erityisenä projektiivisen geometrian tapauksina (kuten voi affinigeometria, jota hän ei tehnyt) tietää vuonna 1872).

Perusgeometria oli todellinen projektiivinen geometria, sanotaan kahdessa ulottuvuudessa. Tässä geometriassa tila on todellinen projektiivinen avaruus, ja ryhmä on kaikkien projektiivisten muunnosten ryhmä. Tämä ryhmä kartoittaa pisteitä, viivoja linjoiksi, aste käyrät (n) aste käyriksi (n), ja mikä tärkeintä, neljän kolineaarisen pisteen ristisuhde jätetään muuttumattomaksi missään projektiivisessa muunnoksessa. Kleinianin näkökulmasta tämä osoittaa, että pisteet, viivat, aste käyrät (n) ja neljän kolineaarisen pisteen ristisuhde ovat geometrian ominaisuuksia.

Projektiivinen geometria yhdisti muut geometriat monin tavoin. Klein ilmoitti, että voidaan yrittää lisätä kokoonpanoluetteloon, jolloin ryhmä, joka pitää ne invarianttina, on yleensä pienempi kuin pääryhmä tai voidaan yrittää laajentaa ryhmää, jolloin invarianttisten kokoonpanojen luokka yleensä kutistuvat. Klein oli vasta äskettäin onnistunut osoittamaan, että ei-euklidinen geometria syntyy alageometriana rajoittamalla huomiota projektiivisen tilan kartiomaisen sisätilaan ja alaryhmään, joka kartoittaa kartion sisäosan itseensä (katso Klein 1871, 1873)..

Kleinin Erlangen-ohjelman epistemologinen luonne tulee selkeämmäksi tarkastelemalla sitä, kuinka se ratkaisi yleisesti tiedossa olevan ikävän epäilyn ristisuhteen määritelmästä projektiivisessä geometriassa. Kleinin vastaus eteni analogisesti pituuksien kanssa euklidisella tai ei-euklidisella geometrialla. Näissä geometrioissa vastaava ryhmä säilyttää suorat linjat ja mikä tahansa piste voidaan kartoittaa mihin tahansa muuhun pisteeseen, mutta ryhmässä ei ole muutosta, joka pystyisi kartoittamaan viivan segmentin itsensä oikeaan alasegmenttiin. Minkä tahansa mielivaltaista, mutta kiinteää linjaosaa voidaan sen vuoksi pitää pituusyksikkönä ja käyttää mittaamaan linjaosuuksia rakentamalla sen mielivaltaiset kerrannaiset ja alakerrokset ja järjestämällä ne yhdeksi viivaimeksi. Nyt mitata segmentin (AB) pituus,yksinkertaisesti asetetaan piste (A) viivaimen toisessa päässä ja nähdään, mihin kohta (B) putoaa viivaimeen.

Kleinin näkemys von Staudtin seurauksena oli, että täsmälleen samanlaista väitettä, joka liittyy kolineaaristen pisteiden nelinkertaisuuksiin, voidaan käyttää määrittelemään ristisuhde projektiivisessa geometriassa. Projektiivinen ryhmä säilyttää suorat linjat, ja mikä tahansa tilattu kolinearipisteiden kolmio voidaan yhdistää mihin tahansa tilattuun kollineaaristen pisteiden kolminkertaiseen, ja kartta, joka lähettää annetun tilatun erillisten pisteiden kolminkertaisen toiseen tilattuun kolmiosaan erillisistä pisteistä, on ainutlaatuinen, mutta on olemassa ei muutosta ryhmässä, joka voi kartoittaa neljään kollineaarista pistettä nelinkertaisen mielivaltaiseen sellaiseen nelinkertaiseen. Minkä tahansa mielivaltaista, mutta kiinteää kolineaarista nelinkertaista voidaan siksi pitää 'yksikköyksikkönä', ja monimutkainen, mutta ei vaikea argumentti antaa mahdolliseksi tuottaa siitä mielivaltaisia kertoimia ja alakerroksia, joita voidaan käyttää mittaamaan ristisuhteita järjestämällä yhdeksi olisi hallitsija. Sen sijaan, että annettaisiin yksityiskohtia, on parempi antaa tämä ehdottava esimerkki siitä, miksi tämä voidaan tehdä. Olkoon mitattava neljän kolineaarisen pisteen (P), (Q), (R), (S) ristisuhde kartoittamalla pisteet pisteisiin (A), (B), (C), (D) oikealla rivillä, missä (A) on lähtökohdassa, (C) osoitteessa (infty) ja (D) kohdassa 1, joten (B) -asento määrittää ristisuhteen. Tämä määritetään yksilöllisesti, ja jos (AB): n pituus on (x), havaitaan, että (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).joten ristisuhde määritetään (B) -asennolla. Tämä määritetään yksilöllisesti, ja jos (AB): n pituus on (x), havaitaan, että (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).joten ristisuhde määritetään (B) -asennolla. Tämä määritetään yksilöllisesti, ja jos (AB): n pituus on (x), havaitaan, että (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).

Ajan kielellä pituus on kaksipisteinen invariantti euklidisessa tai ei-euklidisessa ryhmässä, ja ristisuhde on projektoriryhmän nelipisteinen invariantti.

3.2 Hilbert ja muut aksomaattisessa projisoidussa geometriassa

Ongelmia joitakin teknisiä kysymyksiä projektiivinen geometria, ja nouseva standardien kurinalaisuuden lopussa 19 : nnen vuosisadan provosoi yrittää axiomatise aiheeseen. Tehtävä otettiin eniten energeettisesti mukaan Pieri, Peano, ja useita muita italialaisia geometers toisella puoliskolla 19 th -luvulla, ja he onnistuivat antaa tiukkaa huomioon todelliset ja monimutkaisten projektiivinen geometria kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa (katso Marchisotto ja Smith 2007). Mutta he onnistuivat samaan aikaan vähentämään aiheen tiukkoksi koulutukseksi geometrian opettajille, eivätkä he arvosaneet avattuja tutkimusväyliä. David Hilbertin tehtävänä oli elvyttää aksomaattinen lähestymistapa geometriaan (katso Hallett ja Majer 2004).

Hilbert oli otettu käyttöön monissa kiistakysymyksissä elementaarisesta projektiivisesta geometriasta, jotka koskivat mitä johtaa siihen, mitkä asetukset tarkoittavat mitä muita tuloksia. Huomattavin huolenaihe Desarguesin lauseesta. Kolmiulotteisessa projektiivisessa geometriassa Desarguesin lause on seuraus pelkästään esiintymisaksioomista, mutta se on lause projektiivisen tason pisteistä ja viivoista (ja niin myös 2-ulotteisessa geometriassa), mutta kukaan ei ollut pystynyt johdattamaan sitä 2-ulotteisen heijastavan geometrian esiintymisaksioomien perusteella. Oli tullut epäillä, että sitä ei ehkä voida päätellä pelkästään näistä aksioomeista, ja Giuseppe Peano pystyi osoittamaan, että sitä ei todellakaan voida päätellä ilman ylimääräisiä oletuksia. Itsenäisesti,Hilbert antoi myös esimerkin geometriasta, joka täyttää kaikki 2-ulotteisen projektiivisen geometrian esiintymisakselit, mutta joissa Desarguesin lause oli väärä. Se korvattiin myöhemmin yksinkertaisemmalla esimerkillä, jonka amerikkalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä FR Moulton löysi kaikissa myöhemmissä Hilbert's Grundlagen der Geometrie -julkaisuissa (1899).

Hilbertin esittämissä aksiomaattisissa geometrioissa peruskohteita (pisteitä, viivoja, tasoja) ei ole määritelty. Sen sijaan Hilbert täsmensi, kuinka niitä voidaan käyttää ja mitä heistä voidaan sanoa. Hän esitteli viisi aksioomiryhmää, jotka on lajiteltu käyttämiensä tai kodifioitujen käsitteiden mukaan. Sitten hän loi erilaisia geometrioita, jotka noudattaa erilaisia aksioomijärjestelmiä, ja vahvisti niiden johdonmukaisuuden antamalla heille koordinaatit sopivien renkaiden ja kenttien yli - usein hänen geometriansa myöntää monia tulkintoja tai malleja. Tämä antoi näille geometrioille kaiken aritmeettisen johdonmukaisuuden ja johti Hilbertin kiinnostukseen yrityksissä maadoittaa aritmeettista tietynlaisessa joukon teoriassa ja logiikassa.

Hilbertin lähestymistapa menestyi, koska hän oli huomannut, että siellä oli aksioomien matematiikka, tutkimus erilaisista mutta toisiinsa liittyvistä aksioomijärjestelmistä ja niiden vaikutuksista. Poincaré hyväksyi Hilbertin kirjaa koskevassa katsauksessaan (1902) uudet geometriat pätevinä, mutta pahoitteli, että ne olivat hänen mukaansa epätäydellisiä, koska niistä puuttui psykologinen komponentti. Tällä hän tarkoitti, että niitä ei voitu sovittaa hänen selitykseensä siitä, kuinka meillä on jonkin verran tietoa fyysisen tilan geometriasta, koska niitä ei voitu synnyttää.

4. Ei-euklidinen geometria

Rinnakkaispostinnon tutkimukset aloitettiin Kreikan ajoissa, jatkuivat islamilaisessa maailmassa ja aloitettiin varhaisessa uudessa lännessä. Mutta vielä epäselvistä syistä noin vuoden 1800 jälkeen ihmisten oli helpompi kuvitella, että Euclidin elementit eivät ehkä olisi ainoa mahdollinen metrisen geometrian järjestelmä. Niiden tekijöiden joukossa, jotka voivat auttaa selittämään, kuinka ajattelematon tuli ajateltavaksi jopa matemaatikkojen yhteisön ulkopuolella, oli lauseiden kertyminen muihin oletuksiin kuin rinnakkaispostuloittiin. Näyttää siltä, että tällaisen radikaalin oletuksen uudenlaisten, johdonmukaisten seurausten tuottaminen ja ristiriidan löytämättä jättäminen johtivat jotkut ihmiset ajattelemaan, että siellä voi todella olla koko geometria, joka eroaa Euclidin omasta.

Signaalin esimerkki tästä muutoksesta on lakiprofessori FK Schweikart, joka lähetti vuonna 1818 Gaussin Marburgin yliopistossa työskentelevän kollegansa Gerlingin kautta tilille, jonka geometria oli aivan erilainen kuin Euclidin. Gauss hyväksyi Schweikartin geometrian, joka vastasi, että uuden geometrian kaikki ominaisuudet voidaan johtaa, kun arvo on annettu vakiona, joka ilmestyi Schweikartin tilille. Mutta mitä Gauss oli hyväksynyt ja millä perusteilla, on vähemmän selvää. Gauss oli jo löytänyt vian useissa Euclidin elementtien puolustuksissa, ja vuosien kuluessa hän tuli täysin varmaksi, että oli olemassa uusi, kaksiulotteinen geometria, joka eroaa Euklidian tasogeometriasta. Tätä geometriaa voitaisiin kuvata kaavoilla, jotka hän olisi nähnyt samanlaisina kuin pallomainen geometria. Mutta hän ei kuvaillut tällaista kolmiulotteista geometriaa, jättäen avoimeksi mahdollisuuden, että kaksiulotteinen geometria oli jonkinlainen muodollinen, merkityksetön omituisuus. Toisaalta, kirjeenvaihdossa Besselin kanssa hän teki selväksi, että hän ei voinut lukea euklidiselle geometrialle varmuutta, jonka hän antoi aritmeettiselle, mikä oli etukäteen, ja sekä hän että Bessel pitivät avoimena mahdollisuutta, että avaruuden tähtitieteelliset alueet saattavat epäonnistua. olla euklidinen.

Kiitokset ensimmäisistä täysin matemaattisista avaruuskuvauksista muilla kuin Euclid-määritelmillä on siis annettava itsenäisesti János Bolijaille Unkarissa ja Nicolai Ivanovich Lobachevskiille Venäjällä. Bolyai teoksessaan "Annex scientiam spatii absoluuttinen veraminäyttely" (1832) ja Lobachevskii hänen teoksessaan "Neue Anfangsgrunde der Geometrie" (1835) ja jälleen hänen Geometrische Untersuchungenissa (1840) korvasivat rinnakkaispostulaatin oletuksella, joka antoi viivan ja pisteen. ei tuolla linjalla, pisteen läpi on useita linjoja, jotka sijaitsevat annetun pisteen ja annetun viivan määrittämässä tasossa ja jotka eivät vastaa annettua viivaa. Niistä, kuten he sitten osoittivat, yksi viiva kumpaankin suuntaan on asymptoottinen annetulle viivalle, ja nämä asymptoottiset viivat jakavat kaikkien muiden linjojen perheen annetulla tasolla ja tietyn pisteen kautta kahteen perheeseen:ne, jotka täyttävät annetun linjan, ja ne, jotka eivät. Sitten seurasi paljon työtä, kummassakin tapauksessa kuuluvasti samankaltainen, erityisesti osoittaen, että heidän oletuksissaan kuvaamassa kolmiulotteisessa tilassa on pinta, jolla Euklidian geometria pysyy, ja päästäkseen trigonometristen kaavojen olemassaolosta, jotka kuvaavat tasoja kolmioita. Nämä kaavat muistuttavat palloa vastaavia kaavoja kolmioille.

Kaikki tämä vakuutti sekä Boljain että Lobachevskiin siitä, että uusi geometria voisi olla fyysisen tilan kuvaus ja sen jälkeen olisi empiirinen tehtävä päättää, onko euklidinen geometria vai ei-euklidinen geometria totta. Lobachevskii yritti jopa määrittää asian tähtitieteellisin keinoin, mutta hänen tuloksensa olivat täysin epävarmat.

On totta, että mikään määrä johdonmukaisia vähennyksiä uudessa geometriassa ei sulje pois mahdollisuutta, että ristiriitaisuuksia esiintyy, mutta uuden geometrian kiehtova suhde pallomaiseen geometriaan ja trigonometristen kaavojen olemassaolo kolmioille ehdottivat voimakkaasti että uusi geometria oli ainakin yhdenmukainen. Ne, jotka hyväksyivät sen, ja heitä oli hyvin vähän ennen 1860-lukua, saattoivat kuitenkin olla tyytyväisiä parempaan tiliin kuin Bolyai ja Lobachevskii tarjosivat. Mutta ennen kuin siirrytään asiaan, on syytä keskeyttää kaavojen arviointi, koska monien geometrien oli löydettävä niistä vakuuttavia todisteita uuden geometrian pätevyydestä Riemannin ja Beltramin uudelleenmuotoilun jälkeen (esimerkiksi Enriques hänen suuressa esseessään). (1907) geometrian periaatteista).

Ei ole vain, että on olemassa kaavoja, vaan ne viittaavat vaihtoehtoiseen geometrian muotoiluun, sellaiseen, jossa Euclidin Elementeissä kuvattu geometria saattaa osoittautua olevan, mutta erityistapaus. Jos geometrian määrittelemiseksi voisi olla jokin muu tapa, joka johtaisi näihin kaavoihin useissa tapauksissa, tapa olisi avoin ajatella kaikkia niitä geometriaa koskevia kysymyksiä, jotka kriittinen tutkimus oli avannut. Henkilö, jolla oli parhaat mahdollisuudet tehdä tämä 1830- ja 1840-luvuilla, oli Gauss. Hän tiesi hyvin, mitä Bolyai ja Lobachevskii olivat tehneet, ja differentiaalinen geometriansa antoi hänelle keinot edetä, mutta kummallista kyllä, hän ei tehnyt niin. 1840-luvun alkupuolella hän kirjoitti joitain muistiinpanoja, jotka osoittavat, että hän pystyi yhdistämään uuden kaksiulotteisen geometrian geometriaan jatkuvan negatiivisen kaarevuuden pinnalla, mutta hän ei tehnyt mitään tällä havainnolla.

Toisaalta pelkkä kaavojen olemassaolo ei riittäisi tekemään niistä geometrisiä. Lobachevskii tunnusti aikaisimmissa julkaisuissaan tämän tarpeen antaa heille geometrinen pohja, mutta koska he olivat venäläisiä, niitä ei luettu Venäjän ulkopuolella (eikä venäläiset matemaatikot arvostelleet niitä). Hän pudotti tällaiset näkökohdat esitteessään 1840, johon suuri osa hänen maineestaan riippuu tänä päivänä, mutta toi ne takaisin viimeisessä esityksessään, Pangéométrie (1856), joka ei kuitenkaan ollut parempi kuin aiemmat versiot..

Lobachevskii väitti ensinnäkin, että geometria oli tiede avaruudessa olevista kehoista ja että avaruus on kolmiulotteinen. Primitiivisin käsite oli kontakti, ja sen vastakohta, leikkaus, joka erotti kaksi ruumista. Kaksi ruumiista, jotka eivät ole kosketuksissa, on erotettu toisistaan ja sopiva kolmas kappale, jotka ovat kosketuksissa molempien kanssa, mittaa niiden välistä etäisyyttä, käsitettä, jota muuten ei määritelty. Hän voi siis määritellä pallon, jonka keskipiste tietyssä pisteessä on kaikkien pisteiden kokoelma, joka on yhtä kaukana tietystä pisteestä. Sitten hän osoitti, kuinka määritellä taso kaappaamalla intuitio, joka antaa kahdelle erilliselle pisteelle taso on pisteiden kokoelma avaruudessa, jotka ovat samalla etäisyydellä kustakin annetusta pisteestä. Hänen mukaansa, kun on annettu kaksi pistettä, taso on pistejoukko, joka on yhteinen kahdelle saman säteen pallolle,yksi keskittyi yhteen pisteisiin ja toinen toiseen. Rivi voidaan määritellä samalla tavalla.

Intuition kanssa, jonka mukaan etäisyys on alkeellinen käsite, tulee enemmän ymmärrystä liikkeestä tai ainakin tuloksista, jotka aiheutuvat liikkumisesta esineitä muuttamatta niitä. Voidaan kuvitella, että kuljetetaan jäykkä runko, esimerkiksi kuutio, jonka sivut ovat yksikköpituisia, ja käyttää yhtä reunoistaan pituuksien merkitsemiseen. Myöhemmin näemme, että mahdollisuudet, joita tähän prosessiin aiheutuvat kana vai muna välinen keskustelu Bertrand Russell ja Henri Poincaré lopussa 19 th luvulla.

Uusi geometria asetti radikaalin haasteen euklidiselle geometrialle, koska se kiisti perinteisen geometrian parhaimman vaatimuksensa varmuudesta, nimittäin siitä, että se oli ainoa looginen järjestelmä geometrian keskustelemiseksi lainkaan. Siinä hyödynnettiin myös asiantuntijoiden tuntemaa jännitettä suoran ja lyhyimmän käsitteiden välillä. Mutta muilla tavoin se oli tavanomaista. Se ei tarjonnut uusia määritelmiä tutuille käsitteille, kuten suoruus tai etäisyys, se oli samaa mieltä euklidisen geometrian kanssa kulmien suhteen, se vain tarjosi erilaisen käsityksen rinnakkaisista viivoista perustuen erilaiseen intuitioon suorien linjojen etäkäyttäytymisestä. Sen kannattajat eivät esittäneet skeptistä johtopäätöstä. Bolyai ja Lobachevskii eivät sanoneet: "Katso, on olemassa kaksi loogista, mutta ristiriidassa olevaa geometriaa, joten emme voi koskaan tietää mikä on totta." Sen sijaan,he pitivät toivoaan, että kokeet ja havainnot päättävät. Epistemologinen hinta, joka ihmisten olisi maksettava, jos tähtitieteelliset havainnot olisivat laskeneet uuden geometrian hyväksi, olisivat tietyssä mielessä olleet vähäisiä: olisi pitänyt sanoa, että suoraviivoilla on lopulta odottamaton ominaisuus, mutta vain yksi havaittavissa pitkiä matkoja tai huomattavien mikroskooppien avulla. On varma, että monet euklidisen geometrian lauseista olisi sitten työstettävä uudelleen, ja heidän tutut euklidiset vastineensa näyttäisivät olevan vain erittäin hyviä arvioita. Mutta tämä on suurelta osin verrattavissa tilanteeseen, jonka Newtonin mekaniikka löysi itsensä erityisen suhteellisuustekijöiden syntymisen jälkeen.tietyssä mielessä ovat olleet vähäisiä: olisi pitänyt sanoa, että suorilla viivoilla on lopulta odottamaton ominaisuus, mutta yksi voidaan havaita vain pitkillä etäisyyksillä tai huomattavien mikroskooppien avulla. On varma, että monet euklidisen geometrian lauseista olisi sitten työstettävä uudelleen, ja heidän tutut euklidiset vastineensa näyttäisivät olevan vain erittäin hyviä arvioita. Mutta tämä on suurelta osin verrattavissa tilanteeseen, jonka Newtonin mekaniikka löysi itsensä erityisen suhteellisuustekijöiden syntymisen jälkeen.tietyssä mielessä ovat olleet vähäisiä: olisi pitänyt sanoa, että suorilla viivoilla on lopulta odottamaton ominaisuus, mutta yksi voidaan havaita vain pitkillä etäisyyksillä tai huomattavien mikroskooppien avulla. On varma, että monet euklidisen geometrian lauseista olisi sitten työstettävä uudelleen, ja heidän tutut euklidiset vastineensa näyttäisivät olevan vain erittäin hyviä arvioita. Mutta tämä on suurelta osin verrattavissa tilanteeseen, jonka Newtonin mekaniikka löysi itsensä erityisen suhteellisuustekijöiden syntymisen jälkeen.ja heidän tutut euklidiset vastineensa näyttäisivät olevan vain erittäin hyviä arvioita. Mutta tämä on suurelta osin verrattavissa tilanteeseen, jonka Newtonin mekaniikka löysi itsensä erityisen suhteellisuustekijöiden syntymisen jälkeen.ja heidän tutut euklidiset vastineensa näyttäisivät olevan vain erittäin hyviä arvioita. Mutta tämä on suurelta osin verrattavissa tilanteeseen, jonka Newtonin mekaniikka löysi itsensä erityisen suhteellisuustekijöiden syntymisen jälkeen.

5. Riemannian geometria

Paljon merkittävämpi muutos tapahtui Bernhard Riemannin suurennetun Gaussin differentiaaligeometrian laajennuksen myötä. Monet epistemologisista kysymyksistä on jo esitelty Gaussin teoksessa (1828), joten siirrymme siihen ensin.

Gauss pohti syvästi sitä, mitä on pinnan määritteleminen, ja hän huomasi, että kolme määritelmää peräkkäisestä yleisyydestä ovat mahdollisia. Voidaan olettaa, että ainakin paikallisesti pinta voidaan antaa muodossa (z = f (x, y)) joillekin (x) ja (y) funktioille (f). Tämä pätee palloalueisiin, mutta ei kaikkiin kerralla. Yleisemmin voidaan olettaa, että pinta koostuu niistä pisteistä ((x, y, z)), jotka täyttävät muodon yhtälön (f (x, y, z) = 0), koska pallo on. Yleisemmin vielä, Gaussin mukaan, voi olla, että pinta annettiin paikallisesti kolmella toiminnolla, joista molemmat ovat muuttujia (u) ja (v). Näitä kahta muuttujaa on pidettävä tason pisteiden koordinaattina ja funktiot (x (u, v), y (u, v)) ja (z (u, v)) yhdessä anna pinnan pisteiden koordinaatit avaruudessa. Tässä asetuksessajokaisella pintakappaleen pisteellä on (u) ja (v) koordinaatit tasossa. Pinnan kahden pisteen välinen etäisyys, jotka vastaavat ((u, v)) ja ((u + du, v + dv)) tasossa, annetaan Pythagoran lauseen version avulla kaavan muoto

) tunniste {*} ds ^ 2 = E (u, v) du ^ 2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv ^ 2)

missä (E, F) ja (G) määritetään funktioilla (x, y) ja (z) ja tyydytetään (EG - F ^ 2 / gt 0).

Gauss pystyi määrittelemään pinnan kaarevuuden mitan pisteessä, ja hän löysi siitä jotain merkittävää: kaarevuuden mitta riippuu vain (E, F) ja (G) ja niiden johdannaisista suhteessa (u) ja (v), mutta ei toiminnoissa (x (u, v), y (u, v)) ja (z (u, v)) suoraan. Tarkka lauseke on pitkä ja monimutkainen, mutta merkitys on, kuten Gauss huomautti, että hänen pinnan kaarevuuden mitta pisteessä on luontainen: se määritetään kokonaan pinnan mittausten perusteella eikä siihen liity mitään kysymystä kolmas ulottuvuus suorassa kulmassa pintaan nähden. Kun etäisyys on metrinen, kaava (*), kaarevuus voidaan löytää. Jos esimerkiksi etäisyyskaava on tasossa olevan pallokartan kaava,kaarevuuden todetaan olevan pallon säteen neliön vastavuoroinen.

Gauss tutki myös, milloin yksi pinta voidaan kartoittaa toiseen siten, että etäisyydet eivät muutu: jos kaksi pinta-alaa (P) ja (Q) ovat toisella pinnalla etäisyyden (d) päässä toisistaan, niin samoin heidän kuvat toisella pinnalla. Gauss pystyi osoittamaan, että välttämätön edellytys tämän tapahtumiselle on, että kaarevuudet vastaavissa kohdissa ovat samat. Esimerkiksi sylinteri ja taso ovat paikallisesti isometrisiä; vaikka sylinteri on kaareva, Gaussin mielessä kaarevuus on nolla, samoin kuin tasossa, siksi tulostaminen pyörivästä rummusta on mahdollista.

Tämä tarkoittaa sitä, että pinnan kartalta voidaan päätellä geometrisiä ominaisuuksia, jotka ovat riippumattomia kartan yksityiskohdista ja viittaavat itse pintaan. Sen Gaussin kaarevuus kussakin pisteessä tunnetaan, ja on myös muita ominaisuuksia, jotka voidaan päätellä tietämällä (ds ^ 2), esimerkiksi lyhimmän pituuden käyrä kahden pisteen välillä (tietyin ehdoin).

Ei heti ymmärretty, että Gaussin lähestymistapa antoi matemaatikoille mahdollisuuden määritellä pinnat tason alueiksi, joilla on tietty metriikka, joita ei saa saada euklidisen 3-ulotteisen avaruuden pinnoista. Tietysti, jos joku määrittelee pinnan kartan kuvana kappaleesta (mathbb {R} ^ 2) - (mathbb {R} ^ 3), niin tietysti se on (mathbb {R} ^ 3). Mutta jos jokin pinta määritellään alueeksi (mathbb {R} ^ 2) tietyllä metrillä, niin (mathbb {R} ^ 3) -pinnalla ei voi olla pintaa, jota se vastaa. Ensimmäinen henkilö, joka arvosti tätä, näyttää olleen Riemann, joka myös laajensi idean mihin tahansa lukuisiin ulottuvuuksiin.

Riemannin ideat olivat sekä syviä että naiiveja, ja siksi niitä osoittautui vaikeaksi tarkentaa, mutta voimme tyytyä siihen, että olemme alun perin naiivia. Hänen mukaansa hänelle annettiin tila (hän kutsui sitä”monimuotoisuudeksi”), jossa voi milloin tahansa määrätä koordinaattijärjestelmän ainakin kaikille mielivaltaisen lähtöpisteen lähellä oleville pisteille, ja jos niin tapahtuu, jokainen piste on liittynyt alkupisteeseen luettelolla (n) numeroista, hän sanoi, että tila on (n) - ulotteinen. Voimme ajatella tätä prosessia tarjoavan kartan ainakin sille alkupisteen lähellä olevalle avaruuden osalle (mathbb {R} ^ n). Toistaiseksi tämä eroaa pintatapauksesta vain siinä, että kaksi ulottuvuutta on korvattu (n).

Sitten hän väitti, että oli keino sanoa, mikä etäisyys oli äärettömän pieni, yleistämällä kaava (ds ^ 2) 2: sta (n) muuttujalle. (Hän salli jopa täysin erilaisten kaavojen käytön, mutta emme tule kuvaamaan hänen teoriaansa sitä osaa, joka antaa kesän monien vuosien ajan).

Seuraavaksi hän tarkisti, että tämä kaarevuuden luontainen ominaisuus säilyi korkeammissa mitoissa, mitä se tekee. Tämä johtuu pääasiassa siitä, että (n) - ulotteisella esineellä on paljon kaksiulotteisia pintoja, joihin Gaussin teoriaa sovelletaan, joten (n) - ulotteisen kohteen kaarevuuden käsitys pisteessä voidaan johtaa tarkastellaan pisteen läpi kulkevia 2-ulotteisia pintoja.

Nyt hän kysyi, mitä enemmän haluamme pystyä tekemään geometriaa? Tila on ominaisuuksilla, jotka ovat riippumattomia koordinaattijärjestelmästä. Jos kaksi erilaista koordinaattijärjestelmää antaa erilaiset koordinaatit, mutta tekee sen siten, että pisteiden välinen etäisyys säilyy, niin jompikumpi järjestelmä antaa meille mahdollisuuden tehdä geometriaa, ja kun huomaamme, että kaksi koordinaattijärjestelmää sopivat kaarevuuksista kussakin pisteessä pisteiden välisillä etäisyyksillä ja niin edelleen.

Koska (ds ^ 2) -kaava kirjoitettiin vain muutamilla rajoituksilla, ei ole syytä uskoa, että Riemannian geometria määritetään edeltävän euklidisen geometrian suhteen. Ei väitetä, että (n) - ulotteinen Riemannian geometria olisi saatava kartalla jonkin euklidisen (N) - ulotteisen euklidisen avaruuden (n) - ulottuvuusosajoukon kartalta. Tämä tarkoittaa, että geometria voidaan tehdä viittamatta mihinkään euklidiseen geometriaan: Euklidinen geometria ei ole enää epistemologisesti ennen minkään muun geometrian tutkimusta. Euclidin hallitus oli teoreettisesti ohi.

5.1 Geodesics ja yhteydet

Kun otetaan huomioon etäisyyden käsite jakoputkessa, on mahdollista puhua geodetiikasta - kahden pisteen yhdistävä geodesia on lyhin pituuskäyrä näiden kahden pisteen välillä. Oleellisuutta ja ainutlaatuisuutta koskevat kysymykset voidaan nostaa esiin, ja niihin vastataan usein. Tullio Levi-Civita saavutti merkittävän edistyksen vuonna 1917 ja Hermann Weyl vuonna 1918 Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian innoittamana, kun he näyttivät kuinka määritellä rinnakkaisuus kaarevassa jakotukossa (Levi-Civitan panoksesta, katso Bottazzini 1999 ja sen jälkeen) Weylin kommentti, ks. Scholz 2001). Karkeasti sanottuna Weylin esityksessä (1918) kaksi eri pisteissä olevaa vektoria ovat yhdensuuntaiset, jos ne kuuluvat vektorijoukkoon käyrällä, joka ei vaihtele käyrällä. Kaarevuuden vaikutuksena on, että tämä määritelmä on riippumaton vektoriperheestä, mutta riippuu käyrästä, ellei kaarevuus ole nolla; vektorien tyypillisessä jakotukissa voidaan sanoa olevan vain yhdensuuntaisia käyrää pitkin.

Etäisen rinnakkaisuuden käsite sallii vektorin siirtämisen mielivaltaista käyrää pitkin tavalla, joka pitää sen yhdensuuntaisena itsensä kanssa jokaisessa pisteessä. Tätä kutsuttiin tapaksi muodostaa yhteys eri pisteiden välille, ja teoriasta tuli nimitys jakotukien liitosten teoriaksi. Erityisesti on mahdollista kysyä, koostuuko käyrän tangenttivektorien perhe vektoreista, jotka ovat samansuuntaisia tangenttivektorin kanssa lähtöpisteessä. Jos näin on, käyrä on luonnollinen ehdokas, jota voidaan pitää suoraimpana käyränä sen päätepisteiden välillä, koska tangenttivektori ei koskaan kiihdytä käyrää pitkin.

Liitännät voidaan määritellä metristä riippumatta, mutta jos metrit ja yhteys ovat yhteensopivia, voidaan osoittaa, että mikä tahansa tämän käyrän pieni kappale on lyhin käyrä, joka yhdistää sen päätepisteet, joten jakoputken suorimmat käyrät ovat geodeettisia. Nykyaikaisessa differentiaaligeometriassa geodesikat määritellään yhteyksien kautta.

5.2 Riemann ja Beltrami sekä tiukka ei-euklidinen geometria

Riemannin”Ueber die Hypothesen…” (luennoitsijana vuonna 1854, julkaistu postuaalisesti vuonna 1867) ja Beltramin “Saggio” (1868) antoivat erilaisia, mutta vastaavia selityksiä 2-ulotteisesta ei-euklidisesta geometriasta kuvaamalla sitä sisätilan geometriana. levystä, jolla on uusi metrinen tieto. Riemannin tili, joka esitettiin ulottuvuuksissa, on yhtä mieltä siitä, jota Poincarén oli tarkoitus käyttää monissa lyhyissä julkaisuissa vuosina 1880 ja 1881, mutta kuvailee vain nimenomaisesti pääaineistossaan (Poincaré 1882). Tässä metriikassa geodeettiset ovat ympyrän kaaria, jotka ovat kohtisuorassa kiekon rajaan nähden, ja kulmat esitetään oikein. Beltramin versiossa geodesiaa edustavat suorat segmentit, jotka ovat levyn sointuja. Riemann ja Beltrami -levyt vakuuttivat nopeasti matemaatikot, että Boljain ja Lobachevskiin ei-euklidinen geometria tekivät,tee lopulta tiukka matemaattinen järki. Poincarén panos vuosikymmentä myöhemmin oli tehdä ei-euklidisesta geometriasta luonnollista geometriaa tietyille aiheille muualla matematiikassa, lähinnä Riemannin pintojen kehittyvässä ja tärkeässä aiheessa.

Matematiikan minkään osan tiukan huomioon ottamisen merkitystä ei pidä unohtaa, mutta Riemannian geometrian hyväksyminen muun kuin euklidisen geometrian asettamisessa ylitti johdonmukaisen muodollisuuden esittämisen. Se merkitsee hyväksyntää näkemykseen, jonka mukaan geometria on mitä tahansa, jota voidaan kuvata Riemannian formalismissa. Ovi avataan näkymään, että geometrioita on monia, joiden on oltava johdonmukaisia, eikä minkään niistä tarvitse viitata euklidiseen geometriaan. Käsiteltävänä olevan 'avaruuden' ulottuvuuksien lukumäärä, 'avaruuden' topologinen luonne ja tarkka mitta ovat kaikki välinpitämättömyyden asioita. On olemassa sellainen ja sellainen 2-ulotteinen geometria, koska sopiva mittari voidaan löytää; koska siellä on, kuten se oli, kartta siitä,ei siksi, että kohdasta (mathbb {R} ^ 3) on löytynyt pinta, jolla on oikeat ominaisuudet. Itse asiassa myöhemmin osoitettiin (Hilbert 1901), että (mathbb {R} ^ 3) ei ole pintaa, joka vastaa tarkalleen ei-euklidista 2-ulotteista tilaa.

Riemann oli selvä, että tällä tavalla geometrian tekemisellä oli epistemologisia vaikutuksia. Matemaatikkojen ei enää tarvitse erottaa joitain perustavaa laatua olevia intuitioita fyysisestä tilasta uskomastaan, kuten suorien viivojen tai ympyrien luonteesta ja ominaisuuksista, ja pyrkiä rakentamaan todellinen geometria näiden intuitioiden jonkin aksioomaattisen ilmaisun perusteella. Pikemminkin ajatussuunnan tulisi mennä päinvastaiseen suuntaan: matemaatikot voivat vapaasti rakentaa äärettömän monta geometriaa ja nähdä, mitä sovellettiin fyysisessä tilassa. Tässä yhteydessä osoitettiin pian, että teoreettinen mekaniikka on mahdollista tehdä muun kuin euklidisen geometrian asettamisessa.

6. Ei-euklidisen geometrian ymmärrettävyys

Projektiivisen geometrian epistemologinen merkitys riippuu sen vaikutuksista klassisen geometrian luonteeseen ja tarkkuuteen. Ei-euklidisen geometrian epistemologinen merkitys riippuu enemmän mahdollisuudesta, että voisi olla totta millä tahansa tavalla, että euklidinen geometria voisi olla totta. Siksi siirrymme 1900- luvun tutkimuksiin geometrian ymmärrettävyydestä.

6.1 Herbartin filosofia

Johann Friedrich Herbartista tuli Kantin seuraaja Königsbergissa vuonna 1808, missä hän pysyi Göttingeniin vuoteen 1833 mennessä, missä hän kuoli vuonna 1841, mutta hän ei ollut ortodoksinen kanttilainen. Hänen pääteoksensa, kaksiosainen Psychologie als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik ja Mathematik, vuosina 1824–1825, yritti pohjata psykologian filosofiaan ja käsitteli kokemusta ja metafysiikkaa tasa-arvoisesti. Joitakin mielenkiintoisia matematiikoita käyttämällä hän yritti näyttää, kuinka muisti toimii ja kuinka tietyntyyppiset toistuvat ärsykkeet saavat aivot oppimaan havaitsemaan esimerkiksi linjat, rinnakkaisviivat, risteävät viivat ja pinnat. Herbartin mielestä ei ole synnynnäisiä ideoita; visuaalinen tila rakennetaan kokemuksen perusteella, mikä merkityksellisimmin tapahtuu konseptuaalisen toiminnan avulla, jonka avulla voidaan päätellä jatkuvuus alueellisissa prosesseissa. Ja käsitteet syntyy muistoklustereilla, joiden logiikka toimii sitten alkuperästään riippumatta. Tämä oli Herbartin tapa välttää matala logiikka psykologiassa.

Herbartin ideat vaikuttivat Riemanniin (katso Scholz 1982). Riemann piti luonnontieteenä yritystä ymmärtää luontoa tarkkojen käsitteiden avulla, joita on muokattava kokemuksemme perusteella. Hän odotti menestyneimpien konseptien olevan varsin abstrakteja ja yhtyi Herbartin kanssa siihen, että ne eivät voisi olla ennakolta Kantian tavalla. Lisäksi juuri heidän käsityksensä alkuperä antoi näille käsitteille merkityksen tieteelle. Muistiinpanoissa, jotka hän kirjoitti itselleen (ks. Riemann Werke 1990: 539), Riemann kertoi olevansa samaa mieltä Herbartin kanssa psykologiasta ja epistemologiasta, mutta ei ontologiasta tai ajatuksistaan avaruuden, ajan ja liikkeen käsitteiden rakentamisesta. Erimielisyys peittää syvemmän myötätunnon. Herbart oli puolustanut kolmiulotteista todellista maailmaa, joka koostuu kausaalisesti kytketyistä, mutta erillisistä monadeista,jota mieli käsittelee jatkuvuuden käsitteen kautta, jonka se tarjoaa, kääntäen siten erilliset kokemuksensa mahdollisuuksien spektriksi. Riemann ei nähnyt syytä rajoittaa huomion kiinnittämistä kolmeen ulottuvuuteen, ja muutti mahdollisuuksien jatkuvat spektrit hyvin luomiinsa geometrisiin käsitteisiin.

Tämä heikensi tai ehkä jätti jälkeen kokemuksen roolin, jota Herbart oli korostanut. Riemann teki tietoisuuden siitä, mitä Herbart oli sanonut tapahtuvan luonnollisesti: jos kokemus luo käsitteitä, joiden avulla me kehitämme maailmaa, Riemannin mukaan, antaa Riemann sanoa, että matematiikan luodaan tarkempia ja joustavampia käsitteitä, joiden avulla tiede voidaan suorittaa.

6.2 Helmholtz ja Poincaré

Riemannin ideat puolestaan vaikuttivat Hermann von Helmholtziin, joka julkaisi useita vaikuttavia esseitä siitä, kuinka geometrian tietämyksemme on mahdollista. Hän pyrki teoksessaan "Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie" (1868) osoittamaan, kuinka vain rajallinen määrä Riemannian geometrioita voidaan rakentaa, joissa on käsitys jäykästä kehon liikkeestä. Hän väitti, että kokemus jäykistä kappaleista opettaa meille, mikä tila on ja erityisesti mikä etäisyys on. Lisäksi hän väitti, että 2-ulotteinen tila, joka myöntää jäykät vartalojen liikkeet, olisi joko euklidinen taso tai pallo. Beltrami kirjoitti hänelle huomauttaakseen, että hän oli jättänyt huomiotta mahdollisen muun kuin euklidisen geometrian ja että Helmholtz ei vain suostu siihen,mutta kirjoitti uuden esseen (1870), jossa hän selitti, kuinka meille olisi mahdollista saada tietoa tästä geometriasta Kantian mielessä (synteettinen a priori). Monet kantialaiset kieltäytyivät vakuuttamasta, todennäköisimmin siitä syystä, että Kant oli varmasti uskonut, että meillä on tällaisia virheettömiä tietoja euklidisesta geometriasta, mutta yksi henkilö, johon nämä ideat todennäköisesti vaikuttivat, oli Henri Poincaré (ks. Gray 2012).

Heti kun Poincaré alkoi kirjoittaa suosittuja filosofisia esseensä geometriasta, hän teki selväksi, että hänen tärkein huolenaihe oli siitä, kuinka voimme luottaa mihinkään geometriaan. Hän oli hyvin tietoinen Riemannian geometrioiden suuresta valikoimasta ja Helmholtzin spekulointien johtopäätöksistä, jotka tuolloin tehtiin tiukeiksi Sophus Lie -työssä, että hyvin rajallinen määrä geometrioita tunnisti jäykät kehon liikkeet. Hänen huolensa teoksessaan”Geometrian perusteista” (1898) aiheutti epistemologia.

Poincaré väitti, että mieli tajuaa nopeasti, että se voi kompensoida tietyntyyppisiä liikkeitä, joita se näkee. Jos lasi tulee kohti sinua, voit kävellä taaksepäin siten, että lasi näyttää muuttumattomalta. Voit tehdä saman, jos se kallistuu tai pyörii. Mielen tulee sisältää joukko näitä kompensoivia liikkeitä, ja tajuaa, että se voi seurata toisiaan ja seurauksena on kolmas kompensoiva liike. Nämä henkiset teot muodostavat matemaattisen objektin, jota kutsutaan ryhmäksi. Mieli ei kuitenkaan kykene tuottamaan kompensoivia liikkeitä muille näkemällesi liikkeille, kuten viinin liikkeelle lasissa sen pyörittäessä. Tällä tavalla mieli tulee muodostamaan käsityksen jäykästä kehon liikkeestä, joka on juuri liike, jolle mieli voi muodostaa kompensoivan liikkeen.

Sitten Poincaré pohti, mikä ryhmä korvaavien liikkeiden ryhmä voisi olla, ja totesi, että kuten Helmholtz oli ehdottanut ja Lie oli silloin osoittanut, sellaisia ryhmiä oli tiukasti rajoitettu kokoelma. Tärkeimpiä heistä olivat ryhmät, jotka ovat lähtöisin euklidisesta ja ei-euklidisesta geometriasta, ja abstraktina ryhminä ne ovat erilaisia. Mutta kumpi oli oikein?

Poincarén kiistanalainen näkemys oli, ettei kukaan voi koskaan tietää. Ihmiset valitsevat evoluution ja pikkulasten kokemuksemme kautta euklidisen ryhmän ja sanovat näin, että avaruus on euklidinen. Mutta toinen laji, joka hyödyntää erilaisia kokemuksia, voisi valita ei-euklidisen ryhmän ja sanoa, että avaruus oli ei-euklidinen. Jos tapaisimme tällaisen lajin, ei olisi mitään kokeilua, joka ratkaisee asian.

Voi kuvitella, hän sanoi, että se tekee suuria kolmioita ja mittaa kulmat. Kolmion sivut ovat, sanotaan sanottuna, valonsäteiden tekemiä. Oletetaan, että kokeellisten virheiden rajoissa kokeen tuloksena on, että kolmion kulmasumma on pienempi kuin (pi), tulos, joka on yhdenmukainen ei-euklidisen geometrian kanssa, mutta on ristiriidassa euklidisen geometrian kanssa. Ainoa johtopäätös, jonka Poincarén mukaan voidaan tehdä, on, että joko valonsäteet kulkevat suoraa linjaa pitkin ja avaruus on ei-euklidinen tai että tila on euklidinen ja valonsäteet kulkevat käyriä pitkin.

Voimme tiivistää hänen väitteensä tällä tavalla. Tietojemme ulkomaailman geometriasta perustuu henkiselle kyvyllemme käsitellä ryhmää jäykkiä kehon liikkeitä. Näitä ryhmiä on hyvin rajoitetusti, mutta mikään kokeilu ei voi päättää niiden välillä. Voimme tehdä vain valinnan, ja valitsemme yksinkertaisimman. Kuten tapahtuu, se oli euklidinen ryhmä, koska Poincarén mukaan olemme todenneet, että yksi sen ominaisuuksista, jota ei jaeta muiden kuin euklidisten ryhmän kanssa, oli erityisen yksinkertainen. Mutta ihmislaji oli, kuten se oli, tehnyt valinnan, ja tämä valinta oli nyt synnynnäinen ihmisen mielessä. Tietojen hankkimistavan ja sen takia, että on olemassa useampi kuin yksi sopiva ryhmä, emme voi koskaan tietää, onko avaruus euklidinen vai ei-euklidinen, vain, että rakennamme sen euklidiseksi.

Tämä Kantian oppi Ding an Sichin (itsessään oleva asia) tietämättömyydestä ja rajoittumisestamme esiintymismaailmaan oli synnyttävä Poincarélle työfyysikkona, mutta siinä on tärkeä ero. Juuri selitetty näkökulma on Poincarén filosofia geometrisesta konventionismista. Hän kannatti konventionalismia muilla tieteen aloilla ja väitti, että ns. Luonnonlakeina (Newtonin lait, energian säilyttäminen ja niin edelleen) eivät olleet tarkistettavissa olevia empiirisiä asioita eikä absoluuttisia totuuksia, vaan ne olivat vakiintuneita tuloksia, jotka olivat parantuneet aksioomien rooliin nykyisissä tieteellisissä teorioissa. Ne voidaan haastaa, mutta vain jos koko tieteellinen teoria haastetaan, ei tyhjäkäynnillä, kun joitain hankalia havaintoja tehtiin. Poincarén mukaan satelliitin edessä, joka ei näyttänyt noudattavan Newtonin lakeja, pitäisi pohtia jotain vielä huomaamatta jäänyttä voimaa työssä eikä yrittää kirjoittaa Newtonia uudelleen. Mutta voidaan ehdottaa uutta teoriaa, joka perustuu erilaisiin oletuksiin, jotka kirjoittavat luontolain, koska nämä lait eivät ole iankaikkisia totuuksia - emme voi koskaan tietää sellaisia asioita. Ja jos aiotaan ehdottaa uutta teoriaa, voidaan valita uuden ja vanhan välillä vain mukavuussyistä. Uuden ja vanhan välillä voi valita vain mukavuussyistä. Uuden ja vanhan välillä voi valita vain mukavuussyistä.

Ratkaiseva ero tässä on se, että tieteellinen konventionismi toimii korkealla tasolla. Valinnat tehdään tietoisesti ja älyllisesti, keskustelu on avoin vain ihmisille, joilla on huomattava määrä erikoistunutta koulutusta. Geometrinen konventionalismi toimii mielessä ennen kuin se kykenee minkäänlaiseen muodolliseen ohjeeseen, ja jos se ei toimisi, onneton aihe olisi kykenemätön tuntemaan ulkoista maailmaa.

6.3 Poincaré vs. Russell

Poincarén näkemykset saivat hänet törmäykseen Bertrand Russellin kanssa 1890-luvulla, kun hän oli nousemassa hänen lyhyestä Hegelian vaiheestaan ja siirtymässä Kantian vaiheeseen. Russell yritti perustaa Kantian a priori väittämällä, että on olemassa yksi perustavanlaatuinen geometria, joka on projektiivinen geometria, ja että meillä on siitä synteettinen a priori-tieto (ks. Griffin 1991 Russellista ja Nabonnand 2000 ristiriidassa).

Ei voi olla epäilystäkään siitä, että Poincaré, jolla oli paljon suurempi matematiikan osaaminen, voitti suuren osan keskustelusta, koska Russell, jolla oli ominainen halukkuus myöntää virheensä, oli valmis myöntämään. Mutta merkittävää lähestymistavan eroa heidän välilläan ei koskaan ollut ratkaistu. Poincarén analyysi alkoi ajatuksella jäykistä kappaleista, joista luodaan etäisyyden käsite. Russell väitti päinvastoin, että riippumatta siitä, minkä voimme löytää käsityksen etäisyydestä, tiedämme ennen kuin aloitamme, että etäisyys Lontoosta Pariisiin on yli metri. Tämä Poincaré kiisti teoksessaan "Des fondements de la géométrie: à javaslat d'un livre de M. Russell" (1899).

Poincarén mielestä me tiedämme vain etäisyyden pisteestä toiseen, kun olemme selvittäneet, mitkä jäykät rungot tekevät, ja tästä tiedosta on tullut synnynnäinen meissä. Russellin mielestä mikään keskustelu etäisyyden käsitteestä ei voisi edes ajatella, että etäisyys Lontoosta Pariisiin on alle metri - tietäisimme, että emme puhu etäisyydestä, jos sanomme jotain sellaista. Poincaré vaati, että sen, mitä puhumme siitä, mitä tiedämme, tulisi aina olla riippuvainen siitä, kuinka tunnemme sen; ilman tällaista analyysiä väitteet eivät olleet lainkaan tietoväitteitä. Russell halusi etäisyyttä pidettävä perusteellisena intuitiona.

Matemaattinen kuva voi valaista erimielisyyttä. Poincarén tapauksessa puhutaan siitä, mitä voimme kutsua tavalliseksi geometriaksi, avaruuden tunneksi, joka meillä on ennen pitkälle kehitettyä opetusta, oikeastaan kyvystämme mitata asioita. Voimme kantaa jäykän rungon ympärillä ja käyttää sitä viivaimena. Koska voimme tehdä, voimme puhua paikkojen välisestä etäisyydestä. Jos haluat tehdä asennuksesta abstraktimman, siinä on oltava tila ja ryhmä, joka toimii tilassa ja siirtää pisteitä ympärillä olevassa tilassa. Jos tällä ryhmällä on ominaisuus, että kyseisen tilan aluetta kuitenkin siirretään, sitä ei koskaan kartoiteta itsensä oikeaan alajoukkoon, voidaan rakentaa jäykkiä kappaleita ja puhua etäisyydestä.

Russellille yksi voi vapaasti ottaa välilyönnin ja määrittää "etäisyyden" jokaiselle pisteparille (jollei joitain yksinkertaisia sääntöjä jätetä). Suhteessa tähän etäisyystietoon voidaan sanoa, jos alueen liikkuessa pisteitä siinä on sama etäisyys toisistaan vai eivät. Olemme tehneet tämän etäisyyden tunteemme vuoksi maan pinnalla, ja voimme tehdä sen riippumatta siitä, onko meillä myös joitain jäykkiä kehon liikkeitä. Matemaattisesti Russell olisi tyytyväinen siihen, mitä kutsutaan metriseksi tilaksi. Asia ei ole se, että voitaisiin asettaa metriikka maapallon pinnalle, jossa tietyt pisteparit, esimerkiksi Cambridge, olivat metrin päässä toisistaan ja Lontoo ja Pariisi olivat vain puolen metrin päässä toisistaan - voisivat, mutta että puhua etäisyydestä olettamatta ryhmän toimintaa. Jotkut metritilat sallivat ryhmien toiminnan, joka säilyttää etäisyyden,toiset eivät, mutta etäisyys voidaan määritellä puhumatta ryhmästä. Poincaré ei koskaan joutunut kohtaamaan tarkalleen tätä argumentti-metristä tilaa ovat keksintö 20nnen vuosisadan mutta tiedämme, mitä hän olisi sanonut. Hän olisi sanonut, että se oli pätevä matematiikka, mutta täysin muodollinen eikä sitä voinut pitää aitona tietona, koska sillä ei ollut psykologista ulottuvuutta. Tiedämme tämän, koska kyse oli hänen kritiikistään Hilbertin rakentamista aksomaattisista geometrioista (katso alla).

Poincarén väitteet vastasivat myös italialaisen matemaatikon Federigo Enriquesin vastalauseita. Poincaré oli väittänyt, että yksi tapa nähdä geometrisen konventionistisen väitteen pätevyys oli harkita levyä, jossa kaikki oli tehty samasta materiaalista, joka laajeni kuumentuessaan ja jossa lämpötila oli erityinen funktio etäisyydestä etäisyydestä. levyn keskellä. Tämä Poincarén määrittelemä toiminto varmisti, että kiekon mittatiedot, mitattuna tankoista, jotka oli tehty samasta materiaalista kuin kiekko, olivat muun kuin euklidisen geometrian. Levyllä elävät olennot kertovat, että heidän tilaa ei-euklidinen; vastaamme, että avaruudessa oli euklidista, mutta lämpötilakentän vääristävä vaikutus alttiina. Pelkästään molemmat osapuolet voivat säilyttää asemansa ilman ristiriitoja.

Enriques väitti asiassa Problemi della Scienza (1906), että tämä oli kohtuutonta. Olennot olisivat oikeassa määritelläkseen geometriansa tilalleen (ja todellakin muun kuin euklidisen geometrian), koska vääristävä voima ei ole heidän hallussaan. Heidän geodesiansa on rakennettu avaruuteen, ja heidän olisi kohtuutonta määritellä geodesian polkuja "voiman" toimintaan, koska tuo "voima" ei ollut jotain, jota he voisivat periaatteessa jopa manipuloida. Lämpö, massiivisten esineiden painovoimavaikutus, kaikki nämä vääristävät vaikutukset ovat asioita, jotka voidaan sallia, koska niitä voidaan muuttaa. Jos yllä olevassa kokeessa väitetään, että avaruus on euklidinen, mutta suoraviivaiset ehdokkaamme ovat epämuodostuneita, muodonmuutosastetta tulisi olla mahdollista vaihdella. Koe voidaan suorittaa kauempana kaikista massiivisista esineistä, tyhjimmillä avaruusalueilla. Jos eri kokeet antavat jopa hiukan erilaisia tuloksia, poincarén omien tieteellisten yleissopimusten muuttamiskriteerien mukaisesti etsitään jotain olosuhteissa, jotka olivat vastuussa valonsäteiden poikkeamisesta suorisuudesta. Mutta jos kaikki kokeet olivat yhtä mieltä, Enriques väitti, että olisi järkevää päätellä, että valonsäteet kulkivat geodetiikassa ja avaruuden geometria oli ei-euklidinen. Mutta jos kaikki kokeet olivat yhtä mieltä, Enriques väitti, että olisi järkevää päätellä, että valonsäteet kulkivat geodetiikassa ja avaruuden geometria oli ei-euklidinen. Mutta jos kaikki kokeet olivat yhtä mieltä, Enriques väitti, että olisi järkevää päätellä, että valonsäteet kulkivat geodetiikassa ja avaruuden geometria oli ei-euklidinen.

On myös syytä huomata, että ideoiden kasvava hienostuneisuus siitä, kuinka teoreettinen geometria liittyy käytännölliseen kokemukseen, ja sen tiedon luonteesta, jonka geometria tuottaa, kuuluvat koko matematiikan muutosperheeseen vuoteen 1900 mennessä. Matematiikan autonominen oppila syntyi joka korosti yhä enemmän aiheen muodollisia näkökohtia ja tarjosi monimutkaisen ja usein kaukaisen suhteen kokemusmaailmaan. Tätä modernistista käännöstä matematiikassa keskustellaan useissa paikoissa (ks. Gray 2008 ja siellä mainittu kirjallisuus).

7. Loppuhuomautukset

Tämä essee on tutkinut päähaarojen kehittämisessä geometrian asti alkuvuosina 20 : nnen vuosisadan otsikoilla teoreettisten tai abstraktin tiedon, empiirinen ja muita analyyseja ymmärrettävyyttä sellaista tietoa, ja deduktiivinen luonne tätä tietoa.

Suoran tilan perustana oleva euklidinen geometria sekä lyhyimmänä käyränä, joka yhdistää sen kaksi pistettä, että käyränä, joka osoittaa aina samaan suuntaan, irrotettiin. Yksi tutkimuslinja johti geometrioihin, joissa korostettiin suoraaisuutta perusominaisuutena (tyypillisesti projektiivinen geometria) ja toisen geometrioihin, jotka korostivat lyhyintä puolta. Aikaisempaa lähestymistapaa pidettiin alusta lähtien ei-metrisenä, ja siitä tuli suosittu areena geometrian muodollisille, jopa aksioomaattisille tutkimuksille deduktiivisena yrityksenä. Hinnalla oli vähemmän ja vähemmän sanottavaa fyysisestä tilasta (kuten Poincaré havaitsi). Geometrian käsitettä laajennettiin radikaalisti, mutta tavoilla, joita ei ollut tarkoitettu olevan ymmärrettävän tilan tilejä.

Metrinen tili johti asteittaiseen Euclid's Elementsin epäselvyyden selvittämiseen: rinnakkaispostulo. Suuren osan 19 th luvulla, tämä oli ainoa vaihtoehto Euklideen että ehdotettiin ymmärrettävässä geometria, vaikka se yleensä sovittu, että vain kaikkein vaikeimmat kokeiluja voisi toivoa päättää asiasta. Poincarén kiistanalainen näkemys oli, että mikään koe ei voinut päättää niin, ja tämä herätti tärkeitä kysymyksiä siitä, miten abstraktit termit on tulkittava.

Kahta tuhatta vuotta kestäneen Euclidin geometriajärjestelmän yhden vaihtoehdon silmäänpistävän idean lisäksi siellä oli joukko metrisiä geometrioita, joista vihjattiin Gaussin työssä differentiaaligeometriaa varten ja Riemannin laatimiksi. Tässä osoittautui lopulta mahdolliseksi selittää suoran ja lyhyimmän välinen suhde sopivasti yleisessä ympäristössä. Oli myös mahdollista keskustella geometriasta kokonaisuutena ideoita, jotka kasvoivat naiivista ideoista, jotka olivat pituus, kulma, muoto ja koko, ja tehdä niin hienostuneella ja tiukalla tavalla vetoamalla aksioomiin riippumatta siitä, olivatko nuo aksioomat tarkoitettu vai ei. ymmärrettävän kokemuksen tislauksina. Tällä tavoin tuli mahdolliseksi soveltaa geometrisia ideoita uusissa ympäristöissä ja uusilla tavoilla.

1900- luvun ensimmäisen vuosikymmenen loppuun mennessä oli selvää, että euklidinen geometria oli menettänyt merkittävän asemansa. Oli parempia muodollisia, aksiomaattisia järjestelmiä (kuten Hilbertin ja eräiden matemaatikkojen ehdottamat Peanon ympäristössä sijaitsevassa koulussa). Oli rikkaita järjestelmiä, jotka olivat perustavanlaatuisempia siinä mielessä, että perinteisen geometrian figuureissa, kuten suorassa (vähemmän projektiivisen geometrian monia versioita), käytettiin vähemmän ominaisuuksia. Ja siellä oli runsaasti metrisiä geometrioita, joissa oli luonnollisempia lähtökohtia ja syvempiä teorioita.

Seurauksena on, että ideat siitä, kuinka minkä tahansa tyyppinen teoreettinen geometria liittyy ympäröivään tilaan, oli tullut paljon hienostuneempia. Geometrian totuutta ei enää pitänyt pitää itsestäänselvyytenä, vaan siitä oli tullut jossain määrin empiiristä, ja myös filosofiset ajatukset geometrian ymmärrettävyydestä olivat syventyneet.

bibliografia

  • d'Alembert, J. le Rond, 1784, Encylopédie Méthodique: Mathématique.
  • Badici, E., 2011,”Tasa-arvovaatimukset ja Hume'n näkemys geometriasta”, Pacific Philosophical Quarterly, 92 (4): 448–467.
  • Beltrami, E., 1868,”Saggio di interpretazione della geometria non Euclidea”, Giornale di Matematiche, 6: 284–312, julkaisussa Opere matematiche I: 374–405. Englanninkielinen käännös julkaisussa J. Stillwell, 1996, Hyperbolisen geometrian lähteet (Matematiikan historia 10), Amerikan ja Lontoon Mathematical Societies, p. 7-34.
  • Bioesmat-Martagon, L., 2011, avaruusprojektin kansainvälinen biografia, Nancy: Nancy Presses Universitaires de Nancy, Geometrian kokoelmahistoria, 2.
  • Bolyai, J., 1832,”Annex scientiam spatii absoluuttisen veraminäyttelyt”, julkaisuissa W. Bolyai ja J. Bolyai, 1832, Tentamen juventutem studiosam Elementa Matheosis puraessa ym., Maros-Vásérhely, 2 osaa. Englanninkielinen käännös, kirjoittanut GB Halsted,”Avaruuden tieteellinen absoluutti”, liite Bonolassa 1912 ja julkaisussa JJ Gray, 2004, János Bolyai, ei-euklidinen geometria ja avaruuden luonne, Burndy Library, MIT.
  • Bonola, R., 1906, La geometria non-Euclidea, Bologna: Zanichelli, englanninkielinen käännös HS Carslaw, esipuhe F. Enriques, 1912, Muu kuin euklidinen geometrian historia, Chicago: Open Court; uusintapainos, New York: Dover, 1955.
  • Bottazzini, U., 1999,”Ricci ja Levi-Civita: differentiaalisista invarianteista yleiseen suhteellisuuteen”, julkaisussa JJ Gray (toim.) Symbolinen maailmankaikkeus: geometria ja fysiikka 1890–1930, Oxford: Oxford University Press.
  • Chasles, M., 1837, Aperçu historique sur l'origine and des développement des méthodes en géométrie… Suval d'Or Mémoire de géométrie jne.. tom. 11, Bruxelles.
  • Clairaut, AC, 1741, Elémens de géométrie, Pariisi: David Fils. Uusintapainos 1920, Pariisi: Gauthier-Villars.
  • Cremona, L., 1873, Elementi di geometria projettiva, Torino. Englanninkielinen käännös, kirjoittanut C. Leudesdorf, 1885, Projektiivisen geometrian elementit, Oxford: Clarendon Press.
  • Enriques, F., 1906, Problemi della Scienza. Englanninkielinen käännös, kirjoittanut K. Royce, 1914, Tiedeongelmat, Chicago: Open Court.
  • Enriques, F., 1907,”Prinzipien der Geometrie”, Encylopädie der Mathematischen Wissenschaften, III. I.1,1–129, Leipzig, Teubner.
  • Euclid, Euclid's Elementsin 13 kirjaa, käännös ja kommentit Sir TL Heathilta, New York: Dover Publications, 1956.
  • Gauss, CF, 1828, “Disquisitiones generales circa superficies curvas”, Commentations societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Uusintapainos vuonna 1870, Carl Friedrich Gauss Werke, 4: 217–258; ja julkaisussa P. Dombrowski (toim.), 1978, 150 vuotta sen jälkeen, kun Gauss '' Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas '' oli latinalaista alkuperäiskappaletta, uusintapainos englanninkielisestä käännöksestä, jonka ovat kirjoittaneet A. Hiltebeitel ja J. Morehead, 1902, Astérisque 62, Pariisi: Société mathématique de France; ja julkaisussa P. Pesic, (toimitettu), 2005, Kaarevien pintojen yleiset tutkimukset, New York: Dover Books.
  • Gauss, CF, 1900 Werke 8, Leipzig: Teubner.
  • Gray, JJ, 2008, Platonin aave: Matematiikan modernistinen muutos, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 2011, maailmat tyhjästä; kurssi historian geometrian 19 th luvulla, 2. tarkistettu painos, Lontoo: Springer.
  • –––, 2012, Henri Poincaré: tieteellinen elämäkerta, Princeton: Princeton University Press.
  • Griffin, N., 1991, Russellin idealistinen oppisopimuskoulutus, Oxford: Clarendon Press.
  • Hallett, M. ja U. Majer (toim.), 2004, David Hilbertin luennot geometrian perusteista, 1891–1902, Berliini: Springer.
  • Helmholtz, H. von, 1868,”Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie”, Nachrichten K. Ges. Wissenschaften zu Göttingen, 9. Englanninkielinen käännös, kirjoittanut MF Lowe, 1921,”On geometrian taustalla olevat tosiseikat”, Epistemologiset kirjoitukset, RS Cohen ja Y. Elkana (toim.), Boston Studies in the Science Philosophy, Boston: Reidel, osa 37, 39-57.
  • –––, 1870,”Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome”, Vorträge und Reden, voi. 2, 1–31. Englanninkielinen käännös “Geometrian aksioomien alkuperästä ja merkityksestä”, julkaisussa Epistemological Writings, s. 1–25.
  • –––, 1921, Schriften zur Erkenntnistheorie, Berliini: Springer, P. Hertz ja M. Schlick (toim.), 1977, MF Lowen kääntämä epistemologisina kirjoituksina, RS Cohen ja Y. Elkana (toim.), Reidel.
  • Herbart, JF, 1824–1825, Psychologie als Wissenschaft neu gegründet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik, 2 vols, Königsberg: AW Unzer.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals Göttingenissä, Leipzig: Teubner, monia seuraavia painoksia. Kymmenennen painoksen englanninkielinen käännös, kirjoittanut L. Unger, 1971, Geometrian perusteet, Chicago: Avoin oikeus.
  • –––, 1901,”Über Flächen von konstanter Gaussscher Krümmung”, American Mathematical Society 2: 87–99. Julkaisussa Gesammelte Abhandlungen, 2: 437–448.
  • Hume, D., 1739–1740, Tutkimus ihmisluonnosta, Lontoo. Haettavissa oleva teksti ihmisen luonnon tutkielmasta, kirjoittanut David Hume, paineistettu alkuperäispainoksesta kolmeen osaan ja editoinut analyyttisen hakemiston avulla LA Selby-Bigge, MA (Oxford: Clarendon Press, 1896). [verkossa haettavissa oleva Hume 1739]
  • Kant, I., 1781, 1787, Kritik der reinen Vernunft; kääntäjä Norman Kemp Smith, 1929, Immanuel Kantin puhtaan syyn kritiikki, 2. painos. rep. 1970, Lontoo: Macmillan.
  • Klein, CF, 1871,”Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie”, Mathematische Annalen, 4: 573–625. Myös julkaisussa Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nro XVI): 254–305, Berliini: Springer.
  • –––, 1872, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Emtritt programme in the filosofisen tiedekunnan tiedekunnassa ja senatissa. Erlangen, Deichert, Erlangen, Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (no. XXVII): 4. Englanninkielinen käännös: MW Haskell, 1892–1893, New York Mathematical Society 2: 215–249, Berliini, Springer.
  • –––, 1873,”Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. (Zweiter Aufsatz)”, Mathematische Annalen, 6: 112–145, julkaisussa Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (no. XVIII): 311–343, Berliini: Springer.
  • Laplace, P.-S., 1796,”Exhibition du système du monde”, Pariisi: Crapelet, Oeuvres VI, Pariisi, Gauthier-Villars, 1884
  • Legendre, A.-M., 1794, Éléments de géométrie, Pariisi: Fermin Didot Frères, useita painoksia.
  • Levi-Civita, T., 1917,”Nozione de parallelismo in una varietà kvalunque”, Rendiconto del Circolo Matematico di Palermo, 42: 173–205.
  • Lobachevskii, NI, 1835,”Neue Anfangsgrunde der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der parallellinien”, saksankielinen käännös Lobachetschefskij, NI 1899 Zwei geometrische Abhandlungen, tr. F. Engel, Leipzig, Teubner.
  • –––, 1840, Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berliini, edustaja Mayer & Müller, 1887, englanti tr. GB Halsted, Geometriset tutkimukset paralleeliteoriassa, liite (Bonola 1912).
  • –––, 1856, Pangéométrie, ou précis de géométrie fondée sur une theorie générale des paralleles, Kasan. Englanninkielinen käännös ja kommentit, Pangeometry, A. Papadopoulos (toim.), European Mathematical Society, 2010.
  • Locke, J., 1690, Essee ihmisten ymmärryksestä, Lontoo. [Locke 1690 saatavilla verkossa]
  • Marchisotto, E. ja JT Smith, 2007, Mario Pierin perintö geometriassa ja laskutoimituksessa, Boston: Birkhäuser.
  • Mueller, I., 1981, Matematiikan filosofia ja deduktiivinen rakenne Euclid's Elementsissä, Cambridge: MIT Press.
  • Nabonnand, P., 2000,”La Polémique entre Poincaré and Russell au sujet du a géométrie aksioomien perussääntö”, Revue d'histoire des mathématiques, 6: 219–269.
  • Newton, Sir I., 1687, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Englanninkielinen käännös The Principia: Matemaattiset luonnonfilosofian periaatteet, tr. IB Cohen, A. Whitman, J. Budenz, University of California Press, 1999.
  • de Pierris, G., 2012,”Hume avaruudesta, geometria ja kaavamainen päättely”, Synthese, 186 (1): 169–189.
  • Poincaré, H., 1882e. Teorie des groupes fuchsiens. Acta Mathematica 1, 1–62 julkaisussa Oeuvres 2, 108–168.
  • Poincaré, H., 1898,”Geometrian perusteilla” (käännös TJ McCormack) Monist 9: 1–43. Uusintapainos Ewaldissa, 1996, Kantista Hilbert: Lähdekirja matematiikan perusteisiin, Oxford: Oxford University Press, 2: 982–1012.
  • –––, 1899,”Des fondements de la géométrie: à javaslat d'un livre de M. Russell”, Revue de métaphysique et de morale 7: 251–279.
  • –––, 1902,”Les fondements de la géométrie”, Journal des savants, 252–271. Englanninkielinen käännös, kirjoittanut EV Huntington, 1903,”Poincarén katsaus Hilbertin” geometrian perusteista”, American Mathematical Society -lehti, 10 (1): 1–23. [Poincaré 1902 (englanti) saatavilla verkossa]
  • Poncelet, JV, 1822, Traité des Propriétées Projectives des Figures, Pariisi: Gauthier-Villars.
  • Riemann, GBF, 1867 [1854],”Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen”, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13: 1–20. Uusittu julkaisussa Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftliche Nachlass und Nachträge. Kerätyt artikkelit: Nach der Ausgabe von Heinrich Weber ja Richard Dedekind, 1990, R. Narasimhan, (toim.) Berliini: Springer, s. 304–319. Bernhard Riemann, Kerätyt paperit, kääntäneet Roger Baker, Charles Christenson ja Henry Orde, Kendrick Press, 2005.
  • Russell, B., 1899,”Sur Les Axiomes de la Géométrie”, Revue de méetaphysique et de morale, 684–706, käännetty ja painettu uudelleen nimellä “Geometrian aksiioilla”, julkaisuissa N. Griffin ja AC Lewis, (toim.), 1990, Bertrand Russellin kerätyt paperit, 2, Lontoo: Hyman Unwin, 394–415.
  • Scholz, E., 1982,”Herbartin vaikutus Bernhard Riemanniin”, Historia Mathematica, 9 (4): 413–440.
  • –––, 2001,”Weyl's Infinitesimalgeometrie”, Hermann Weyl's Raum – Zeit – Materie -kirjassa ja yleinen johdanto hänen tieteelliseen työhönsä, E. Scholz (toim.) Basel, Birkhäuser.
  • Schweikart, FK, 1818,”Notiz”, julkaisussa Carl Friedrich Gauss Werke, 8: 180–181.
  • von Staudt, GKC, 1847, Geometrie der Lage, Nürnberg.
  • –––, 1856–1860, Beiträge zur Geometrie der Lage, 3 v, Nürnberg.
  • Villaggio, P., 2006,”Enriquen mekaniikan perusteista”, K. Williamsissa (toim.) Kaksi kulttuuria: Esseet David Speiserin kunniaksi, Birkhäuser, 133–138.
  • Wallis, J., 1693,”De postulato quinto et define lib. 6 Euclidis deceptatio geometrica”, julkaisussa Operum Mathematicorum, 2: 665–678.
  • Weyl, H., 1918, Raum – Zeit – Materie, Springer. Kolmannen painoksen (1920) englanninkielinen käännös Space-time-matter, Lontoo: Methuen.

Akateemiset työkalut

sep mies kuvake
sep mies kuvake
Kuinka mainita tämä merkintä.
sep mies kuvake
sep mies kuvake
Esikatsele tämän tekstin PDF-versio SEP-Ystävien ystävissä.
inpho-kuvake
inpho-kuvake
Katso tätä kirjoitusaihetta Internet Philosophy Ontology Projektista (InPhO).
phil paperit -kuvake
phil paperit -kuvake
Parannettu bibliografia tälle merkinnälle PhilPapersissa, linkkien avulla tietokantaan.

Muut Internet-resurssit

  • Dynaaminen versio Euclid's Elementsistä, kirjoittanut DE Joyce, Clarkin yliopisto
  • Gaussin (1828) englanninkielinen käännös, Internet-arkistossa.

Suositeltava: