Logiikka Ja Todennäköisyys

Sisällysluettelo:

Logiikka Ja Todennäköisyys
Logiikka Ja Todennäköisyys

Video: Logiikka Ja Todennäköisyys

Video: Logiikka Ja Todennäköisyys
Video: AMK-valintakoe/todennäköisyyslaskenta: Miten lasketaan todennäköisyys? 😎 // Matikkapirkko 2024, Maaliskuu
Anonim

Maahantulon navigointi

  • Kilpailun sisältö
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Ystävät PDF-esikatselu
  • Kirjailija- ja viittaustiedot
  • Takaisin alkuun

Logiikka ja todennäköisyys

Ensimmäinen julkaisu to 7. maaliskuuta 2013; aineellinen tarkistus tiistaina 26. maaliskuuta 2019

Looginen ja todennäköisyyden teoria ovat päätehtävien muodollisen tutkimuksen tärkeimmät välineet, ja niitä on käytetty hedelmällisesti niin monimuotoisilla aloilla kuin filosofia, tekoäly, kognitiivinen tiede ja matematiikka. Tässä artikkelissa käsitellään tärkeimpiä ehdotuksia logiikan ja todennäköisyyden teorian yhdistämiseksi ja yritetään luokitella eri lähestymistavat tällä nopeasti kehittyvällä alalla.

  • 1. Yhdistetään logiikka ja todennäköisyysteoria
  • 2. Propositiaalinen todennäköisyyslogiikka

    • 2.1 Todennäköinen semantiikka
    • 2.2 Adamsin todennäköisyyslogiikka
    • 2.3 Muut yleistykset
  • 3. Todennäköisyyden perusoperaattorit

    • 3.1 Epävarmuuden laadulliset esitykset
    • 3.2 Todennäköisyysehtojen summat ja tuotteet
  • 4. Modaalisen todennäköisyyden logiikka

    • 4.1 Perusteelliset äärellisen modaalin todennäköisyysmallit
    • 4.2 Indeksointi ja tulkinnat
    • 4.3 Todennäköisyystilat
    • 4.4 Määrällisen ja laadullisen epävarmuuden yhdistäminen
    • 4.5 Dynamiikka
  • 5. Ensimmäisen asteen todennäköisyyslogiikka

    • 5.1 Esimerkki ensimmäisen asteen todennäköisyyslogiikasta

      • 5.1.1 Useampien muuttujien kvantifiointi
      • 5.1.2 Ehdollinen todennäköisyys
      • 5.1.3 Todennäköisyydet ehdoina
    • 5.2 Mahdollinen maailman ensimmäisen kertaluvun todennäköisyyslogiikka
    • 5.3 Metalogic
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Muut Internet-resurssit
  • Aiheeseen liittyvät merkinnät

1. Yhdistetään logiikka ja todennäköisyysteoria

Ajatus logiikan ja todennäköisyyden yhdistämisestä saattaa näyttää oudolta ensi silmäyksellä (Hájek 2001). Loppujen lopuksi logiikka koskee ehdottomasti tiettyjä totuuksia ja päätelmiä, kun taas todennäköisyysteoria käsittelee epävarmuustekijöitä. Lisäksi logiikka tarjoaa kvalitatiivisen (rakenteellisen) näkökulman päätelmiin (argumentin deduktiivinen pätevyys perustuu argumentin muodolliseen rakenteeseen), kun taas todennäköisyydet ovat luonteeltaan kvantitatiivisia (numeerisia). Kuten seuraavassa osiossa osoitetaan, on kuitenkin luonnollisia aisteja, joissa todennäköisyystoteoria edellyttää ja laajentaa klassista logiikkaa. Lisäksi historiallisesti ottaen useat tunnetut teoreetikot, kuten De Morgan (1847), Boole (1854), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Carnap (1950), Jeffrey (1992) ja Howson (2003, 2007,2009) ovat korostaneet logiikan ja todennäköisyyden tiukkoja yhteyksiä tai edes pitäneet todennäköisyyttä koskevia töitään osana itse logiikkaa.

Integroimalla kvalitatiivisen logiikan ja numeerisen todennäköisyyden teorian toisiaan täydentävät näkökulmat todennäköisyyslogiikot pystyvät tarjoamaan erittäin ilmeikkäät päätelmät. Siksi ei pitäisi olla yllättävää, että niitä on sovellettu kaikilla päättelymekanismeja tutkivilla aloilla, kuten filosofia, tekoäly, kognitiivinen tiede ja matematiikka. Tämän poikkitieteellisen suosion haittapuoli on se, että eri tutkijat käyttävät termejä, kuten 'todennäköisyyslogiikka', erilaisilla, ei-vastaavilla tavoilla. Siksi, ennen kuin siirrymme eri lähestymistapojen varsinaiseen keskusteluun, rajaamme ensin tämän kirjoituksen aihe.

Tärkein ero on todennäköisyyslogiikan ja induktiivisen logiikan välillä. Klassisesti väitteen sanotaan olevan (deduktiivisesti) pätevä vain silloin, kun on mahdotonta, että (A): n tilan kaikki ovat totta, kun taas sen johtopäätös on väärä. Toisin sanoen deduktiivinen pätevyys merkitsee totuuden säilyttämistä: pätevässä argumentissa lähtökohtien totuus takaa päätelmän totuuden. Joissakin väitteissä tilanteiden totuus ei kuitenkaan takaa täysin päätelmän totuutta, mutta tekee siitä silti erittäin todennäköisen. Tyypillinen esimerkki on väite tiloilla”Ensimmäinen joutseni joutsen oli valkoinen”,…,”1000: n joutseni joutsen oli valkoinen” ja päätelmä”Kaikki joutsenet ovat valkoisia”. Tällaisia argumentteja tutkitaan induktiivisessa logiikassa, jossa hyödynnetään laajasti todennäköisyyslausekkeita,ja siksi jotkut kirjoittajat katsovat sen olevan yhteydessä todennäköisyyslogiikkaan. Induktiivisen logiikan ja todennäköisyyslogiikan täsmällisestä suhteesta käydään jonkin verran keskustelua, josta esitetään yhteenveto Kyburgin (1994) johdannossa. Hallitseva asema (puolustettuna muun muassa Adams ja Levine (1975)), joka myös hyväksytään tässä, on, että todennäköisyyslogiikka kuuluu kokonaan deduktiiviseen logiikkaan, joten sen ei pitäisi olla tekemisissä induktiivisen päättelyn kanssa. Silti suurin osa induktiivista logiikkaa koskevasta työstä kuuluu 'todennäköisyyden säilyttämistä' -lähestymistapaan ja liittyy siten tiiviisti osiossa 2 käsiteltyihin järjestelmiin. Lisätietoja induktiivisesta logiikasta voi lukea Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011) ja tämän tietosanakirjan induktio- ja induktiivisen logiikan ongelmat. Induktiivisen logiikan ja todennäköisyyslogiikan täsmällisestä suhteesta käydään jonkin verran keskustelua, josta esitetään yhteenveto Kyburgin (1994) johdannossa. Hallitseva asema (puolustettuna muun muassa Adams ja Levine (1975)), joka myös hyväksytään tässä, on, että todennäköisyyslogiikka kuuluu kokonaan deduktiiviseen logiikkaan, joten sen ei pitäisi olla tekemisissä induktiivisen päättelyn kanssa. Silti suurin osa induktiivista logiikkaa koskevasta työstä kuuluu 'todennäköisyyden säilyttämistä' -lähestymistapaan ja liittyy siten tiiviisti osiossa 2 käsiteltyihin järjestelmiin. Lisätietoja induktiivisesta logiikasta voi lukea Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011) ja tämän tietosanakirjan induktio- ja induktiivisen logiikan ongelmat. Induktiivisen logiikan ja todennäköisyyslogiikan täsmällisestä suhteesta käydään jonkin verran keskustelua, josta esitetään yhteenveto Kyburgin (1994) johdannossa. Hallitseva asema (puolustettuna muun muassa Adams ja Levine (1975)), joka myös hyväksytään tässä, on, että todennäköisyyslogiikka kuuluu kokonaan deduktiiviseen logiikkaan, joten sen ei pitäisi olla tekemisissä induktiivisen päättelyn kanssa. Silti suurin osa induktiivista logiikkaa koskevasta työstä kuuluu 'todennäköisyyden säilyttämisen' lähestymistapaan ja liittyy siten tiiviisti osiossa 2 käsiteltyihin järjestelmiin. Lisätietoja induktiivisesta logiikasta voi lukea Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn. (2011) ja tämän tietosanakirjan induktio- ja induktiivisen logiikan ongelmat. Hallitseva asema (puolustettuna muun muassa Adams ja Levine (1975)), joka myös hyväksytään tässä, on, että todennäköisyyslogiikka kuuluu kokonaan deduktiiviseen logiikkaan, joten sen ei pitäisi olla tekemisissä induktiivisen päättelyn kanssa. Silti suurin osa induktiivista logiikkaa koskevasta työstä kuuluu 'todennäköisyyden säilyttämisen' lähestymistapaan ja liittyy siten tiiviisti osiossa 2 käsiteltyihin järjestelmiin. Lisätietoja induktiivisesta logiikasta voi lukea Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn. (2011) ja tämän tietosanakirjan induktio- ja induktiivisen logiikan ongelmat. Hallitseva asema (puolustettuna muun muassa Adams ja Levine (1975)), joka myös hyväksytään tässä, on, että todennäköisyyslogi kuuluu kokonaan deduktiiviseen logiikkaan, joten sen ei pitäisi olla tekemisissä induktiivisen päättelyn kanssa. Silti suurin osa induktiivista logiikkaa koskevasta työstä kuuluu 'todennäköisyyden säilyttämistä' -lähestymistapaan ja liittyy siten tiiviisti osiossa 2 käsiteltyihin järjestelmiin. Lisätietoja induktiivisesta logiikasta voi lukea Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011) ja tämän tietosanakirjan induktio- ja induktiivisen logiikan ongelmat.suurin osa induktiivista logiikkaa koskevasta työstä kuuluu”todennäköisyyden säilyttämistä” -lähestymistapaan ja liittyy siten tiiviisti osiossa 2 käsiteltyihin järjestelmiin. Lisätietoja induktiivisesta logiikasta voi lukea Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011).) ja tämän tietosanakirjan induktio- ja induktiivisen logiikan ongelmat.suurin osa induktiivista logiikkaa koskevasta työstä kuuluu”todennäköisyyden säilyttämistä” -lähestymistapaan ja liittyy siten tiiviisti osiossa 2 käsiteltyihin järjestelmiin. Lisätietoja induktiivisesta logiikasta voi lukea Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011).) ja tämän tietosanakirjan induktio- ja induktiivisen logiikan ongelmat.

Vältämme myös filosofisen keskustelun todennäköisyyden tarkasta luonteesta. Tässä käsitellyt muodolliset järjestelmät ovat yhteensopivia kaikkien todennäköisyyden yleisten tulkintojen kanssa, mutta tietenkin konkreettisissa sovelluksissa tietyt todennäköisyyden tulkinnat sopivat luonnollisemmin kuin muut. Esimerkiksi 4 jaksossa käsitellyt modaaliset todennäköisyyslogiikat ovat itsessään neutraaleja todennäköisyyden luonteesta, mutta kun niitä käytetään kuvaamaan siirtymäjärjestelmän käyttäytymistä, niiden todennäköisyydet tulkitaan tyypillisesti objektiivisella tavalla, kun taas -agentti-skenaarioihin liittyy luonnollisimmin todennäköisyyksien subjektiivinen tulkinta (edustajien uskomusasteina). Aihetta on käsitelty yksityiskohtaisesti julkaisuissa Gillies (2000), Eagle (2010) ja tämän tietosanakirjan todennäköisyyden tulkintoja koskevassa osiossa.

Kirjallisuuden viimeaikaisena suuntauksena on ollut keskittyä vähemmän logiikan ja todennäköisyyden teorian integrointiin tai yhdistämiseen yhdeksi yhtenäiseksi kehykseksi, vaan pikemminkin siltojen luomiseksi kahden tieteenalojen välillä. Tähän sisältyy tyypillisesti pyrkimys kaapata logiikan kvalitatiiviset käsitteet todennäköisyyden teorian kvantitatiivisella tasolla tai päinvastoin. Emme voi tehdä oikeutta monenlaisille lähestymistavoille tällä kukoistavalla alueella, mutta kiinnostuneet lukijat voivat kysyä Leitgebiltä (2013, 2014), Linistä ja Kellystä (2012a, 2012b), Douvenista ja Rottista (2018) ja Harrisonista. Trainor, Holliday ja Icard (2016, 2018). "Nykyaikainen klassikko" tällä alueella on Leitgeb (2017), kun taas van Benthem (2017) tarjoaa hyödyllisen tutkimuksen ja mielenkiintoisia ohjelmallisia huomautuksia.

Viimeinkin, vaikka todennäköisyyslogiikan onnistuminen johtuu suurelta osin sen erilaisista sovelluksista, emme käsittele näitä sovelluksia yksityiskohtaisesti. Emme esimerkiksi arvioi todennäköisyyden käyttöä filosofian uskonnon muodollisena esityksenä (Bayesin epistemologia) tai tekoälyn (tiedon esitys) muodossa, ja sen etuja ja haittoja suhteessa vaihtoehtoisiin esityksiin, kuten yleistetty todennäköisyysteoria (kvantti) teoria), (p) - adic-todennäköisyys ja sumea logiikka. Lisätietoja näistä aiheista lukija voi tutustua Gerlaan (1994), Vennekens et al. (2009), Hájek ja Hartmann (2010), Hartmann ja Sprenger (2010), Ilić-Stepić et ai. (2012), ja uskomuksen muodollisia esityksiä, Bayesin epistemologiaa, epätarkkoja päättelyä, kvanttilogiikkaa ja todennäköisyyden teoriaa koskevia merkintöjä,ja tämän tietosanakkeen sumea logiikka.

Kun nämä selvennykset ovat paikoillaan, olemme nyt valmiita tarkastelemaan, mitä tässä tekstissä keskustellaan. Yleisin strategia konkreettisen todennäköisyyslogiikkajärjestelmän saamiseksi on aloittaa klassisella (ehdotuksellisella / modaalisella jne.) Logiikkajärjestelmällä ja 'todennäköistää' sen tavalla tai toisella lisäämällä siihen todennäköisyyspiirteitä. On monia tapoja, joilla tämä todennäköisyys voidaan toteuttaa. Klassisten kielten todennäköisyyden semantiikkaa voidaan tutkia (joilla ei ole nimenomaisia todennäköisyysoperaattoreita), jolloin itse seuraussuhde saa todennäköisyyden maun: deduktiivisesta pätevyydestä tulee 'todennäköisyyden säilyttäminen' eikä 'totuuden säilyttäminen'. Tätä suuntaa käsitellään osiossa 2. Vaihtoehtoisesti voidaan lisätä erilaisia todennäköisyysoperaattoreita logiikan syntaksiin. Luvussa 3 käsittelemme joitain alkuperäisiä, melko perus- esimerkkejä todennäköisyysoperaattoreista. Modaalisten todennäköisyysoperaattoreiden täydellistä ilmentävyyttä tarkastellaan osassa 4. Lopuksi, kielit, joilla on ensimmäisen asteen todennäköisyysoperaattoreita, keskustellaan luvussa 5.

2. Propositiaalinen todennäköisyyslogiikka

Tässä osassa esittelemme ensimmäisen todennäköisyyslogiikkaperheen, jota käytetään tutkimaan 'todennäköisyyden säilyttämistä' (tai kaksinkertaisesti 'epävarmuuden etenemistä') koskevia kysymyksiä. Nämä järjestelmät eivät laajenna kieltä millään todennäköisyysoperaattoreilla, vaan käsittelevät 'klassista' ehdotuskieltä (mathcal {L}), jolla on laskettava joukko atomiehdotuksia ja tavallinen totuusfunktionaalinen (Boolean). connectives.

Pääideana on, että pätevän väitteen perusteet voivat olla epävarmoja, jolloin (deduktiivinen) pätevyys ei aseta mitään ehtoja päätelmän (epä) varmuudelle. Esimerkiksi tilojen väitteet "jos sataa huomenna sataa, saan märkä" ja "sataa huomenna", ja johtopäätös "kastan märkä" on pätevä, mutta jos sen toinen lähtökohta on epävarma, sen johtopäätös olla myös epävarma. Propositiaalinen todennäköisyyslogiikka edustaa epävarmuustekijöitä kuten todennäköisyyksiä ja selvittää miten ne "virtaavat" tiloista johtopäätökseen; toisin sanoen, he eivät tutki totuuden säilymistä, vaan todennäköisyyden säilyttämistä. Seuraavat kolme alajaksoa käsittelevät järjestelmiä, jotka käsittelevät tämän kysymyksen yhä yleisempiä versioita.

2.1 Todennäköinen semantiikka

Aloitamme muistuttamalla ehdotuskielen (mathcal {L}) todennäköisyysfunktiota. (Matematiikassa todennäköisyysfunktiot määritetään yleensä tietyn joukon (Omega) alajoukkojen (sigma) - algebralle, ja niiden on täytettävä laskettava lisäys; vrt. Kohta 4.3. Loogisissa yhteyksissä kuitenkin usein on luonnollisempaa määritellä todennäköisyysfunktiot 'heti' logiikan objektikielelle (Williamson 2002). Koska tämä kieli on äärellinen - sen kaikilla kaavoilla on äärellinen pituus, riittää myös, että vaaditaan äärellinen lisäys.) Todennäköisyysfunktio ((mathcal {L})) on funktio (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}), joka täyttää seuraavat rajoitukset:

Ei-negatiivisuus. (P (phi) geq 0) kaikille (phi / in / mathcal {L}.)

Tautologioiden. Jos (mallit / phi), niin (P (phi) = 1.)

Äärellinen additiivisuus. Jos (mallit / neg (phi / kiila / psi)), niin (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi).)

Toisessa ja kolmannessa rajoituksessa symboli (mallit) tarkoittaa (semanttista) pätevyyttä klassisessa ehdotuslogiikassa. Todennäköisyysfunktioiden määritteleminen vaatii siis käsitteitä klassisesta logiikasta, ja tässä mielessä todennäköisyystiteorian voidaan sanoa olettavan olevan klassinen logiikka (Adams 1998, 22). Voidaan helposti osoittaa, että jos (P) täyttää nämä rajoitukset, (P (phi) in [0,1]) kaikille kaavoille (phi / in / mathcal {L}), ja (P (phi) = P (psi)) kaikille kaavoille (phi, / psi / in / mathcal {L}), jotka ovat loogisesti vastaavia (ts. sellaisia, että (mallit / phi / leftrightarrow / psi)).

Nyt siirrymme todennäköisyysmaiseen semantiikkaan, sellaisena kuin se on määritelty julkaisussa Leblanc (1983). Argumentin tilojen (Gamma) ja johtopäätöksen (phi) kanssa - josta lähtien käytetään nimitystä ((Gamma, / phi)) - sanotaan olevan todennäköisyydenmukaisesti pätevä, kirjoitettu (Gamma / models_p / phi), jos ja vain jos:

kaikille todennäköisyysfunktioille (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}):

jos (P (gamma) = 1) kaikille (gamma / in / Gamma), niin myös (P (phi) = 1).

Todennäköinen semantiikka korvaa siten klassisen ehdotuslogiikan arvot (v: / mathcal {L} - {0,1 }) todennäköisyysfunktioilla (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}), jotka ottavat arvot todellisessa yksikkövälissä ([0,1]). Klassisia totuusarvoja tosi (1) ja vääriä (0) voidaan siten pitää yksikkövälin ([0,1]) päätepisteinä, samoin kuin arvotuksina (v: / mathcal {L} {0,1 }) voidaan pitää rappeutuneina todennäköisyysfunktioina (P: / matemaattinen {L} - [0,1]). Tässä mielessä klassinen logiikka on todennäköisyyslogiikan erityistapaus tai vastaavasti todennäköisyyslogiikka on klassisen logiikan jatko.

Voidaan osoittaa, että klassinen ehdotuslogiikka (todennäköisesti) on vakaa ja täydellinen todennäköisyyden semantiikan suhteen:

) Gamma / mallit_p / phi / teksti {jos ja vain jos} Gamma / vdash / phi.)

Jotkut kirjoittajat tulkitsevat todennäköisyydet yleistyneinä totuusarvoina (Reichenbach 1949, Leblanc 1983). Tämän näkemyksen mukaan todennäköisyyslogiikka on vain erityyppinen moniarvoinen logiikka, ja todennäköisyyden logiikka laskee "totuuden säilyttämiseen": totuus (ts. Todennäköisyys 1) siirtyy tiloista päätelmään. Muut logiikit, kuten Tarski (1936) ja Adams (1998, 15), ovat todenneet, että todennäköisyyksiä ei voida pitää yleisinä totuusarvoina, koska todennäköisyysfunktiot eivät ole 'jatkeellisia' esimerkiksi (P (phi / kiila / psi)) ei voida ilmaista funktiona (P (phi)) ja (P (psi)). Lisää keskustelua tästä aiheesta löytyy julkaisusta Hailperin (1984).

Toinen mahdollisuus on tulkita lauseen todennäköisyys mitattuna sen (epä) varmuudesta. Esimerkiksi lauseessa "Jones on tällä hetkellä Espanjassa" voi olla minkä tahansa tyyppinen varmuus, joka vaihtelee välillä 0 (suurin epävarmuus) arvoon 1 (suurin varmuus). (Huomaa, että 0 on oikeastaan jonkinlainen varmuus, nimittäin varmuus vääryydestä; tässä merkinnässä kuitenkin noudatamme Adamsin terminologiaa (1998, 31) ja tulkitsemme 0 maksimaaliseksi epävarmuudeksi.) Tämän tulkinnan mukaan seuraava lause johtuu todennäköisyyden semantiikan vahva vakaus ja täydellisyys:

Lause 1. Tarkastellaan deduktiivisesti kelvollista väitettä ((Gamma, / phi)). Jos kaikilla (Gamma) -tiloilla on todennäköisyys 1, niin johtopäätöksellä ((phi)) on myös todennäköisyys 1.

Tätä lausea voidaan pitää ensimmäisenä, hyvin osittaisena selvityksenä todennäköisyyden säilyttämiselle (tai epävarmuuden etenemiselle). Siinä sanotaan, että jos tiloista ei ole mitään epävarmuutta, niin ei myöskään lopputuloksesta voi olla epävarmuutta. Kahdessa seuraavassa alajaksossa tarkastelemme mielenkiintoisempia tapauksia, joissa tiloissa on nollavarmuutta epävarmuutta, ja kysymme, miten se siirtyy päätelmiin.

Lopuksi on huomattava, että vaikka tässä jaksossa keskusteltiin vain klassisen ehdotuslogiikan todennäköisyysmielisestä semantiikasta, on olemassa myös todennäköisyyden semantiikkaa monille muille logiikoille, kuten intuitionistiselle ehdotuslogiikalle (van Fraassen 1981b, Morgan ja Leblanc 1983), modaalilogikalle (Morgan 1982a, 1982b, 1983, Cross 1993), klassinen ensimmäisen asteen logiikka (Leblanc 1979, 1984, van Fraassen 1981b), asiaankuuluva logiikka (van Fraassen 1983) ja ei-monotoninen logiikka (Pearl 1991). Kaikilla näillä järjestelmillä on keskeinen piirre: logiikan semantiikka on luonteeltaan todennäköisyyttä, mutta todennäköisyyksiä ei esitetä nimenomaisesti objektikielellä; Siksi ne ovat luonteeltaan paljon lähempänä tässä käsiteltyä ehdotus todennäköisyyslogiikkaa kuin myöhemmissä osioissa esitetyille järjestelmille.

Suurin osa näistä järjestelmistä ei perustu yksiarvoisiin todennäköisyyksiin (P (phi)), vaan ehdollisiin todennäköisyyksiin (P (phi, / psi)). Ehdollista todennäköisyyttä (P (phi, / psi)) pidetään primitiivisenä (sen sijaan, että määritettäisiin nimellä (P (phi / kiila / psi) / P (psi)), kuten yleensä tehdään) ongelmien välttämiseksi, kun (P (psi) = 0). Goosens (1979) tarjoaa yleiskatsauksen todennäköisyyden teorian erilaisista aksiomatizaatioista tällaisten ehdollisen todennäköisyyden primitiivisten käsitysten perusteella.

2.2 Adamsin todennäköisyyslogiikka

Edellisessä osassa keskustelimme ensimmäisestä todennäköisyyden säilyttämisperiaatteesta, jonka mukaan jos kaikilla tiloilla on todennäköisyys 1, niin johtopäätöksellä on myös todennäköisyys 1. Tietenkin mielenkiintoisempia tapauksia syntyy, kun tilat ovat vähemmän kuin ehdottoman varmoja. Mieti oikea argumentti tilojen (p / vee q) ja (p / q) kanssa ja päätelmä (q) (symboli '(to)' tarkoittaa totuus-ehdollista materiaalia ehdollisena). Voidaan helposti osoittaa se

[P (q) = P (p / vee q) + P (p / q) - 1.)

Toisin sanoen, jos tiedämme argumentin tilojen todennäköisyydet, voimme laskea sen päätelmän tarkan todennäköisyyden ja antaa siten täydellisen vastauksen kysymykseen todennäköisyyden säilyvyydestä kyseiselle väitteelle (esimerkiksi jos (P (p / vee q) = 6/7) ja (P (p / q) = 5/7), sitten (P (q) = 4/7)). Yleensä ei kuitenkaan ole mahdollista laskea päätelmän tarkkaa todennäköisyyttä tilojen todennäköisyydet huomioon ottaen; sen sijaan paras, mitä voimme toivoa, on (tiukka) ylä- ja / tai alaraja päätelmän todennäköisyydelle. Keskustelemme nyt Adamsin (1998) menetelmistä tällaisten rajojen laskemiseksi.

Adamsin tulokset voidaan ilmaista helpommin epävarmuuden kuin varmuuden (todennäköisyyden) perusteella. Kun annetaan todennäköisyysfunktio (P: / matemaattinen {L} - [0,1]), vastaava epävarmuusfunktio (U_P) määritetään

[U_P: / matemaattinen {L} - [0,1]: / phi / mapsto U_P (phi): = 1-P (phi).)

Jos todennäköisyysfunktio (P) on selkeä kontekstin suhteen, kirjoitamme usein yksinkertaisesti (U) eikä (U_P). Tämän alajakson lopussa (ja myös seuraavassa) oletetaan, että kaikilla argumenteilla on vain äärettömän monta tilaa (mikä ei ole merkittävä rajoitus, kun otetaan huomioon klassisen ehdotuslogiikan kompaktiominaisuus). Adamsin ensimmäisen päätuloksen, jonka alun perin määritteli Suppes (1966), voidaan nyt todeta seuraavaa:

Lause 2. Tarkastellaan kelvollista argumenttia ((Gamma, / phi)) ja todennäköisyysfunktiota (P). Silloin johtopäätöksen (phi) epävarmuus ei voi ylittää tilojen epävarmuustekijöiden (gamma / in / Gamma) epävarmuustekijöiden summaa. muodollisesti:

[U (phi) leq / summa _ { gamma / in / Gamma} U (gamma).)

Ensinnäkin, huomaa, että tämä lause osaa lauseen 1 erityistapauksena: jos (P (gamma) = 1) kaikille (gamma / in / Gamma), niin (U (gamma) = 0) kaikille (gamma / sisällä / Gamma), joten (U (phi) leq / summa U (gamma) = 0) ja siten (P (phi) = 1). Huomaa lisäksi, että päätelmän epävarmuuden yläraja riippuu (| / Gamma |) eli tilojen lukumäärästä. Jos pätevällä argumentilla on pieni määrä tiloja, joista jokaisella on vain pieni epävarmuus (ts. Suuri varmuus), niin sen johtopäätöksessä on myös kohtuullisen pieni epävarmuus (eli kohtuullisen suuri varmuus). Ja päinvastoin, jos pätevällä argumentilla on tiloja, joissa on pieniä epävarmuustekijöitä, sen johtopäätös voi olla erittäin epävarma vain, jos argumentilla on suuri määrä tiloja (kuuluisa esimerkki tästä vastakkaisesta periaatteesta on Kyburgin (1965) arpajaisten paradoksi,jota käsitellään tämän tietosanakirjan episteemisiä paradokseja koskevassa tekstissä). Tarkemmin sanottuna huomioi, että jos pätevässä argumentissa on kolme lähtökohtaa, joissa molemmissa on epävarmuutta 1/11, niin sellaisen lähtökohdan lisääminen, jolla on myös epävarmuutta 1/11, ei vaikuta argumentin paikkansapitävyyteen, mutta se nostaa ylärajaa päätelmän epävarmuus välillä 3/11 - 4/11, jolloin päätelmä oli epävarmempaa kuin alun perin oli. Lopuksi, lause 2: n tarjoama yläraja on optimaalinen siinä mielessä, että (oikeissa olosuhteissa) johtopäätöksen epävarmuus voi olla sama kuin sen yläraja (summa U (gamma)):Sitten sellaisen lähtökohdan lisääminen, jolla on myös epävarmuutta 1/11, ei vaikuta väitteen paikkansapitävyyteen, mutta se nostaa päätelmän epävarmuuden ylärajan 3/11: sta 4/11: seen - jolloin päätelmä voi olla epävarmempaa kuin alun perin oli. tapaus. Lopuksi, lause 2: n tarjoama yläraja on optimaalinen siinä mielessä, että (oikeissa olosuhteissa) johtopäätöksen epävarmuus voi olla sama kuin sen yläraja (summa U (gamma)):Sitten sellaisen lähtökohdan lisääminen, jolla on myös epävarmuutta 1/11, ei vaikuta väitteen paikkansapitävyyteen, mutta se nostaa päätelmän epävarmuuden ylärajan 3/11: sta 4/11: seen - jolloin päätelmä voi olla epävarmempaa kuin alun perin oli. tapaus. Lopuksi, lause 2: n tarjoama yläraja on optimaalinen siinä mielessä, että (oikeissa olosuhteissa) johtopäätöksen epävarmuus voi olla sama kuin sen yläraja (summa U (gamma)):siinä mielessä, että (oikeissa olosuhteissa) johtopäätöksen epävarmuus voi olla sama kuin sen yläraja (summa U (gamma)):siinä mielessä, että (oikeissa olosuhteissa) johtopäätöksen epävarmuus voi olla sama kuin sen yläraja (summa U (gamma)):

Lause 3. Tarkastele kelvollista argumenttia ((Gamma, / phi)) ja oleta, että lähtöjoukko (Gamma) on johdonmukainen ja että jokainen lähtökohta (gamma / in / Gamma) on merkityksellinen (eli (gamma - { gamma } ei / malleja / phi)). Sitten on olemassa todennäköisyysfunktio (P: / matemaattinen {L} - [0,1]) siten, että

[U_P (phi) = / summa _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma).)

Lause 2: n tarjoamaa ylärajaa voidaan käyttää myös määrittämään todennäköisyyden ajattelumalli. Argumentin ((Gamma, / phi)) sanotaan olevan Adams-todennäköisyydessä kelvollinen, kirjoitettu (Gamma / mallit_a / phi), vain ja jos

kaikille todennäköisyysfunktioille (P: / mathcal {L} to mathbb {R}): (U_P (phi) leq / summa _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma)).

Adams-todennäköisyyspotentiaalilla on vaihtoehtoinen, vastaava karakterisointi todennäköisyyksien kuin epävarmuustekijöiden perusteella. Tässä luonnehdinnassa sanotaan, että ((Gamma, / phi)) on Adams-todennäköisyydessä kelvollinen vain silloin, kun johtopäätöksen todennäköisyys voi saada mielivaltaisesti lähelle yhtä, jos tilojen todennäköisyydet ovat riittävän korkeat. Muodollisesti: (Gamma / mallit_a / phi) vain ja vain jos

kaikille (epsilon> 0) on olemassa (delta> 0) sellainen, että kaikille todennäköisyysfunktioille (P):

jos (P (gamma)> 1- / delta) kaikille (gamma / sisällä / Gamma), sitten (P (phi)> 1- / epsilon).

Voidaan osoittaa, että klassinen ehdotuslogiikka on (vahvasti) järkevää ja täydellistä Adamsin todennäköisyyden semantiikan suhteen:

) Gamma / mallit_a / phi / teksti {jos ja vain jos} Gamma / vdash / phi.)

Adams (1998, 154) määrittelee myös toisen logiikan, jolle hänen todennäköisyyden semantiikkansa on vakaa ja täydellinen. Tähän järjestelmään liittyy kuitenkin totuuden ulkopuolella toimiva liitos (todennäköisyys ehdollista), ja sen vuoksi se jää tämän osan soveltamisalan ulkopuolelle. (Lisätietoja ehdollisten lausekkeiden todennäköisyyden tulkinnoista lukija voi tutustua tämän tietosanakirjan ehdollisia merkintöjä ja ehdollisten ehtojen logiikkaan.)

Mieti seuraavaa esimerkkiä. Argumentti (A) tilojen kanssa (p, q, r, s) ja päätelmän (p / kiila (q / vee r)) on kelvollinen. Oletetaan, että (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) ja (P (s) = 7/11). Sitten lause 2 sanoo sen

) aloita {kohdista} ja U (p / kiila (q / vee r)) leq \& / quad / frac {1} {11} + / frac {2} {11} + / frac {2} { 11} + / frac {4} {11} = / frac {9} {11}. / End {tasata})

Tämä päätelmän epävarmuuden yläraja on melko pettymys, ja se paljastaa lauseen 2 pääasiallisen heikkouden. Yksi syy, miksi yläraja on niin korkea, on, että laskettaessa sitä otimme huomioon lähtökohdan (s), jolla on melko suuri epävarmuus ((4/11)). Tällä oletuksella ei kuitenkaan ole merkitystä siinä mielessä, että johtopäätös seuraa jo kolmesta muusta lähtökohdasta. Siksi voimme pitää (p / kiila (q / vee r)) paitsi kelvollisen argumentin (A) johtopäätöksenä, että myös (yhtä pätevän) argumentin (A ') päätelmänä, jolla on tilat (p, q, r). Jälkimmäisessä tapauksessa lause 2 antaa (1/11 + 2/11 + 2/11 = 5/11) ylärajan, joka on jo paljon alempi.

Lauseen 2 heikkous on siten, että siinä otetaan huomioon epäolennaiset tai epäolennaiset tilat. Tämän lauseen parannetun version saamiseksi tarvitaan tarkempi käsitys 'olennaisuudesta'. Yllä olevan esimerkin argumentissa (A) lähtökohtalla (s) on ehdottoman merkityksetön. Samoin lähtökohta (p) on ehdottoman merkityksellinen siinä mielessä, että ilman tätä olettamaa johtopäätöstä (p / kiila (q / vee r)) ei voida enää johtaa. Lopuksi, lähtötilajoukko ({q, r }) on 'välissä': yhdessä (q) ja (r) ovat merkityksellisiä (jos molemmat tilat jätetään pois, johtopäätöstä ei voida enää johtaa), mutta jokainen niistä voidaan erikseen jättää pois (pitäen johtopäätöksen johdettavana).

Olennaisuuden käsite muotoillaan seuraavasti:

Olennainen lähtökohta asetettu. Kun kelvollinen argumentti ((Gamma, / phi)), joukko (Gamma '\ subseteq / Gamma) on välttämätön, jos (Gamma - / Gamma / \ ei / malleja / phi).

Olennaisuusaste. Annetaan kelvollinen argumentti ((gamma, / phi)) ja lähtökohta (gamma / in / Gamma), (gamma), olennaisuusaste, kirjoitettu (E (gamma)), on (1 / | S_ / gamma |), missä (| S_ / gamma |) on pienimmän olennaisen oletusjoukon kardinaalisuus, joka sisältää (gamma). Jos (gamma) ei kuulu mihinkään välttämättömään oletukseen, niin (gamma): n olennaisuusaste on 0.

Näillä määritelmillä voidaan laatia tarkistettu versio lauseesta 2:

Lause 4. Tarkastele kelvollista argumenttia ((Gamma, / phi)). Silloin johtopäätöksen epävarmuus (phi) ei voi ylittää tilojen (gamma / in / Gamma) epävarmuustekijöiden painotettua summaa siten, että olennaisuusasteet ovat painot. muodollisesti:

[U (phi) leq / summa _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) U (gamma).)

Lauseen 4 todistaminen on huomattavasti vaikeampaa kuin lause 2: Lause 2 vaatii vain perustason todennäköisyyden teoriaa, kun taas lause 4 todistetaan käyttämällä lineaarisen ohjelmoinnin menetelmiä (Adams ja Levine 1975; Goldman ja Tucker 1956). Lause 4 korostaa lauseen 2 erityistapauksena: Jos kaikki tilat ovat merkityksellisiä (ts. Niiden olennaisuusaste on 1), lause 4 tuottaa saman ylärajan kuin lause 2. Lauseen 4 ei myöskään oteta huomioon merkityksettömiä tiloja (ts. olennaisuusasteella 0) tämän ylärajan laskemiseksi; joten jos oletuksella ei ole merkitystä väitteen pätevyydelle, sen epävarmuutta ei siirretä päätelmään. Lopuksi, huomaa, että koska (E (gamma) in [0,1]) kaikille (gamma / in / Gamma), se toteaa, että

) summa _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) U (gamma) leq / summa _ { gamma / \ Gamma} U (gamma),)

ts. Lause 4 tuottaa yleensä tiukemman ylärajan kuin lause 2. Tämän havainnollistamiseksi harkitse uudelleen argumenttia, joka sisältää tiloja (p, q, r, s) ja johtopäätöstä (p / kiila (q / vee r)).. Muista, että (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) ja (P (s) = 7/11). Tilojen olennaisuusasteet voidaan laskea: (E (p) = 1, E (q) = E (r) = 1/2) ja (E (s) = 0). Siksi lause 4 tuottaa sen

) aloita {kohdista} ja U (p / kiila (q / vee r)) leq \& / quad / vasen (1 / kertaa / frakti {1} {11} oikea) + / vasen (frac { 1} {2} kertaa / frac {2} {11} oikea) + / vasen (frac {1} {2} kertaa / frac {2} {11} oikea) + / vasen (0 / kertaa) frac {4} {11} oikea) = / frac {3} {11}, / lopeta {kohdista})

joka on tiukempi yläraja (p / kiila (q / vee r)) -varmuuden epävarmuudelle kuin mitkä tahansa edellä lauseen 2 (eli (9/11) ja (5/11) kautta saadut rajat.)).

2.3 Muut yleistykset

Kun otetaan huomioon pätevän väitteen epävarmuustekijät (ja olennaisuusasteet), Adamsin lauseiden avulla voimme laskea päätelmän epävarmuuden ylärajan. Tietenkin nämä tulokset voidaan ilmaista myös todennäköisyyksillä eikä epävarmuustekijöillä; sitten ne antavat alarajan johtopäätöksen todennäköisyydelle. Esimerkiksi, lause 4 ilmaistaan todennäköisyyksillä eikä epävarmuustekijöillä, näyttää siltä seuraavalta:

[P (phi) geq 1 - / summa _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) (1 - P (gamma)).)

Adamsin tuloksia rajoitetaan ainakin kahdella tavalla:

  • Ne tarjoavat vain alarajan päätelmän todennäköisyydelle (ottaen huomioon tilojen todennäköisyydet). Tämä on tietyssä mielessä tärkein sidottu: se edustaa päätelmän todennäköisyyttä pahimmassa tapauksessa, mikä saattaa olla hyödyllistä tietoa käytännöllisissä sovelluksissa. Joissakin sovelluksissa voi kuitenkin olla myös informatiivista olla yläraja päätelmän todennäköisyydelle. Esimerkiksi, jos tiedetään, että tämän todennäköisyyden yläraja on 0,4, niin voidaan päättää pidättäytyä tietyistä toimista (se olisi suoritettu, jos tämä yläraja olisi (tiedetään olevan) 0,9).
  • Ne edellyttävät, että tilojen tarkat todennäköisyydet tiedetään. Käytännöllisissä sovelluksissa saattaa kuitenkin olla vain osittaista tietoa lähtökohdan (gamma) todennäköisyydestä: sen tarkkaa arvoa ei tunneta, mutta sen tiedetään olevan alaraja (a) ja yläraja (b) (Walley 1991). Tällaisissa sovelluksissa olisi hyödyllistä olla menetelmä laskemaan (optimaalinen) ala- ja yläraja päätelmän todennäköisyydelle tilojen todennäköisyyksien ylä- ja alarajojen perusteella.

Hailperin (1965, 1984, 1986, 1996) ja Nilsson (1986) käyttävät lineaarisen ohjelmoinnin menetelmiä osoittaakseen, että nämä kaksi rajoitusta voidaan ylittää. Heidän tärkein tulos on seuraava:

Lause 5. Tarkastellaan argumenttia ((Gamma, / phi)), käyttäen (| / Gamma | = n). On olemassa toimintoja (L _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} to / mathbb {R}) ja (U _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} to / mathbb {R}) siten, että kaikilla todennäköisyysfunktioilla (P) seuraavaa pidetään: if (a_i / leq P (gamma_i) leq b_i) for (1 / leq i / leq n), sitten:

  1. (L _ { Gamma, / phi} (a_1, / pisteet, a_n, b_1, / pisteet, b_n) leq P (phi): / leq) (U _ { Gamma, / phi} (a_1, / pisteitä, a_n, b_1, / pisteitä, b_n)).
  2. Kohdassa 1 olevat rajat ovat optimaaliset siinä mielessä, että on olemassa todennäköisyysfunktioita (P_L) ja (P_U) sellaisia, että (a_i / leq P_L (gamma_i),) (P_U (gamma_i) leq b_i) (1 / leq i / leq n) ja (L _ { gamma, / phi} (a_1, / pisteet, a_n, b_1, / pisteet, b_n) = P_L (phi)) ja (P_U (phi) = U _ { Gamma, / phi} (a_1, / pisteet, a_n, b_1, / pisteet, b_n)).
  3. Funktiot (L _ { Gamma, / phi}) ja (U _ { Gamma, / phi}) ovat tehokkaasti määritettävissä (Gamma / cup { phi } lauseiden Boolen rakenteesta.).

Tätä tulosta voidaan käyttää myös määrittelemään vielä yksi todennäköisyyden käsite validoinnista, jota kutsumme Hailperin-todennäköisyydeksi tai yksinkertaisesti h-validiteetiksi. Tätä käsitettä ei ole määritelty kaavojen suhteen, vaan suhteessa pareihin, jotka koostuvat kaavasta ja ([0,1]) -alivälistä. Jos (X_i) on lähtötilaan (gamma_i / in / Gamma) liittyvä aikaväli ja (Y) on päätelmään (phi) liittyvä aikaväli, niin argumentti ((Gamma, / phi)) sanotaan olevan h-kelvollinen, kirjoitettu (Gamma / mallit_h / phi), jos ja vain jos kaikille todennäköisyysfunktioille (P):

) teksti {jos} P (gamma_i) X_i / tekstissä {varten} 1 / leq i / leq n, / teksti {sitten} P (phi) y: ssä \

Julkaisussa Haenni et ai. (2011) tämä kirjoitetaan

) gamma_1 ^ {X_1}, / pisteet, / gamma_n ^ {X_n} | \! \! \! / approx / phi ^ Y)

ja kutsuttiin standardi todennäköisyyden semantiikka.

Nilssonin työ todennäköisyyslogiikasta (1986, 1993) on herättänyt paljon tutkimusta tekoälyn todennäköisyyden perusteluista (Hansen ja Jaumard 2000; Haenni ym. 2011, luku 2). On kuitenkin huomattava, että vaikka lause 5 väittää, että funktiot (L _ { Gamma, / phi}) ja (U _ { Gamma, / phi}) ovat tehokkaasti määritettävissä (Gamma / cup { phi }), tämän ongelman laskennallinen monimutkaisuus on melko korkea (Georgakopoulos ym. 1988, Kavvadias ja Papadimitriou 1990), joten näiden funktioiden löytämisestä tulee laskennallisesti mahdotonta reaalimaailman sovelluksissa. Nykyaikaiset lähestymistavat, jotka perustuvat todennäköisyyslaskentajärjestelmiin ja todennäköisyysverkkoihin, kykenevät paremmin käsittelemään näitä laskennallisia haasteita. Lisäksi,todennäköisyyslaskentajärjestelmät liittyvät läheisesti Dempster-Shafer-teoriaan (Dempster 1968; Shafer 1976; Haenni ja Lehmann 2003). Näiden lähestymistapojen laaja keskustelu on kuitenkin tämän nimikkeen (nykyisen version) ulkopuolella; katso äskettäin tehty kysely (Haenni ym. 2011).

3. Todennäköisyyden perusoperaattorit

Tässä osiossa tutkitaan todennäköisyyslogiikkoja, jotka laajentavat ehdotuskieltä (mathcal {L}) melko perus-todennäköisyysoperaattoreilla. Ne eroavat osiossa 2 olevista logiikoista siinä, että tässä logiikassa on mukana objektikielen todennäköisyysoperaattoreita. Kohdassa 3.1 käsitellään laadullisia todennäköisyysoperaattoreita; Luvussa 3.2 keskustellaan kvantitatiivisista todennäköisyysoperaattoreista.

3.1 Epävarmuuden laadulliset esitykset

On olemassa useita sovelluksia, joissa todennäköisyyden laadulliset teoriat voivat olla hyödyllisiä tai jopa välttämättömiä. Joissain tilanteissa ei ole käytettävissä taajuuksia, joita voidaan käyttää todennäköisyyksien arviointiin, tai saattaa olla käytännössä mahdotonta saada näitä taajuuksia. Lisäksi ihmiset ovat usein halukkaita vertailemaan kahden lauseen todennäköisyyttä ('(phi) on todennäköisempi kuin (psi)'), ilman että he pystyvät määrittämään eksplisiittisiä todennäköisyyksiä jokaiselle lauseelle erikseen (Szolovits ja Pauker 1978, Halpern ja Rabin 1987). Tällaisissa tilanteissa laadullisesta todennäköisyyslogiikasta on hyötyä.

Yksi varhaisimmista laadullisista todennäköisyyslogiikoista on Hamblinin (1959). Kieltä laajennetaan yksiarvoisella operaattorilla (Box), joka on luettava 'todennäköisesti'. Siksi kaava kuten (Box / phi) on luettava 'todennäköisesti (phi)'. Tämä 'todennäköisen' käsite voidaan formuloida riittävän korkeana (numeerisena) todennäköisyytenä (ts. (P (phi) geq t), joillekin kynnysarvoille (1/2 <t / leq 1)), tai vaihtoehtoisesti todennäköisyyden suhteen, mikä on todennäköisyyden ei-metrinen yleistys. Burgess (1969) kehittää edelleen näitä järjestelmiä keskittyen 'korkean numeerisen todennäköisyyden' tulkintaan. Sekä Hamblin että Burgess tuovat järjestelmiin lisäoperaattoreita (ilmaisevat esimerkiksi metafyysisen välttämättömyyden ja / tai tiedon) ja tutkivat todennäköisesti -operaattorin ja näiden muiden modaalioperaattorien välistä vuorovaikutusta. Kuitenkin,'todennäköisesti' -operaattorilla on jo omia mielenkiintoisia ominaisuuksiaan (riippumatta muista operaattoreista). Jos sitä tulkitaan 'riittävän suurena todennäköisyytenä', niin se ei täytä periaatetta ((Box / phi / wedge / Box / psi) to / Box (phi / wedge / psi)). Tämä tarkoittaa, että se ei ole normaali modaalioperaattori, eikä sille voida antaa Kripken (relatiivista) semantiikkaa. Herzig ja Longin (2003) ja Arló Costa (2005) tarjoavat heikompia naapurimaiden semantiikan järjestelmiä sellaisille 'todennäköisesti' operaattoreille, kun taas Yalcin (2010) keskustelee heidän käyttäytymisestään kielellisemmin suuntautuneesta näkökulmasta. Tämä tarkoittaa, että se ei ole normaali modaalioperaattori, eikä sille voida antaa Kripken (relatiivista) semantiikkaa. Herzig ja Longin (2003) ja Arló Costa (2005) tarjoavat heikompia naapurimaiden semantiikan järjestelmiä sellaisille 'todennäköisesti' operaattoreille, kun taas Yalcin (2010) keskustelee heidän käyttäytymisestään kielellisemmin suuntautuneesta näkökulmasta. Tämä tarkoittaa, että se ei ole normaali modaalioperaattori, eikä sille voida antaa Kripken (relatiivista) semantiikkaa. Herzig ja Longin (2003) ja Arló Costa (2005) tarjoavat heikompia naapurimaiden semantiikan järjestelmiä sellaisille 'todennäköisesti' operaattoreille, kun taas Yalcin (2010) keskustelee heidän käyttäytymisestään kielellisemmin suuntautuneesta näkökulmasta.

Toisen reitin käyttävät Segerberg (1971) ja Gärdenfors (1975a, 1975b), jotka rakentavat aiemmin De Finettin (1937), Kraftin, Prattin ja Seidenbergin (1959) ja Scottin (1964) aikaisempaan työhön. He esittelevät binaarioperaattorin (geq); kaava (phi / geq / psi) on luettava siten, että '(phi) on vähintään yhtä todennäköinen kuin (psi)' (muodollisesti: (P (phi) geq P (psi))). Keskeinen ajatus on, että (geq): n käyttäytyminen voidaan täysin axiomatiisoida käyttämättä yksittäisten kaavojen 'taustalla olevia' todennäköisyyksiä. On huomattava, että vertailevalla todennäköisyydellä (binaarioperaattori) voidaan ilmaista myös joitain absoluuttisia todennäköisyysominaisuuksia (unaarioperaattorit). Esimerkiksi, (phi / geq / top) ilmaisee, että (phi) on todennäköisyys 1, ja (phi / geq / neg / phi) ilmaisee, että (phi) on todennäköisyys ainakin 1/2. Viimeaikaisessa työssäDelgrande ja Renne (2015) laajentavat edelleen laadullista lähestymistapaa antamalla (geq) -argumentit olla kaavojen (mahdollisesti eripituisilla) äärellisillä sekvensseillä. Kaavaa ((phi_1, / pisteitä, / phi_n) geq (psi_1, / pisteitä, / psi_m)) luetaan epävirallisesti '((phi_i): n todennäköisyyksien summana on vähintään yhtä suuri kuin (psi_j) '' todennäköisyyksien summa. Tuloksena oleva logiikka voidaan aksiomatoida kokonaan, ja se on niin ilmeikäs, että pystyy jopa kaappaamaan kvantitatiivisen todennäköisyyden logiikan, johon käännymme nyt.\ psi_m)) on epävirallisesti luettava siten, että '(phi_i)' todennäköisyyksien summa on vähintään yhtä suuri kuin (psi_j) 'todennäköisyyksien summa. Tuloksena oleva logiikka voidaan aksiomatoida kokonaan, ja se on niin ilmeikäs, että pystyy jopa kaappaamaan kvantitatiivisen todennäköisyyden logiikan, johon käännymme nyt.\ psi_m)) on epävirallisesti luettava siten, että '(phi_i)' todennäköisyyksien summa on vähintään yhtä suuri kuin (psi_j) 'todennäköisyyksien summa. Tuloksena oleva logiikka voidaan aksiomatoida kokonaan, ja se on niin ilmeikäs, että pystyy jopa kaappaamaan kvantitatiivisen todennäköisyyden logiikan, johon käännymme nyt.

3.2 Todennäköisyysehtojen summat ja tuotteet

Propositiaalinen todennäköisyyslogiikka on ehdotuslogiikan laajennuksia, jotka ilmaisevat numeeriset suhteet todennäköisyystermien (P (varphi)) välillä. Yksinkertainen ehdotuksellinen todennäköisyyslogi lisää muodon (P (varphi) ge q) ehdotuslogiikkakaavoihin, missä (varphi) on ehdotuskaava ja (q) on luku; tällainen kaava väittää, että (varphi) todennäköisyys on ainakin (q). Semantiikka formalisoidaan käyttämällä malleja, jotka koostuvat todennäköisyysfunktiosta (mathcal {P}) joukon (Omega) yli, jonka elementeille annetaan totuusosoitus ehdotuslogiikan atomisille ehdotuksille. Siten ehdotuskaava on totta (Omega) -elementissä, jos totuuden osoittaminen tälle elementille tekee ehdotuskaavan totta. Kaava (P (varphi) ge q) on totta mallissa vain ja vain jos (Omega) elementtijoukon todennäköisyys (matemaattinen {P}), jolle (varphi) on totta, on ainakin (q). Katso Ognjanović et al: n luku 3. (2016) saadaksesi yleiskuvan tällaisesta väitteiden todennäköisyyslogiikasta.

Jotkut ehdotukselliset todennäköisyyslogiikat sisältävät muun tyyppisiä kaavoja objektikielellä, kuten sellaiset, jotka sisältävät summia ja todennäköisyystermien tuloksia. Sumojen vetoomus voidaan selventää todennäköisyysfunktioiden additioehdolla (katso kohta 2.1), joka voidaan ilmaista muodolla (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi)) aina kun (neg (phi / kiila / psi)) on tautologia, tai vastaavasti kuin (P (phi / kiila / psi) + P (phi / kiila / neg / psi) = P (Phi)). Todennäköisyyslogiikoilla, jotka sisältävät nimenomaisesti todennäköisyyssummat, sisältyy yleensä yleisemmin todennäköisyystermien lineaarisia yhdistelmiä, kuten Fagin et ai. (1990). Tätä varten ehdotuslogiikkaa jatketaan kaavoilla, joiden muoto on (a_1P (phi_1) + / cdot + a_n P (phi_n) ge b), missä (n) on positiivinen kokonaisluku, joka voi vaihdella kaavasta toiseen kaava ja (a_1, / ldots, a_n),ja (b) ovat kaikki rationaalisia lukuja. Tässä on esimerkkejä siitä, mitä voidaan ilmaista.

  • (P (phi) le q) lähettäjä (- P (phi) ge -q),
  • (P (phi) <q) esittäjä (neg (P (phi) geq)),
  • (P (phi) = q) esittäjä (P (phi) ge q / kiila P (phi) le q).
  • (P (phi) ge P (psi)) esittäjä (P (phi) -P (psi) ge 0).

Ilmeikäs voima lineaaristen yhdistelmien kanssa ja ilman: Vaikka lineaariset yhdistelmät tarjoavat kätevän tavan ilmaista lukuisia suhteita todennäköisyystermeissä, kieli ilman todennäköisyystermejä on silti erittäin voimakas. Harkitse kieltä, joka on rajoitettu muodon (P (phi) ge q) kaavoihin joillekin ehdotuskaavoille (phi) ja rationaalisille (q). Voimme määritellä

[P (phi) le q / text {Lähettäjä} P (neg / phi) ge 1-q,)

joka on kohtuullinen ottaen huomioon, että ehdotuksen täydentämisen todennäköisyys on yhtä kuin 1 miinus ehdotuksen todennäköisyys. Kaavat (P (phi)[P (phi / kiila / psi) = a / kiila P (phi / kiila / neg / psi) = b] kohtaan P (phi) = a + b)

toteaa, että jos (phi / kiila / psi) todennäköisyys on (a) ja (phi / kiila / neg / psi) todennäköisyys on (b), niin kaavojen disjunktio (joka vastaa (phi)) on (a + b). Vaikka lineaaristen yhdistelmien käyttö antaa meille kuitenkin väittää, että (varphi / kiila / psi) ja (varphi / kiila / neg / psi) todennäköisyydet ovat additiivisia käyttämällä kaavaa (P (varphi / kiila / psi) + P (varphi / kiila / neg / psi) = P (varphi)), kaava ilman yllä olevia lineaarisia yhdistelmiä vain tekee niin, jos valitsemme oikeat numerot (a) ja (b). Demey and Sack (2015) kuvaa muodollisen vertailun väitteellisen todennäköisyyslogiikan ilmeisyydestä lineaarisilla yhdistelmillä ja ilman. Vaikka kaikki kaksi mallia sopivat kaikista kaavoista, joissa on lineaariset yhdistelmät, vain ja vain jos ne sopivat kaikista kaavoista ilman (Lemma 4.1 (Demey and Sack (2015)), ei ole tilanne, että mikään luokka, joka voidaan määritellä yhdellä kaavalla lineaarisilla yhdistelmillä, voidaan määritellä yhdellä kaavalla ilman (Lemma 4.2, Demey and Sack (2015)). Erityisesti kaavan (P (p) - P (q) ge 0) määrittelemää malliluokkaa ei voida määritellä millään yksittäisellä kaavalla ilman lineaaristen yhdistelmien voimaa.

Tiettyyn alajoukkoon kuuluvat todennäköisyydet: Ognjanović ja Rašković (1999) laajentavat todennäköisyyslogiikan kieltä uuden tyyppisellä operaattorilla: (Q_F). Intuitiivisesti kaava (Q_F / phi) tarkoittaa, että (phi): n todennäköisyys kuuluu (F), joillekin tietylle joukolle (F / subseteq [0,1]). Tätä (Q_F) - operaattoria ei voida määritellä muodon (P (phi) ge a) kaavoilla. Ognjanović ja Rašković (1999) tarjoavat tällaisen loogisen järjestelmän järkevän ja täydellisen aksiomaation. Keskeiset siltaperiaatteet, jotka yhdistävät operaattorin (Q_F) tavallisempaan (P) - operaattoriin, ovat kaikkien aksioomit (P (phi) = a / Q_F / phi) kaikille (a / F: ssä), samoin kuin infinisteriö, joka määrittelee, että (P (phi) = a / to / psi) kaikille (a / F: ssä), voidaan päätellä (Q_F / Phi / on / psi).

Polynomipainokaavat: Loogiset polynomipainokaavat (sisältäen sekä painotetut summat että todennäköisyystermien tulokset) voivat sallia kaavoja, joiden muoto on (P (phi) P (psi) -P (phi / kiila / psi) = 0), ts. Sekä (phi) että (psi) todennäköisyys on yhtä suuri kuin (phi) ja (psi) todennäköisyyksien tulos. Tämä kaava kuvaa, mitä tarkoittaa (phi) ja (psi) olla tilastollisesti riippumattomia. Tällaisia logiikoita tutkittiin julkaisuissa Fagin et ai. (1990), mutta enimmäkseen ensimmäisen kertaluvun logiikkaominaisuuksilla, ja sitten taas yksinkertaisemmassa yhteydessä (ilman kvantifioijia) julkaisussa Perović et ai. (2008).

Kompaktivuus ja täydellisyys: Kompaktivuus on logiikan ominaisuus, jossa kaavajoukot ovat tyydyttäviä, jos kaikki äärelliset alajoukot ovat tyydyttäviä. Propositionaalisesta todennäköisyyslogiikasta puuttuu kompaktiominaisuus, koska ({P (p)> 0 } cup {P (p) leq a \, | \, a> 0 }) äärellinen osajoukko on tyydyttävä, mutta koko sarja ei ole.

Ilman kompaktiutta logiikka saattaa olla heikosti täydellinen (jokainen kelvollinen kaava on todistettavissa aksioomaattisessa järjestelmässä), mutta ei voimakkaasti täydellinen (jokaiselle kaavojen joukolle (Gamma) kaikki (Gamma) loogiset seuraukset ovat todistettavissa alk. (Gamma) aksomaattisessa järjestelmässä). Julkaisussa Fagin et ai. (1990), annettiin todistusjärjestelmä, joka sisälsi lineaariset yhdistelmät, ja logiikan osoitettiin olevan sekä vakaa että heikosti täydellinen. Ognjanovićissa ja Raškovićissa (1999) annetaan vakaa ja vahvasti täydellinen todistusjärjestelmä ehdotukselliseen todennäköisyyslogiikkaan ilman lineaarisia yhdistelmiä. Julkaisuissa Heifetz ja Mongin (2001),annettiin todistusjärjestelmä logiikan variaatiolle ilman lineaarisia yhdistelmiä, joka käyttää tyyppijärjestelmää todennäköisyyskaavojen iteraation mahdollistamiseksi (näemme luvussa 4, kuinka tällainen iterointi voidaan saavuttaa käyttämällä mahdollisia maailmoja) annettiin ja logiikka osoitettiin olla terve ja heikosti täydellinen. He huomauttavat myös, että mikään tällaisen logiikan lopputulosjärjestelmä ei voi olla vahvasti täydellinen. Ognjanović et ai. (2008) esittävät joitain kvalitatiivisia todennäköisyyslogiikoita infinissiivisilla johdannaisilla (jotka edellyttävät laskettavan ääretöntä määrää tiloja) ja osoittavat vahvan täydellisyyden. Goldblatt (2010) esittelee vahvasti täydellisen todistusjärjestelmän siihen liittyvään kolagebraaliseen logiikkaan. Perović et ai. (2008) antavat todistusjärjestelmän ja todistuksen ehdotuksellisen todennäköisyyslogiikan vahvasta täydellisyydestä polynomipainokaavoilla. Lopuksitoinen strategia vahvan täydellisyyden saavuttamiseksi käsittää todennäköisyysfunktioiden rajoittamisen kiinteään, äärelliseen numerojoukkoon; esimerkiksi Ognjanović et ai. (2008) käsittelevät kvalitatiivista todennäköisyyslogiikkaa, jossa todennäköisyysfunktioiden alue ei ole koko todellinen yksikköväli ([0,1]), vaan 'diskreetti' versio ({0, / frac {1 } {n}, / frac {2} {n}, / pisteet, / frac {n-1} {n}, 1 }) (joillekin kiinteille numeroille (n / \ mathbb {N})). Katso Ognjanović et al: n luku 7. (2016) saadaksesi yleiskuvan täydellisyystuloksista.vaan 'diskreisoitunut' versio ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / pisteet, / frac {n-1} {n}, 1 }) (joillekin kiinteille numeroille (n / \ mathbb {N})). Katso Ognjanović et al: n luku 7. (2016) saadaksesi yleiskuvan täydellisyystuloksista.vaan 'diskreisoitunut' versio ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / pisteet, / frac {n-1} {n}, 1 }) (joillekin kiinteille numeroille (n / \ mathbb {N})). Katso Ognjanović et al: n luku 7. (2016) saadaksesi yleiskuvan täydellisyystuloksista.

4. Modaalisen todennäköisyyden logiikka

Monet todennäköisyyslogiikat tulkitaan yhdellä, mutta mielivaltaisella todennäköisyystilalla. Modaalinen todennäköisyyslogiikka käyttää monia todennäköisyystiloja, jotka kukin liittyvät mahdolliseen maailmaan tai tilaan. Tätä voidaan pitää vähäisenä mukautuksena modaalilogiikan relaatiosemantiikkaan: sen sijaan, että assosioituisi jokaiseen mahdolliseen maailmaan joukko esteettömiä maailmoja, kuten tehdään modaalilogiikassa, modaalinen todennäköisyyslogi assosioi kaikkiin mahdollisiin maailmoihin todennäköisyysjakauman, todennäköisyystilan. tai joukko todennäköisyysjakaumia. Modaalisen todennäköisyyden logiikan kieli sallii upottaa todennäköisyydet todennäköisyyksiin, ts. Se voi esimerkiksi perustella todennäköisyyden, että (mahdollisesti erilainen) todennäköisyys on (1/2). Tämä monimuotoisuus, johon liittyy useita todennäköisyyksiä, on yleensä annettu (1) stokastinen tulkinta,Seuraavien valtioiden erilaisista todennäköisyyksistä järjestelmä saattaa siirtyä (Larsen ja Skou 1991), ja (2) subjektiivinen tulkinta, joka koskee erilaisia todennäköisyyksiä, jotka eri edustajilla voi olla tilanteesta tai toistensa todennäköisyyksistä (Fagin ja Halpern 1988). Molemmat tulkinnat voivat käyttää täsmälleen samaa muodollista kehystä.

Perusmodaalinen todennäköisyyslogi lisää muodon (P (phi) ge q) ehdotuslogiikkakaavoihin, joissa (q) on tyypillisesti rationaaliluku ja (phi) on mikä tahansa kieli, mahdollisesti todennäköisyyskaava. Tällaisen kaavan lukema on, että (phi): n todennäköisyys on vähintään (q). Tämä kaavan yleinen lukema ei heijasta eroa modaalisen todennäköisyyslogiikan ja muiden saman kaavan todennäköisyyslogiikkojen välillä; missä ero on kyvyssä upottaa todennäköisyydet todennäköisyystermeihin ja semantiikkaan. Seuraavat alajaksot tarjoavat yleiskuvan modaalin todennäköisyyslogiikan mallinnuksen muunnelmista. Yhdessä tapauksessa kieltä muutetaan hiukan (kohta 4.2), ja muissa tapauksissalogiikkaa laajennetaan koskemaan kvalitatiivisen ja kvantitatiivisen epävarmuuden (kohta 4.4) tai dynamiikan (kohta 4.5) vuorovaikutuksia.

4.1 Perusteelliset äärellisen modaalin todennäköisyysmallit

Periaatteellisesti äärellinen modaalinen todennäköisyysmalli on tuple (M = (W, / matemaattinen {P}, V)), missä (W) on äärellinen joukko mahdollisia maailmoja tai tiloja, (mathcal { P}) on funktio, joka yhdistää jakauman (matemaattisen {P} _w) yli (W) jokaiseen maailmaan (w / W), ja (V) on 'arvostustoiminto' Atomiehdotusten osoittaminen joukosta (Phi) jokaiselle maailmalle. Jakelu laajennetaan lisäksi yksittäisistä maailmoista joukkoihin: (mathcal {P} _w (S) = / summa_ {s / S} mathcal {P} _w (s)). Modaalisen todennäköisyyden perusmallin kaksi ensimmäistä komponenttia ovat käytännössä samat kuin Kripken kehys, jonka suhde on koristeltu numeroilla (todennäköisyysarvoilla). Tällaisella rakenteella on erilaisia nimiä, kuten esimerkiksi suunnattu graafi, jossa on merkitty reunat matematiikassa, tai todennäköinen siirtymäjärjestelmä informaatiotieteessä. Arvostustoiminto,kuten Kripke-mallissa, antaa meille mahdollisuuden antaa ominaisuuksia maailmoille.

Kaavojen semantiikka annetaan pareilla ((M, w)), missä (M) on malli ja (w) on mallin osa. Kaava (P (phi) geq) on totta parilla ((M, w)), kirjoitetulla ((M, w) mallilla P (phi) ge q), jos ja vain jos (matemaattinen {P} _w ({w '\ mid (M, w') mallit / phi }) ge q).

4.2 Indeksointi ja tulkinnat

Ensimmäinen yleistys, joka on yleisimpiä modaalisen todennäköisyyden logiikan sovelluksissa, on antaa jakaumien indeksoida kaksi ryhmää yhden sijasta. Ensimmäinen joukko on maailmojen joukko (W) (mallin perusjoukko), mutta toinen on hakemistojoukko (A), joka on usein toteutettava joukkona toimintoja, agentteja tai pelaajia peli. Muodollisesti (mathcal {P}) yhdistää jakauman (mathcal {P} _ {a, w}) kunkin (w / in W) ja (a / jonkin sisällä). Kielelle sen sijaan, että sisältäisimme kaavan muotoa (P (phi) ge q), meillä on (P_a (phi) ge q) ja ((M, w) mallit P_a (phi) ge q) jos ja vain jos (matemaattinen {P} _ {a, w} ({w '\ mid (M, w') mallit / phi }) ge q).

Esimerkki: Oletetaan, että meillä on hakemistojoukko (A = {a, b }) ja joukko (Phi = {p, q }) atomiehdotuksia. Mieti ((W, / matemaattinen {P}, V)), missä

  • (W = {w, x, y, z })
  • (matemaattinen {P} _ {a, w}) ja (matemaattinen {P} _ {a, x}) kartta (w) kohteeseen (1/2), (x) kohtaan (1/2), (y) (0) ja (z) - (0).

    (matemaattinen {P} _ {a, y}) ja (matemaattinen {P} _ {a, z}) kartta (y) kohtaan (1/3), (z) kohtaan (2/3), (w) - (0) ja (x) - ((0)).

    (matemaattinen {P} _ {b, w}) ja (matemaattinen {P} _ {b, y}) kartta (w) kohteeseen (1/2), (y) kohtaan (1/2), (x) - (0) ja (z) - ((0)).

    (matemaattinen {P} _ {b, x}) ja (matemaattinen {P} _ {b, z}) kartta (x) kohteeseen (1/4), (z) kohtaan (3/4), (w) - (0) ja (y) - ((0)).

  • (V (p) = {w, x })

    (V (q) = {w, y }).

Esitämme tämän esimerkin seuraavalla kaaviolla. Kunkin ympyrän sisällä on merkintä kunkin ehdotuskirjaimen totuudesta maailmalle, jonka nimi on merkitty ympyrän ulkopuolelle. Nuolet osoittavat todennäköisyydet. Esimerkiksi nuoli maailmalta (x) maailmaan (z) merkittynä ((b, 3/4)) osoittaa, että (x), todennäköisesti (z) alla tarra (b) on (3/4). Todennäköisyyksiä 0 ei ole merkitty.

Neljä ympyrää, joissa kussakin mahdollinen p, q-tila ja todennäköisyyden nuolet
Neljä ympyrää, joissa kussakin mahdollinen p, q-tila ja todennäköisyyden nuolet

kuva

Stokastinen tulkinta: Tarkastele (A) : n elementtejä (a) ja (b) toimintoina, esimerkiksi koneen painikkeiden painamisella. Tässä tapauksessa painikkeen painalluksella ei ole tiettyä lopputulosta. Esimerkiksi, jos kone on tilassa (x), on (1/2) todennäköisyys, että se pysyy samassa tilassa, kun painat (a), mutta (1/4) todennäköisyys pysyä samassa tilassa painettaessa (b). Tuo on, [(M, x) mallit P_a (p / wedge / neg q) = 1/2 / kiila P_b (p / wedge / neg q) = 1/4.)

Merkittävä yleinen modaalilogiikan piirre (ja tämä sisältää modaalisen todennäköisyyslogiikan) on kyky tukea korkeamman asteen päättelyä, toisin sanoen todennäköisyyden todennäköisyyksien perustelua. Korkeamman asteen todennäköisyydet ovat selviä heidän roolistaan esimerkiksi Millerin periaatteessa, jonka mukaan (P_1 (phi / mid P_2 (phi) = b) = b). Tässä (P_1) ja (P_2) ovat todennäköisyysfunktioita, joilla voi olla erilaisia tulkintoja, kuten kahden agentin todennäköisyydet, looginen ja tilastollinen todennäköisyys tai yhden agentin todennäköisyydet eri ajankohtina (Miller 1966; Lewis 1980; van Fraassen 1984; Halpern 1991). Korkeamman asteen todennäköisyys esiintyy myös esimerkiksi Judy Benjamin -ongelmassa (van Fraassen 1981a), jossa ehdollisuus riippuu todennäköisyystiedoista. Hyväksytäänkö kirjallisuudessa esitetyt korkeamman asteen todennäköisyyksiä koskevat periaatteet vai ei, kyky edustaa niitä pakottaa tutkimaan niitä hallitsevia periaatteita.

Jos haluat valaista korkeamman asteen perusteluja konkreettisemmin, palaamme esimerkkiimme ja katsomme, että kohdassa (x) on (1/2) todennäköisyys, että painettaessa (a) on olemassa (1 / 2) todennäköisyys, että painettaessa (b) on tapaus, että (neg p) on totta, ts.

[(M, x) mallit P_a (P_b (neg p) = 1/2) = 1/2.)

Subjektiivinen tulkinta: Oletetaan, että (A) elementit (a) ja (b) ovat pelin pelaajia. (p) ja (neg p) ovat strategioita pelaajalle (a) ja (q) ja (neg q) ovat kumpikin strategioita pelaajille (b). Mallissa kukin pelaaja on varma omasta strategiastaan; esimerkiksi kohdassa (x) pelaaja (a) on varma, että hän pelaa (p) ja pelaaja (b) on varma, että hän pelaa (neg q), eli

[(M, x) mallit P_a (p) = 1 / kiila P_b (neg q) = 1.)

Mutta pelaajat satunnaistavat vastustajansa. Esimerkiksi kohdasta (x), todennäköisyys, että (b) on (a): lle todennäköisyys (neg q) olla (1/2), on (1/4), tuo on

[(M, x) mallit P_b (P_a (q) = 1/2) = 1/4.)

4.3 Todennäköisyystilat

Todennäköisyydet määritellään yleensä mitta-alueen mittoiksi. Mittatila on joukko (Omega) (näytetila) yhdessä (sigma) - algebra (kutsutaan myös (sigma) - kenttä) (mathcal {A}) yli (Omega), joka on tyhjä joukko (Omega) -joukkoja siten, että (A / mathcal {A}) tarkoittaa, että (Omega-A / in mathcal { A}), ja (A_i / \ mathcal {A}) kaikille luonnollisille numeroille (i), tarkoittaa, että (bigcup_i A_i / in / mathcal {A}). Mitta on funktio (mu), joka on määritetty (sigma) - algebra (mathcal {A}), siten, että (mu (A) ge 0) jokaiselle joukolle (A / matemaattisessa {A}) ja (mu (bigcup_i A_i) = / sum_i / mu (A_i)) aina (A_i / cap A_j = / emptyset) jokaiselle (i, j).

(Sigma) - algebran tarkoituksena on rajoittaa toimialuetta siten, että jokaisella (Omega) -joukolla ei tarvitse olla todennäköisyyttä. Tämä on ratkaisevan tärkeää, jotta jotkut todennäköisyydet voidaan määritellä laskemattomasti äärettömissä sarjoissa; esimerkiksi tasaista jakautumista yksikkövälillä ei voida määritellä kaikilla aikavälin osajoukoilla, samalla kun ylläpidetään myös todennäköisyysmittareiden laskettavissa oleva additioedellytys.

Samaa peruskieltä, jota käytettiin äärellisessä todennäköisyyden peruslogiikassa, ei tarvitse muuttaa, mutta semantiikka on hiukan erilainen: jokaisessa tilassa (w / W) komponentti (matemaattinen {P} _w) modaalinen todennäköisyysmalli korvataan kokonaisella todennäköisyysvälillä ((Omega_w, / matemaattinen {A} _w, / mu_w)) siten, että (Omega_w / subseteq W) ja (mathcal {A} _w) on (sigma) - algebra yli (Omega_w). Syy, jonka vuoksi haluamme, että kokonaiset avaruudet eroavat toisistaan maailmassa, on heijastaa epävarmuutta siitä, mikä todennäköisyystila on oikea. Todennäköisyyskaavojen semantiikkaa varten ((M, w) mallit P (phi) ge q) vain ja jos (mu_w ({w '\ mid (M, w') mallit / phi }) ge q). Tällaista määritelmää ei ole määritelty hyvin siinä tapauksessa, että ({w '\ mid (M, w') mallit / phi } not / in / mathcal {A} _w). Siksi malleihin asetetaan usein rajoituksia sen varmistamiseksi, että tällaiset joukot ovat aina (sigma) - algebras.

4.4 Määrällisen ja laadullisen epävarmuuden yhdistäminen

Vaikka todennäköisyydet heijastavat kvantitatiivista epävarmuutta yhdellä tasolla, todennäköisyyksistä voi olla myös kvalitatiivista epävarmuutta. Haluamme ehkä olla laadullinen ja kvantitatiivinen epävarmuus, koska olemme niin epävarmoja joistakin tilanteista, että emme halua antaa numeroita heidän tapahtumien todennäköisyyksille, kun taas on muita tilanteita, joissa meillä on käsitys heidän tapahtumiensa todennäköisyyksistä.; ja nämä tilanteet voivat olla vuorovaikutuksessa.

On monia tilanteita, joissa emme ehkä halua antaa numeerisia arvoja epävarmuustekijöille. Yksi esimerkki on tapaus, jossa tietokone valitsee bitin 0 tai 1, emmekä tiedä, kuinka tämä bitti valitaan. Kolikkoleikkeiden tulokset sitä vastoin ovat usein käytettyjä esimerkkejä siitä, missä määrittäisimme todennäköisyydet yksittäisille tuloksille.

Esimerkki siitä, kuinka nämä voivat olla vuorovaikutuksessa, on se, missä bitin tulos määrää, käytetäänkö kolikon kääntämiseen reilua kolikkoa vai painotettua kolikkoa (sanotaan esimerkiksi päätä todennäköisyydellä (2/3)). Siten on laadullinen epävarmuus siitä, tuottaako kolikon kääntäminen päätä todennäköisyydellä (1/2) vai (2/3).

Yksi tapa muodollistaa todennäköisyyden ja laadullisen epävarmuuden välinen vuorovaikutus on lisäämällä kieleen uusi suhde malliin ja modaalioperaattoriin, kuten Fagin ja Halpern (1988, 1994) tekevät. Me lisäämme muodollisesti äärelliseen perustason malliin relaation (R / subseteq W ^ 2). Sitten lisäämme kieleen modaalioperaattorin (Box) siten, että ((M, w) mallit / Box / phi) vain ja vain jos ((M, w ') mallit / phi) milloin (w R w ').

Mieti seuraavaa esimerkkiä:

  • (W = {(0, H), (0, T), (1, H), (1, T) }),
  • (Phi = {h, t }) on joukko atomiehdotuksia,
  • (R = W ^ 2),
  • (P) assosioituu ((0, H)) ja ((0, T)) jakaumakarttojen ((0, H)) ja ((0, T)) kanssa kumpikin (1/2), ja liittyy ((1, H)) ja ((1, T)) jakautumisen kartoitukseen ((1, H)) muotoon (2/3) ja ((1, T)) - (1/3),
  • (V) kuvaa (h) joukkoon ({(0, H), (1, H) }) ja (t) joukkoon ({(0, T), (1, T) }).

Seuraava kaava on totta kohdassa ((0, H)): (neg / Box h / kiila (neg / Box P (h) = 1/2) kiila (Diamond P (h) = 1/2)). Tämä voidaan lukea, koska ei tiedetä, että (h) on totta, eikä tiedetä, että (h): n todennäköisyys on (1/2), mutta on mahdollista, että (h) on (1/2).

4.5 Dynamiikka

Olemme keskustelleet kahdesta näkökulmasta modaalisen todennäköisyyden logiikkaan. Yksi on ajallinen tai stokastinen, jolloin kuhunkin tilaan liittyvä todennäköisyysjakauma määrittelee todennäköisyyden siirtyä muihin tiloihin; toinen koskee aineiden subjektiivisia näkökulmia, jotka voivat pohtia muiden tekijöiden todennäköisyyksiä. Stokastinen järjestelmä on dynaaminen siinä mielessä, että se edustaa erilaisten siirtymien todennäköisyyksiä, ja tämä voidaan välittää modaalisten todennäköisyysmallien avulla. Mutta subjektiivisesta näkökulmasta modaaliset todennäköisyysmallit ovat staattisia: todennäköisyydet koskevat sitä, mikä tällä hetkellä on. Vaikka modaalinen todennäköisyysasetus on niiden tulkinnassa staattinen, se voidaan asettaa dynaamiseen kontekstiin.

Modaalisen todennäköisyysasteen dynamiikka koskee yleensä todennäköisyyden samanaikaisia muutoksia potentiaalisesti kaikissa mahdollisissa maailmoissa. Intuitiivisesti tällainen muutos voi johtua uudesta tiedosta, joka vaatii todennäköisyyden muutoksen jokaisessa mahdollisessa maailmassa. Subjektiivisten todennäköisyyksien dynamiikka mallinnetaan usein ehdollisen todennäköisyyden avulla, kuten julkaisuissa Kooi (2003), Baltag ja Smets (2008) ja van Benthem et ai. (2009). (E) -edellytys siitä, että (F) on kirjoitettu (P (E / mid F)), on (P (E / cap F) / P (F)). Päivitettäessä joukolla (F) todennäköisyysjakauma (P) korvataan todennäköisyysjaolla (P ') siten, että (P' (E) = P (E / puolivälissä F)), niin kauan kuin (P (F) neq 0). Oletetaan loput tämän dynamiikan alajaksosta, että jokaisella tarkasteltavana olevalla joukolla on positiivinen todennäköisyys.

Käyttämällä todennäköisyyslogiikkaa lineaarisilla yhdistelmillä, voimme lyhentää ehdollisen todennäköisyyden (P (phi / mid / psi) ge q) (P (phi / kiila / psi) - qP (psi) ge 0). Modaaliympäristössä operaattori ([! / Psi]) voidaan lisätä kielelle siten, että (M, w / mallit [! / Psi] phi) vain ja jos (M ', w / mallit / phi), missä (M ') on malli, joka on saatu (M) tarkistamalla kunkin maailman todennäköisyydet (psi). Huomaa, että ([! / Psi] (P (phi) geq)) eroaa (P (phi / mid / psi) ge q), siinä, että ([! / Psi] (P (phi) ge q)), (phi) sisäisten todennäköisyystermien tulkintaan vaikuttaa (psi) versio, kun taas (P (phi / mid / psi)) ge q), ne eivät ole, minkä vuoksi (P (phi / mid / psi) ge q) avautuu hienosti toiseen todennäköisyyskaavaan. ([! / Psi] phi) avautuu kuitenkin myös, mutta enemmän vaiheissa:

[! / psi] (P (phi) ge q) vasemmanpuoleinen nuoli (psi / to P ([! / psi] phi / mid / psi) ge q).)

Muita yleiskatsauksia modaalisen todennäköisyyden logiikasta ja sen dynamiikasta, katso Demey ja Kooi (2014), Demey ja Sack (2015) ja liite L dynaamisen episteemisen logiikan merkinnän todennäköisyyden päivityksestä dynaamisessa episteemisessä logiikassa.

5. Ensimmäisen asteen todennäköisyyslogiikka

Tässä osassa käsittelemme ensimmäisen asteen todennäköisyyslogiikoita. Kuten tämän merkinnän osassa 1 selitettiin, logiikalla voi olla todennäköisyysominaisuuksia monilla tavoilla. Logiikan malleilla voi olla todennäköisyysnäkökohtia, seurauksen käsitteellä voi olla todennäköisyysmaku tai logiikan kieli voi sisältää todennäköisyysoperaattoreita. Tässä osiossa keskitymme niihin loogisiin operaattoreihin, joilla on ensimmäisen kertaluvun maku. Ensimmäisen kertaluvun maku erottaa nämä operaattorit edellisen osan todennäköisyyden modaalioperaattoreista.

Tarkastellaan seuraavaa Bacchuksen (1990) esimerkkiä:

Yli 75% kaikista lintuista lentää.

Tälle lauseelle on suoraviivainen todennäköisyys tulkinta, eli kun satunnaisesti valitaan lintu, niin todennäköisyys, että valittu lintu lentää, on enemmän kuin 3/4. Ensimmäisen asteen todennäköisyysoperaattoreita tarvitaan tällaisten lauseiden ilmaisemiseen.

On olemassa toisenlainen lause, kuten seuraava lause, josta keskusteltiin Halpernissa (1990):

Todennäköisyys, että Tweety lentää, on suurempi kuin (0.9).

Tässä lauseessa otetaan huomioon todennäköisyys, että Tweety (tietty lintu) voi lentää. Näitä kahta lauseetyyppiä käsitellään kahdella erityyppisellä semantiikalla, jolloin ensimmäiseen liittyy todennäköisyyksiä verkkotunnuksen yli, kun taas jälkimmäiseen liittyy todennäköisyyksiä joukosta mahdollisia maailmoja, jotka ovat erillään alueesta.

5.1 Esimerkki ensimmäisen asteen todennäköisyyslogiikasta

Tässä alajaksossa tarkastellaan lähemmin tiettyä ensimmäisen kertaluvun todennäköisyyslogiikkaa, jonka kieli on mahdollisimman yksinkertainen, jotta keskitytään todennäköisyyslaskimiin. Kieli on hyvin samankaltainen kuin klassisen ensimmäisen kertaluvun logiikan kieli, mutta tutun universaalisen ja eksistentiaalisen kvantifikaattorin sijasta kieli sisältää todennäköisyyttä mittaavan tekijän.

Kieli perustuu joukkoon yksittäisiä muuttujia (merkitty (x, y, z, x_1, x_2, / ldot)), funktiosymbolien joukkoon (merkitty (f, g, h, f_1, / ldot)), joissa ariteetti liitetään kuhunkin symboliin (nollafunktiosymboleja kutsutaan myös yksittäisiksi vakioiksi), ja joukko predikaatteja (merkitty (R, P_1, / ldots)), joissa ariteetti liittyy jokainen symboli. Kieli sisältää kahden tyyppisiä syntaktisia objekteja, nimittäin termejä ja kaavoja. Termit määritellään induktiivisesti seuraavasti:

  • Jokainen yksittäinen muuttuja (x) on termi.
  • Jokainen ariteetin (n) funktion symboli (f), jota seuraa (n) - termien kokonaisuus ((t_1, / ldots, t_n)) on termi.

Tämän käsitteiden määritelmän perusteella kaavat määritellään induktiivisesti seuraavasti:

  • Jokainen ariteetin predikaattori (R) (n), jota seuraa (n) - termien kokonaisuus ((t_1, / ldots, t_n)) on kaava.
  • Jos (phi) on kaava, niin on myös (neg / phi).
  • Jos (phi) ja (psi) ovat kaavoja, niin on myös ((phi / kiila / psi)).
  • Jos (phi) on kaava ja (q) on rationaalinen luku aikavälillä ([0,1]), niin on (Px (phi) geq q).

Lomakkeen (Px (phi) geq q) kaavat tulisi lukea seuraavasti:”(x) -sovelluksen valitsemisen todennäköisyys siten, että (x) täyttää (phi), on vähintään (q)”. Kaava (Px (phi) leq q) on lyhenne sanoista (Px (neg / phi) geq 1-q) ja (Px (phi) = q) on lyhenne (Px (phi) geq q / kiila Px (phi) leq q). Operaattori sitoo jokaisen (x) ilmaisen esiintymisen (phi): ssä.

Tätä kieltä tulkitaan hyvin yksinkertaisilla ensimmäisen kertaluvun malleilla, jotka ovat kolminkertaisia (M = (D, I, P)), joissa diskurssin alue (D) on äärellinen ei-tyhjä kohteiden joukko, tulkinta (I) yhdistää (n) - ary-funktion (D) jokaiseen (n) - ary-funktiosymboliin, joka esiintyy kielellä, ja (n) - ary-funktion (D) jokaisella (n) - predikaattorilla. (P) on todennäköisyysfunktio, joka antaa todennäköisyyden (P (d)) jokaiselle (D) elementille (d) siten, että (summa_ {d / sisään D} P (d)) = 1).

Vapaita muuttujia sisältävien kaavojen tulkitsemiseksi tarvitaan myös tehtävä (g), joka antaa elementin (D) jokaiselle muuttujalle. Termin (t) tulkitseminen ()! [T] !] _ {M, g}) antoi mallin (M = (D, I, P)) ja tehtävän (g) määritetään induktiivisesti seuraavasti:

  • ()! [x] !] _ {M, g} = g (x))
  • ()! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, g} = I (f) ()! [t_1] !], / ldots,)! [t_n] !]))

Totuus määritellään suhteena (mallit) mallien välillä, joilla on tehtävät ja kaavat:

  • (M, g / mallit R (t_1, / ldots, t_n)) iff (()! [T_1] !], / Ldots,)! [T_n] !]) I: ssä (R))
  • (M, g / mallit / neg / phi) iff (M, g / ei / mallit / phi)
  • (M, g / mallit (phi / kiila / psi)) iff (M, g / mallit / phi) ja (M, g / mallit / psi)
  • (M, g / mallit Px (phi) geq q) iff (summa_ {d: M, g, [x / mapsto d] mallit / phi} P (d) geq q)

Mieti esimerkiksi maljakko maljakkoa, joka sisältää yhdeksän marmoria: viisi on mustaa ja neljä valkoista. Oletetaan, että (P) antaa jokaiselle marmorille todennäköisyyden 1/9, mikä kuvaa ajatusta, että yksi todennäköisesti valitsee minkä tahansa marmorin. Oletetaan, että kieli sisältää yksiarvoisen predikaatin (B), jonka tulkinta on mustien marmorien joukko. Lause (Px (B (x)) = 5/9) on totta tässä mallissa tehtävästä riippumatta.

Äskettäin esittämämme logiikka on liian yksinkertainen kaatamaan monenlaisia todennäköisyyttä koskevia päättelyjä. Keskustelemme täällä kolmesta laajennuksesta.

5.1.1 Useampien muuttujien kvantifiointi

Aluksi haluaisin perustella tapauksia, joissa verkkotunnuksesta valitaan useampi kuin yksi objekti. Harkitse esimerkiksi todennäköisyyttä, että ensin poimitaan musta marmori, laitetaan se takaisin ja sitten poimitaan valkoinen marmori maljakkoa. Tämä todennäköisyys on 5/9 (kertaa) 4/9 = 20/81, mutta emme voi ilmaista sitä yllä olevalla kielellä. Tätä varten tarvitsemme yhtä operaattoria, joka käsittelee useita muuttujia samanaikaisesti, kirjoittamalla muodossa (Px_1, / ldots x_n (phi) geq q). Tällaisten operaattoreiden semantiikan on sitten tarjottava todennäköisyysmitta (D ^ n) -joukkoille. Yksinkertaisin tapa tehdä tämä on yksinkertaisesti ottamalla todennäköisyysfunktion (P) tulos tuotteessa (D), jota voidaan pitää laajennuksena (P) tuppeihin, missä (P (d_1), / ldot d_n) = P (d_1) kertaa / cdot / kertaa P (d_n)), mikä tuottaa seuraavan semantiikan:

(M, g / mallit Px_1 / ldot x_n (phi) geq q) iff (summa _ {(d_1, / ldot, d_n): M, g [x_1 / mapsto d_1, / dot, x_n / mapsto d_n] mallit / phi} P (d_1, / ldots, d_n) geq q)

Tätä lähestymistapaa noudattavat Bacchus (1990) ja Halpern (1990), mikä vastaa ajatusta siitä, että valinnat ovat riippumattomia ja korvaavilla. Näillä semantiikoilla yllä oleva esimerkki voidaan muodostaa muodossa (Px, y (B (x) kiila / neg B (y)) = 20/81). Myös Hoover (1978) ja Keisler (1985) ovat yleisempiä lähestymistapoja verkkotunnuksen toimenpiteen laajentamiseksi koskemaan verkkotunnuksen kokonaisuuksia.

5.1.2 Ehdollinen todennäköisyys

Kun tarkastellaan alkuperäistä esimerkkiä siitä, että yli 75 prosenttia kaikista lintuista lentää, havaitaan, että tätä ei voida riittävästi vangita malliin, jossa toimialue sisältää esineitä, jotka eivät ole lintuja. Näillä objekteilla ei pitäisi olla merkitystä sen suhteen, mitä halutaan ilmaista, mutta todennäköisyysmääräysten määrittäjät kvantitoivat koko alueen. Kvantitatiivisen määrittämisen rajoittamiseksi on lisättävä ehdolliset todennäköisyysoperaattorit (Px (phi | / psi) geq q) seuraavalla semantiikalla:

  • (M, g / mallit Px (phi | / psi) geq q) jos on (d / in D) sellainen, että (M, g [x / mapsto d] mallit / psi) sitten

    ) frac { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] mallit / phi / kiila / psi} P (d)} { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] mallit / psi} P (d)} geq q.)

Näissä operaattoreissa kaava (Px (F (x) keskimmäinen B (x))> 3/4) ilmaisee, että yli 75% kaikista lintuista lentää.

5.1.3 Todennäköisyydet ehdoina

Kun halutaan verrata eri tapahtumien todennäköisyyttä, esimerkiksi valita musta pallo ja valita valkoinen pallo, voi olla helpompaa pitää todennäköisyyksiä itsenäisinä termeinä. Toisin sanoen lauseke (Px (phi)) tulkitaan viittaavan johonkin rationaaliseen lukuun. Sitten voidaan kieltä laajentaa aritmeettisilla operaatioilla, kuten summaamisella ja kertoamisella, ja operaattoreilla, kuten tasa-arvo ja epätasa-arvo, verrata todennäköisyystermejä. Sitten voidaan sanoa, että yksi on kaksinkertaisesti todennäköisempi valitsemaan musta pallo kuin valkoinen pallo kuin (Px (B (x)) = 2 / kertaa Px (W (x))). Tällainen laajennus edellyttää, että kieli sisältää kaksi erillistä termiluokkaa: yksi todennäköisyyksille, numeroille ja aritmeettisten operaatioiden tuloksille näillä ehdoilla,ja yksi diskurssialueelle, jonka todennäköisyysoperaattorit kvantisoivat. Emme esitä tällaisia kieliä ja semantiikkaa yksityiskohtaisesti. Tällaisen järjestelmän voi löytää Bacchuksesta (1990).

5.2 Mahdollinen maailman ensimmäisen kertaluvun todennäköisyyslogiikka

Tässä alajaksossa tarkastellaan ensimmäisen asteen todennäköisyyslogiikkaa mahdollisen maailman semantiikan kanssa (jota lyhennämme FOPL: na). FOPL: n kieli on samanlainen kuin esimerkissä, jonka annoimme osiossa 5.1, joka liittyy Bacchuksen kieleen, paitsi tässä meillä on täydelliset kvantitatiiviset kaavat muodossa ((forall x) phi) mille tahansa kaavalle (phi), ja lomakkeen (Px (phi) ge q) todennäköisyyskaavojen sijasta meillä on muodon (P (phi) ge q) todennäköisyyskaavoja (samanlaisia kuin ehdotus todennäköisyydessä olevat todennäköisyyskaavat) logiikka).

FOPL-mallit ovat muodossa (M = (W, D, I, P)), missä (W) on joukko mahdollisia maailmoja, (D) on diskurssin alue, (I) on lokalisoitu tulkintafunktio, joka kuvaa kaikki (w / in W) tulkintafunktioon (I (w)), joka assosioituu jokaiseen funktioon ja ennakoi symbolia, funktiota tai predikaattia sopivasta ariteetista ja (P) on todennäköisyysfunktio, joka antaa todennäköisyyden (P (w)) jokaiselle (w) (W) -kohdassa.

Kuten aiemmassa yksinkertaisessa esimerkissä, siihen liittyy määritysfunktio (g), joka kartoittaa jokaisen muuttujan verkkotunnuksen (D) elementille. Termejen tulkitsemiseksi jokaiselle mallelle (M), maailmalle (w / W) ja tehtävätoiminnolle (g) kartoitamme jokaisen termin (t) verkkotunnuksen elementteihin seuraavasti:

  • ()! [x] !] _ {M, w, g} = g (x))
  • ()! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, w, g} = I (w) (f) ()! [t_1] !], / ldots, [! [t_n] !]))

Totuus määritetään suhteen (malleja) terävien mallien (mallit, joilla on nimetyt maailmat) välisen suhteen, tehtävien ja kaavojen avulla, seuraavasti:

  • (M, w, g / mallit R (t_1, / ldots, t_n)) iff (()! [T_1] !], / Ldots,)! [T_n] !]) I (w) (R))
  • (M, w, g / mallit / neg / phi) iff (M, w, g / ei / mallit / phi)
  • (M, w, g / mallit (phi / kiila / psi)) iff (M, w, g / mallit / phi) ja (M, w, g / mallit / psi)
  • (M, w, g / mallit (forall x) varphi) iff (M, w, g [x / d] mallit / varphi) kaikille (d / D-muodossa), missä (g [x / d]) on sama kuin (g) paitsi, että se kuvaa (x) arvoon (d).
  • (M, w, g / mallit P (varphi) ge q) iff (P ({w '\ puolivälissä (M, w', g) mallit / varphi }) ge q).

Mieti esimerkiksi mallia, jossa on kaksi mahdollista maljakkoa: 4 valkoista marmoria ja 4 mustaa marmoria laitettiin molempiin mahdollisiin maljakoihin. Mutta sitten toinen marmori, nimeltään, laitettiin maljakkoon, mutta yhdessä mahdollinen maljakko oli valkoinen, ja toisessa se oli musta. Siksi lopulta on kaksi mahdollista maljakkoa: toisessa on 5 mustaa marmoria ja 4 valkoista marmoria ja toisessa 4 mustaa marmoria ja 5 valkoista marmoria. Oletetaan, että (P) antaa (1/2) todennäköisyyden kahdelle mahdolliselle maljakselle. Sitten (P (B (mathsf {viimeinen})) = 1/2) on totta tälle muuttujan määritykselle, ja jos valittiin jokin muu muuttujan määritys, kaava ((olemassa x) P (B (x)) = 1/2) olisi edelleen totta.

5.3 Metalogic

Yleensä on vaikeaa tarjota todistusjärjestelmiä ensimmäisen kertaluvun todennäköisyyslogiikoille, koska näiden logiikoiden kelpoisuusongelma on yleensä ratkaisematon. Ei edes ole, kuten klassisessa ensimmäisen kertaluvun logiikassa, että jos päätelmä on pätevä, niin se voidaan selvittää rajallisessa ajassa (katso Abadi ja Halpern (1994)).

Siitä huolimatta ensimmäisen asteen todennäköisyyslogiikalla on monia tuloksia. Esimerkiksi Hooverin (1978) ja Keislerin (1985) tutkimuksen täydellisyystulokset. Bacchus (1990) ja Halpern (1990) tarjoavat myös täydelliset aksiomaatiot, samoin kuin ensimmäisen kertaluvun todennäköisyyslogiikan ja mahdollisen maailman ensimmäisen kertaluvun todennäköisyyslogiikan yhdistelmät. Ognjanovićissa ja Raškovićissa (2000) annetaan infinitaarinen täydellinen aksiomaatiota tässä esitetyn mahdollisen maailman ensimmäisen kertaluvun todennäköisyyslogiikan yleisempää versiota varten.

bibliografia

  • Abadi, M. ja Halpern, JY, 1994,”Päätettävyys ja ilmaisu todennäköisyyden ensimmäisen asteen logiikasta”, Tiedotus ja laskenta, 112: 1–36.
  • Adams, EW ja Levine, HP, 1975,”Epävarmuuksista, jotka siirretään premisseista johtopäätöksiin johtopäätöksiin”, Synthese, 30: 429–460.
  • Adams, EW, 1998, A Primer of Probability Logic, Stanford, CA: CSLI-julkaisut.
  • Arló Costa, H., 2005,”Ei-additiiviset päätelmät ja klassiset yksityiskohdat”, Journal of Philosophical Logic, 34: 581–605.
  • Bacchus, F., 1990, edustaminen ja perustelu todennäköisyystiedolla, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Baltag, A. ja Smets, S., 2008,”Todennäköinen dynaaminen uskomuksen tarkistus”, Synthese, 165: 179–202.
  • van Benthem, J., 2017, “Kaikille kertoimille: kun logiikka täyttää todennäköisyyden”, ModelEd, TestEd, TrustEd. Ed Brinksmalle hänen 60. syntymäpäiväänsä omistetut esseet, JP Katoen, R. Langerak ja A. Rensink (toim.), Cham: Springer, s. 239–253.
  • van Benthem, J., Gerbrandy, J., ja Kooi, B., 2009,”Dynaaminen päivitys todennäköisyyksillä”, Studia Logica, 93: 67–96.
  • Boole, G., 1854, Tutkimus ajattelutavoista, joille perustellaan logiikan ja todennäköisyyden matemaattiset teoriat, Lontoo: Walton ja Maberly.
  • Burgess, J., 1969,”Todennäköisyyslogiikka”, Journal of Symbolic Logic, 34: 264–274.
  • Carnap, R., 1950, Todennäköisyyden loogiset perusteet, Chicago, IL: University of Chicago Press.
  • Cross, C., 1993,”Maailmista todennäköisyyksiin: Todennäköinen semantiikka modaalilogiikalle”, Journal of Philosophical Logic, 22: 169–192.
  • Delgrande, J. ja Renne, B., 2015,”Laadullisen todennäköisyyden logiikka”, keinotekoista älykkyyttä käsittelevän kahdennenkymmenennentoista kansainvälisen yhteiskonferenssin (IJCAI 2015), Q. Yang ja M. Wooldridge (toim.), Palo Alto, CA: AAAI Press, s. 2904–2910.
  • Demey, L. ja Kooi, B., 2014, “Logic and Probabilistic Update”, julkaisuissa A. Baltag ja S. Smets (toim.), Johan van Benthem logiikasta ja informaatiodynamiikasta, s. 381–404.
  • Demey, L. ja Sack, J., 2015,”Epistemic Probabilistic Logic”, Epistemic Logic Handbook. H. van Ditmarsch, J. Halpern, W. van der Hoek ja B. Kooi (toim.), London: College Publications, s. 147–202.
  • Dempster, A., 1968,”Yleistä Bayesin päätelmistä”, Journal of Royal Statistics Society, 30: 205–247.
  • De Morgan, A., 1847, Formal Logic, Lontoo: Taylor ja Walton.
  • de Finetti, B., 1937,”La Prévision: Ses Lois Logiques, Ses Sources Subjectives”, Annales de l'Institut Henri Poincaré, 7: 1–68; käännetty nimellä”Ennakointi. Sen loogiset lait, sen subjektiiviset lähteet”, subjektiivisen todennäköisyyden tutkimuksissa, HE Kyburg, Jr. ja HE Smokler (toim.), Malabar, FL: RE Krieger Publishing Company, 1980, s. 53–118.
  • Douven, I. ja Rott, H., 2018,”Todennäköisyyksistä kategorisiin uskomuksiin: Lelumallien ylittäminen”, Journal of Logic and Computation, 28: 1099–1124.
  • Eagle, A., 2010, todennäköisyysfilosofia: Contemporary Readings, Lontoo: Routledge.
  • Fagin, R. ja Halpern, JY, 1988,”Tiedon ja todennäköisyyden syyt”, toisen konferenssin osiossa tiedon perustelujen teoreettisista puolista, MY Vardi (toim.), Pacific Grove, CA: Morgan Kaufmann, pp. 277-293.
  • –––, 1994,”Tiedon ja todennäköisyyden perusteet”, ACM: n lehti 41: 340–367.
  • Fagin, R., Halpern, JY, ja Megiddo, N., 1990,”Logiikka perustelujen todennäköisyyksille”, Information and Computation, 87: 78–128.
  • Fitelson, B., 2006,”Induktiivinen logiikka”, tiedefilosofiassa: Entsyklopedia, J. Pfeifer ja S. Sarkar (toim.), New York, NY: Routledge, s. 384–394.
  • van Fraassen, B., 1981a,”Ongelma todennäköisten kinematiikan suhteellisten tiedon minimoijien suhteen”, British Journal of the Philosophy of Science, 32: 375–379.
  • –––, 1981b,”Todennettu todennäköinen semantiikka: I. Postulaatit ja logiikka”, Journal of Philosophical Logic, 10: 371–391.
  • –––, 1983,”Herrasmiesten palkat: merkityksellinen logiikka ja todennäköisyys”, Philosophical Studies, 43: 47–61.
  • –––, 1984,”Usko ja tahto”, Journal of Philosophy, 81: 235–256.
  • Gärdenfors, P., 1975a,”Laadullinen todennäköisyys intensiivisenä logiikkana”, Journal of Philosophical Logic, 4: 171–185.
  • –––, 1975b,”Joitakin laadullisen todennäköisyyden perusaateita”, Studia Logica, 34: 257–264.
  • Georgakopoulos, G., Kavvadias, D., ja Papadimitriou, CH, 1988,”Todennäköinen tyydyttävyys”, Journal of Complexity, 4: 1–11.
  • Gerla, G., 1994,”Johtopäätökset todennäköisyyslogiikasta”, Aritificial Intelligence, 70: 33–52.
  • Gillies, D., 2000, todennäköisyyden filosofiset teoriat, Lontoo: Routledge.
  • Goldblatt, R. (2010) “Hiukkasten vähennysjärjestelmät mitattavissa olevien tilojen yli.” Journal of Logic and Computation 20 (5): 1069–1100
  • Goldman, AJ ja Tucker, AW, 1956,”Lineaarisen ohjelmoinnin teoria”, lineaarisessa eriarvoisuudessa ja siihen liittyvissä järjestelmissä. Annals of Mathematics Studies 38, HW Kuhn ja AW Tucker (toim.), Princeton: Princeton University Press, s. 53–98.
  • Goosens, WK, 1979,”Alkuperäisen todennäköisyyden teorian vaihtoehtoiset aksiomatizations”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 20: 227–239.
  • Hájek, A., 2001,”Todennäköisyys, logiikka ja todennäköisyyslogiikka”, The Blackwell Guide to Philosophical Logic, L. Goble (toim.), Oxford: Blackwell, s. 362–384.
  • Hájek, A. ja Hartmann, S., 2010, “Bayesin epistemologia”, julkaisussa A Companion to Epistemology, J. Dancy, E. Sosa ja M. Steup (toim.), Oxford: Blackwell, s. 93–106.
  • Haenni, R. ja Lehmann, N., 2003,”Todennäköiset argumentointijärjestelmät: uusi näkökulma Dempster-Shafer-teoriaan”, International Journal of Intelligent Systems, 18: 93–106.
  • Haenni, R., Romeijn, J.-W., Wheeler, G., ja Williamson, J., 2011, todennäköisyyslogiikka ja todennäköisyysverkot, Dordrecht: Springer.
  • Hailperin, T., 1965,”Parhaat mahdolliset eriarvoisuudet tapahtumien loogisen funktion todennäköisyydelle”, American Mathematical Monthly, 72: 343–359.
  • –––, 1984,”Todennäköisyyslogiikka”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 25: 198–212.
  • –––, 1986, Boolen logiikka ja todennäköisyys, Amsterdam: Pohjois-Hollanti.
  • –––, 1996, Sentential todennäköisyyslogiikka: alkuperä, kehitys, nykytila ja tekniset sovellukset, Bethlehem, PA: Lehigh University Press.
  • Halpern, JY ja Rabin, MO, 1987,”Logiikka todennäköisyyden syylle”, tekoäly, 32: 379–405.
  • Halpern, JY, 1990,”Analyysi todennäköisyyden ensimmäisen asteen logiikasta”, Artificial Intelligence, 46: 311–350.
  • –––, 1991,”Tiedon, uskomuksen ja varmuuden välinen suhde”, Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 4: 301–322. Errata ilmestyi Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 26 (1999): 59–61.
  • –––, 2003, epävarmuuden perusteet, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Hamblin, CL, 1959,”Modaali” todennäköisesti”, Mind, 68: 234–240.
  • Hansen, P. ja Jaumard, B., 2000,”Todennäköinen tyydyttävyys”, Mahdollisten perustelu- ja epävarmuustekijöiden hallintajärjestelmien käsikirjassa. Osa 5: Algoritmit epävarmuudelle ja mahdottomalle päättelylle, J. Kohlas ja S. Moral (toim.), Dordrecht: Kluwer, s. 321–367.
  • Harrison-Trainor M., Holliday, WH, ja Icard, T., 2016,”Huomautus peruuttamisaksioomista vertailevalle todennäköisyydelle”, Teoria ja päätös, 80: 159–166.
  • –––, 2018,”päätellyt todennäköisyysvertailut”, matemaattiset yhteiskuntatieteet, 91: 62–70.
  • Hartmann, S. ja Sprenger J., 2010, “Bayesian epistemologia” julkaisussa Routledge Companion to Epistemology, S. Bernecker ja D. Pritchard (toim.), London: Routledge, sivut 609–620.
  • Heifetz, A. ja Mongin, P., 2001,”Tyyppialueiden todennäköisyyslogiikka”, Pelit ja taloudellinen käyttäytyminen, 35: 31–53.
  • Herzig, A. ja Longin, D., 2003,”Modaalista todennäköisyyttä ja uskoa” epävarmuuden perustelujen symbolista ja kvantitatiivista lähestymistapaa käsittelevän seitsemännen eurooppalaisen konferenssin julkaisussa (ECSQARU 2003), TD Nielsen ja NL Zhang (toim.)., Tietojenkäsittelytieteen luennot 2711, Berliini: Springer, s. 62–73.
  • Hoover, DN, 1978,”Todennäköisyyslogiikka”, Annals of Mathematical Logic, 14: 287–313.
  • Howson, C., 2003,”Todennäköisyys ja logiikka”, Journal of Applied Logic, 1: 151–165.
  • –––, 2007, “Logiikka numeroilla”, Synthese, 156: 491–512.
  • –––, 2009, “Voidaanko logiikka yhdistää todennäköisyyteen? Todennäköisesti”, Journal of Applied Logic, 7: 177–187.
  • Ilić-Stepić, Ognjanović, Z., Ikodinović, N., Perović, A., (2012), “A (p) - adic todennäköisyyslogiikka,” Matemaattinen logiikka neljännesvuosittain 58 (4–5): 63–280.
  • Jaynes, ET, 2003, todennäköisyyden teoria: Tieteen logiikka, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Jeffrey, R., 1992, todennäköisyys ja tuomion taidot, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Jonsson, B., Larsen, K., ja Yi, W., 2001 “Prosessialgebran todennäköiset laajennukset”, prosessialgebran käsikirjassa, JA Bergstra, A. Ponse ja SA Smolka (toim.), Amsterdam: Elsevier, s. 685–710.
  • Kavvadias, D. ja Papadimitriou, CH, 1990,”Lineaarinen ohjelmointimenetelmä todennäköisyyden perusteluille”, Matematiikan ja keinotekoisen älykkyyden Annals, 1: 189–205.
  • Keisler, HJ, 1985,”Todennäköisyyskvantifioijat”, julkaisussa Model-Theoretic Logics, J. Barwise ja S. Feferman (toim.), New York, NY: Springer, sivut 509–556.
  • Kooi BP, 2003,”Todennäköinen dynaaminen episteminen logiikka”, Journal of Logic, Language and Information, 12: 381–408.
  • Kraft, CH, Pratt, JW, ja Seidenberg, A., 1959,”Intuitiivinen todennäköisyys äärellisissä sarjoissa”, Annals of Mathematical Statistics, 30: 408–419.
  • Kyburg, HE, 1965,”Todennäköisyys, rationaalisuus ja irrottautumisen sääntö”, vuonna 1964 pidetyn logiikkaa, metodologiaa ja tiedefilosofiaa käsittelevän kansainvälisen kongressin julkaisuissa, Y. Bar-Hillel (toim.), Amsterdam: Pohjois-Hollanti, s. 301–310.
  • –––, 1994,”Epävarmuuslogiikka”, Keinotekoisen älykkyyden ja logiikan ohjelmoinnin logiikan käsikirja, DM Gabbay, CJ Hogger ja JA Robinson (toim.), Oxford: Oxford University Press, s. 397–438.
  • Larsen, K. ja Skou, A., 1991,”Bisimulaatio todennäköisyystestauksen avulla”, Information and Computation, 94: 1–28.
  • Leblanc, H., 1979,”Todennäköinen semantiikka ensimmäisen kertaluvun logiikalle”, Zeitschrift fürhematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 497–509.
  • –––, 1983,”Vaihtoehdot tavalliselle ensimmäisen kertaluvun semantiikalle”, filosofisen logiikan käsikirja, osa I, D. Gabbay ja F. Guenthner (toim.), Dordrecht: Reidel, s. 189–274.
  • Leitgeb, H., 2013,”Uskomuksen yksinkertaistajan vähentäminen uskomusasteisiin”, Annals of Pure and Applied Logic, 164: 1338–1389.
  • –––, 2014,”Uskomuksen vakausteoria”, Philosophical Review, 123: 131–171.
  • –––, 2017, uskomuksen vakaus. Kuinka rationaalinen usko sopii yhteen todennäköisyyden kanssa, Oxford: Oxford University Press.
  • Lewis, D., 1980,”Subjektivistin opas objektiiviseen sattumaan”, induktiivisen logiikan ja todennäköisyyden tutkimuksissa. Osa 2, RC Jeffrey (toimitettu), Berkeley, CA: University of California Press, sivut 263–293; uusittu Philosophical Papers -lehdessä. Osa II, Oxford: Oxford University Press, 1987, sivut 83–113.
  • Lin, H. ja Kelly, KT, 2012a,”Geologinen looginen ratkaisu arpajaisten paradoksiin, soveltaen ehdollista logiikkaa”, Synthese, 186: 531–575.
  • –––, 2012b,”Propositional päättely, joka seuraa todennäköisyyspäätelmiä”, Journal of Philosophical Logic, 41: 957–981.
  • Miller, D., 1966,”Tiedon paradoksi”, British Journal for the Philosophy of Science, 17: 59–61.
  • Morgan, C., 1982a,”Jokaiselle klassisen lauseen logiikan jatkeelle on todennäköistä semantiikkaa”, Journal of Philosophical Logic, 11: 431–442.
  • –––, 1982b,”Yksinkertainen todennäköisyysasemantiikka propositiaalisille K, T, B, S4 ja S5”, Journal of Philosophical Logic, 11: 443–458.
  • –––, 1983,”Todennäköinen semantiikka propozicionaaliselle modaalilogikalle”. julkaisussa Epistemology and Semantics, H. Leblanc, R. Gumb ja R. Stern (toim.), New York, NY: Haven Publications, s. 97–116.
  • Morgan, C. ja Leblanc, H., 1983,”Todennäköinen semantiikka intuitionistiselle logiikalle”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 161–180.
  • Nilsson, N., 1986,”todennäköisyyslogiikka”, tekoäly, 28: 71–87.
  • –––, 1993,”Todennäköistä logiikkaa tarkistettu”, tekoäly, 59: 39–42.
  • Ognjanović, Z. ja Rašković, M., 1999,”Jotkut todennäköisyyslogiikat uudentyyppisillä todennäköisyysoperaattoreilla”, Journal of Logic and Computation 9 (2): 181–195.
  • Ognjanović, Z. ja Rašković, M., 2000,”Jotkut ensimmäisen asteen todennäköisyyslogiikat”, Tietojen teoreettinen tiede 247 (1–2): 191–212.
  • Ognjanović, Z., Rašković, M., ja Marković, Z., 2016, Todennäköisyyslogiikka: epävarmojen perustelujen todennäköisyyspohjainen formalisointi, Springer International Publishing AG.
  • Ognjanović, Z., Perović, A., ja Rašković, M., 2008,”Logics with Qualitative Probability Operator”, IGPL 16 (2): 105–120.
  • Pariisi, JB, 1994, Epävarma syyttäjän seuralainen, Matemaattinen näkökulma, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Parma, A. ja Segala, R., 2007,”Diskreetin todennäköisyysjärjestelmän bisimulaatioiden loogiset karakterisoinnit” ohjelmistotieteen ja laskennallisten rakenteiden perusteita käsittelevän 10. kansainvälisen konferenssin (FOSSACS) julkaisuissa, H. Seidl (toim.), Tietojenkäsittelytieteen luennot 4423, Berliini: Springer, sivut 287–301.
  • Pearl, J., 1991,”Todennäköinen semantiikka nonmonotoniselle päättelylle”, filosofia ja AI: Esseet käyttöliittymässä, R. Cummins ja J. Pollock (toim.), Cambridge, MA: The MIT Press, sivut 157–188.
  • Perović, A., Ognjanović, Z., Rašković, M., Marković, Z., 2008,”todennäköisyyslogiikka polynomisilla painokaavoilla”. Julkaisussa Hartmann, S., Kern-Isberner, G. (toim.) Tietojen ja tietojärjestelmien viidennen kansainvälisen symposium-säätiöiden julkaisut, FoIKS 2008, Pisa, Italia, 11. – 15. Helmikuuta 2008. Lecture Notes in Computer Science, voi. 4932, s. 239–252. Springer.
  • Ramsey, FP, 1926,”Totuus ja todennäköisyys”, Matematiikan ja muiden esseiden perusta, RB Braithwaite (toim.), Lontoo: Routledge ja Kegan Paul, 1931, s. 156–198; uusintapainos tutkimuksissa subjektiivinen todennäköisyys, HE Kyburg, Jr ja HE Smokler (toim.), 2. painos, Malabar, FL: RE Krieger Publishing Company, 1980, s. 23–52; uusintapainos julkaisussa Philosophical Papers, DH Mellor (toim.) Cambridge: Cambridge University Press, 1990, s. 52–94.
  • Reichenbach, H., 1949, todennäköisyyden Theory, Berkeley, CA: University of California Press.
  • Romeijn, J.-W., 2011, “Statistics as Inductive Logic”, tiedefilosofian käsikirjassa. Vol. 7: Tilastotieteen filosofia, P. Bandyopadhyay ja M. Forster (toim.), Amsterdam: Elsevier, sivut 751–774.
  • Scott, D., 1964,”Mittausrakenteet ja lineaariset eriarvoisuudet”, Journal of Mathematical Psychology, 1: 233–247.
  • Segerberg, K., 1971,”Laadullinen todennäköisyys modaaliasennuksissa”, julkaisussa Proceedings 2nd Scandinavian Logic Symposium, E. Fenstad (toim.), Amsterdam: Pohjois-Hollanti, s. 341–352.
  • Shafer, G., 1976, todisteiden matemaattinen teoria, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Suppes, P., 1966,”Todennäköiset päätelmät ja kokonaisnäytön käsite” induktiivisen logiikan näkökohdista, J. Hintikka ja P. Suppes (toim.), Amsterdam: Elsevier, s. 49–65.
  • Szolovits, P. ja Pauker SG, 1978,”Kategorinen ja todennäköinen perustelu lääketieteellisessä diagnoosissa”, tekoäly, 11: 115–144.
  • Tarski, A., 1936, “Wahrscheinlichkeitslehre und mehrwertige Logik”, Erkenntnis, 5: 174–175.
  • Vennekens, J., Denecker, M., ja Bruynooghe, M., 2009, “CP-logiikka: syy-todennäköisyystapahtumien kieli ja sen suhde loogiseen ohjelmointiin”, loogisen ohjelmoinnin teoria ja käytäntö, 9: 245–308.
  • Walley, P., 1991, Tilastollinen päättely epätarkkoilla todennäköisyyksillä, Lontoo: Chapman ja Hall.
  • Williamson, J., 2002, "Todennäköisyyslogiikka", Argumentin ja päätelmän logiikan käsikirja: käännös kohti käytännöllistä, D. Gabbay, R. Johnson, HJ Ohlbach ja J. Woods (toim.), Amsterdam: Elsevier, s. 397–424.
  • Yalcin, S., 2010, “Todennäköisyysoperaattorit”, Philosophy Compass, 5: 916–937.

Akateemiset työkalut

sep mies kuvake
sep mies kuvake
Kuinka mainita tämä merkintä.
sep mies kuvake
sep mies kuvake
Esikatsele tämän tekstin PDF-versio SEP-Ystävien ystävissä.
inpho-kuvake
inpho-kuvake
Katso tätä kirjoitusaihetta Internet Philosophy Ontology Projektista (InPhO).
phil paperit -kuvake
phil paperit -kuvake
Parannettu bibliografia tälle merkinnälle PhilPapersissa, linkkien avulla tietokantaan.

Muut Internet-resurssit

[Ota yhteyttä kirjoittajaan ehdotuksilla.]

Suositeltava: