Epäjohdonmukainen Matematiikka

Sisällysluettelo:

Epäjohdonmukainen Matematiikka
Epäjohdonmukainen Matematiikka

Video: Epäjohdonmukainen Matematiikka

Video: Epäjohdonmukainen Matematiikka
Video: MAA5 kertaus 2024, Maaliskuu
Anonim

Maahantulon navigointi

  • Kilpailun sisältö
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Ystävät PDF-esikatselu
  • Kirjailija- ja viittaustiedot
  • Takaisin alkuun

Epäjohdonmukainen matematiikka

Ensimmäinen julkaisu ti 2. heinäkuuta 1996; aineellinen tarkistus pe 18. elokuuta 2017

Epäjohdonmukainen matematiikka on matemaattisten teorioiden tutkimusta, joka syntyy, kun klassisia matemaattisia aksioomeja vaaditaan (ei-klassisen) logiikan puitteissa, joka voi sietää ristiriitaisuuksia kääntämättä jokaista lausetta lauseeksi.

  • 1. Matematiikan perusteet
  • 2. Aritmeettinen
  • 3. Analyysi
  • 4. Geometrinen epäjohdonmukaisuus
  • 5. Palat ja läpäisevät
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Muut Internet-resurssit
  • Aiheeseen liittyvät merkinnät

1. Matematiikan perusteet

Epäjohdonmukainen matematiikka alkoi historiallisesti perusteellisista näkökohdista. Russellin ja muiden huomauttamat joukko-teoreettiset paradoksidit johtivat yrityksiin tuottaa johdonmukainen joukkototeoria matematiikan perustana. Mutta kuten hyvin tiedetään, asetetut teoriat, kuten ZF, NBG ja vastaavat, olivat eri tavoin ad hoc. Siksi monet ihmiset, mukaan lukien da Costa (1974), Brady (1971, 1989), Priest, Routley ja Norman (1989, s. 152, 498), pitivät luonnollisen ymmärryksen periaatteen täyden vallan säilyttämistä parempana (jokainen predikaatti määrittelee joukon), ja sietää tietty epäjohdonmukaisuus joukkoteoriassa. Erityisesti Brady on laajentanut, virtaviivaistanut ja yksinkertaistanut näitä tuloksia naiivista joukkoteoriasta kirjassaan (2006); selkeän tilin osalta katso myös Restallin katsaus (2007).

Nämä rakenteet vaativat tietysti, että luopuu ainakin loogisesta periaatteesta ex contrahibitione quodlibet (ECQ) (ristiriidasta jokaisesta ehdotuksesta voidaan päätellä, jota kutsutaan myös äskettäin räjähdykseksi) samoin kuin kaikista siihen johtaviin periaatteisiin, kuten disjunktiivinen syllogismi (DS) (A-tai B: stä ja A: n päätelmä B). ECQ vähentää epäjohdonmukaista teoriaa (trivialiteetti = jokainen lause on todistettavissa), mikä tekee siitä hyödyttömän matemaattisessa laskennassa. Mutta huomattava keskustelu (Burgess 1981, Mortensen 1983) teki selväksi, että ECQ: n ja DS: n luopuminen ei ollut niin vastenmielistä, etenkin kun syntyi uskottava tarina erityisolosuhteista, joissa he jatkavat.

On myös syytä huomata, että Bradyn naiivin joukkoteorian rakentaminen avaa oven Frege-Russell-logiikan herättämiseen, jonka Russellin paradoksi oli vahingoittanut pahasti jopa Frege itse. Jos Russell-ristiriita ei leviä, niin ei ole mitään selvää syytä, miksi ei pidä katsoa, että naiivi joukkoteoria tarjoaa riittävän perustan matematiikalle ja että naiivi joukkoteoria on johdettavissa logiikasta naiivin ymmärtämisohjelman kautta. Ainoa tarvittava muutos on siirtyminen epäjohdonmukaisuuteen suvaitsevaan logiikkaan. Vielä radikaalimmin Weber on asiaan liittyvissä lehdissä (2010), (2012) ottanut epäjohdonmukaisuuden positiiviseksi hyveeksi, koska se antaa meille mahdollisuuden ratkaista useita kysymyksiä, jotka Cantor oli jättänyt avoimeksi, nimittäin että hyvin järjestävä lause ja valitut aksioomat ovat todistettavissa,ja että jatkuvuushypoteesi on väärä (2012, 284). Jotkut näistä ilmestyvät todistettavasti sekä totta että väärin; jossa Weber pyrkii esittämään todisteita klassisesta uudelleenkiinnityksestä, mikä on hanke osoittaa, että perinteiset tulokset pysyvät totta (2010, 72). Tämä on virkistävä uusi perusta. Weber osoitti myös jotain olennaista tässä hankkeessa, nimittäin sitä, että Cantorin lause jatkuu; toisin sanoen, se ei ole riippuvainen liian voimakkaista loogisista periaatteista, jotka parakonsistentit kiistävät. Cantorin lauseen säilyttäminen on Weberin mielestä tärkeätä, koska erilaisia äärettömyysluokkia on edelleen käytettävissä epäjohdonmukaisessa joukkoteoriassa.mikä on hanke osoittaa, että perinteiset tulokset pysyvät totta (2010, 72). Tämä on virkistävä uusi perusta. Weber osoitti myös jotain olennaista tässä hankkeessa, nimittäin sitä, että Cantorin lause jatkuu; toisin sanoen, se ei ole riippuvainen liian voimakkaista loogisista periaatteista, jotka parakonsistentit kiistävät. Cantorin lauseen säilyttäminen on Weberin mielestä tärkeätä, koska erilaisia äärettömyysluokkia on edelleen käytettävissä epäjohdonmukaisessa joukkoteoriassa.mikä on hanke osoittaa, että perinteiset tulokset pysyvät totta (2010, 72). Tämä on virkistävä uusi perusta. Weber osoitti myös jotain olennaista tässä hankkeessa, nimittäin sitä, että Cantorin lause jatkuu; toisin sanoen, se ei ole riippuvainen liian voimakkaista loogisista periaatteista, jotka parakonsistentit kiistävät. Cantorin lauseen säilyttäminen on Weberin mielestä tärkeätä, koska erilaisia äärettömyysluokkia on edelleen käytettävissä epäjohdonmukaisessa joukkoteoriassa.koska erilaisia äärettömyysluokkia on edelleen saatavana epäjohdonmukaisessa joukkoteoriassa.koska erilaisia äärettömyysluokkia on edelleen saatavana epäjohdonmukaisessa joukkoteoriassa.

Lisäksi matematiikalla on metakieli puhuakseen itse matematiikasta. Tämä sisältää käsitteet: (i) matemaattisten lauseiden nimet ja muut syntaksin osat, (ii) itseviittaukset, (iii) todisteet ja (iv) totuudet. Gödelin panos matematiikan filosofiaan oli osoittaa, että kolme ensimmäistä niistä voidaan ilmaista tarkasti aritmeettisissa teorioissa, vaikkakin teorioissa, jotka ovat joko epäjohdonmukaisia tai epätäydellisiä. Mahdollisuutta saada hyvin jäsennelty esimerkki entisestä näistä kahdesta vaihtoehdosta, epäjohdonmukaisuudesta, ei otettu vakavasti, jälleen kerran uskomuksen vuoksi ECQ: hon. Luonnollisilla kielillä näyttää kuitenkin olevan myös oma totuuden perustana. Yhdistettynä itseviittaukseen tämä tuottaa valehtelijaparadoksin, "Tämä lause on väärä", epäjohdonmukaisuuden. Priest (1987) ja Priest, Routley ja Norman (1989, p.154) väitti, että valehtelijaa on pidettävä sekä oikeana että vääränä lausumana, todellinen ristiriita. Tämä on toinen argumentti epäjohdonmukaisten teorioiden tutkimiseksi, nimittäin väite, että jotkut ristiriidat ovat totta, tunnetaan myös dialetheismina. Kripke (1975) ehdotti sen sijaan, että mallinee totuuden ennusteen eri tavalla, johdonmukaisessa epätäydellisessä teoriassa. Alla näemme, että epätäydellisyys ja epäjohdonmukaisuus liittyvät läheisesti toisiinsa.

2. Aritmeettinen

Mutta nämä huomautukset ovat olleet perusteista, eikä matematiikka ole sen perusta. Tästä syystä on olemassa toinen itsenäinen motiivi nähdä, mikä matemaattinen rakenne pysyy, aina kun johdonmukaisuuden rajoitus lievitetään. Mutta olisi väärin pitää tätä millään tavalla klassisessa matematiikassa tutkittujen rakenteiden hylkäämisenä: epäjohdonmukaiset rakenteet edustavat lisäystä tunnettuihin rakenteisiin.

Robert K. Meyer (1976) näyttää olevan ensimmäinen ajatellut epäjohdonmukaista aritmeettista teoriaa. Tässä vaiheessa häntä kiinnosti enemmän johdonmukaisen teorian kohtalo, hänen aritmeettinen R #. Tämä vastaa Peano-aritmeettisen yksikön aksioomeja, joiden perustana on määrällisesti määritetty logiikka RQ, ja Meyer toivoi, että asiaankuuluvan logiikan heikompi perusta mahdollistaisi useamman mallin. Hänellä oli oikeus. On osoittautunut koko luokka epäjohdonmukaisia aritmeettisia teorioita; katso esimerkiksi Meyer ja Mortensen (1984). Samanaikaisesti yllä esitettyjen logiikan kuntouttamista koskevien huomautusten kanssa Meyer väitti, että nämä aritmeettiset teoriat tarjoavat perustan uusitulle Hilbert-ohjelmalle. Hilbertin ohjelma oli matematiikan tiukasti virallistaminen ja sen johdonmukaisuuden todistaminen yksinkertaisilla lopullisilla / induktiivisilla menettelyillä. Sitä pidettiin laajalti vahingoittuneena Gödelin toisessa epätäydellisyyttä koskevassa lauseessa, jonka mukaan aritmeettisen johdonmukaisuus oli mahdoton todistaa itse aritmeettisessa sisällä. Mutta seuraus Meyerin rakentamisesta oli, että hänen aritmeettisen R #: n sisällä se oli todistettavissa lopullisilla keinoilla, että riippumatta siitä, mitä ristiriitaisuuksia voi tapahtua, ne eivät voineet vaikuttaa haitallisesti numeerisiin laskelmiin. Tästä syystä Hilbertin tavoite osoittaa lopullisesti, että matematiikka on ongelmatonta, osoittautuu suurelta osin saavutettavaksi, kunhan käytetään epäjohdonmukaisuutta sietävää logiikkaa. Mutta seuraus Meyerin rakentamisesta oli, että hänen aritmeettisen R #: n sisällä se oli todistettavissa lopullisilla keinoilla, että riippumatta siitä, mitä ristiriitaisuuksia voi tapahtua, ne eivät voineet vaikuttaa haitallisesti numeerisiin laskelmiin. Tästä syystä Hilbertin tavoite osoittaa lopullisesti, että matematiikka on ongelmatonta, osoittautuu suurelta osin saavutettavaksi, kunhan käytetään epäjohdonmukaisuutta sietävää logiikkaa. Mutta seuraus Meyerin rakentamisesta oli, että hänen aritmeettisen R #: n sisällä se oli todistettavissa lopullisilla keinoilla, että riippumatta siitä, mitä ristiriitaisuuksia voi tapahtua, ne eivät voineet vaikuttaa haitallisesti numeerisiin laskelmiin. Tästä syystä Hilbertin tavoite osoittaa lopullisesti, että matematiikka on ongelmatonta, osoittautuu suurelta osin saavutettavaksi, kunhan käytetään epäjohdonmukaisuutta sietävää logiikkaa.

Meyerin ja Mortensenin käyttämät aritmeettiset mallit osoittivat myöhemmin mahdollistavan totuuden ennusteen epäjohdonmukaisen esittämisen. Ne sallivat myös sellaisten rakenteiden esittämisen, jotka ylittävät luonnollisen lukuaritmeettisen arvon, kuten renkaat ja kentät, mukaan lukien niiden järjestysominaisuudet. Axiomatisaatioita järjestettiin myös. Äskettäin Graham Priest on karakterisoinut äärelliset epäjohdonmukaiset aritmeettiset romahtamismallit, jotka ovat ehdottomasti suurempi luokka kuin Meyerin ja Mortensenin tutkimat mallit. Kutistamismallit saadaan klassisista malleista kutistamalla alue alas kongruenssiluokkiin, jotka luodaan erilaisten kongruenssisuhteiden avulla. Kun tunnistetaan saman kongruenssiluokan jäsenet, tuotetut teoriat ovat epäjohdonmukaisia. Esimerkiksi Meyerin alkuperäinen rakenne romahti kokonaisluvut kongruenssimoduulin 2 alla. Tämä asettaa 0 ja 2 samaan kongruenssiluokkaan ja sopivassa kolmiarvoisessa logiikassa sekä 0 = 2 että pidättämättä (0 = 2). Pappi osoitti, että näillä malleilla on tietty yleinen muoto, katso Priest (1997) ja (2000). Tarkkaan ottaen, Pappi meni hiukan liian pitkälle sisällyttämällä”klikkimalleja”. Pariisi ja Pathmanathan (2006) oikaisivat tämän, ja Pariisi ja Sirokfskich (2008) laajensivat siihen ääretön. Vielä äskettäin Tedder (2015) sai aksiomaatiot äärellisille romahdusmalleille, joilla on erilainen taustalogiikka, Avronin A3.ja laajensivat äärettömään Pariisin ja Sirokfskichin (2008) toimesta. Vielä äskettäin Tedder (2015) sai aksiomaatiot äärellisille romahdusmalleille, joilla on erilainen taustalogiikka, Avronin A3.ja laajensivat äärettömään Pariisin ja Sirokfskichin (2008) toimesta. Vielä äskettäin Tedder (2015) sai aksiomaatiot äärellisille romahdusmalleille, joilla on erilainen taustalogiikka, Avronin A3.

3. Analyysi

Tuskin voitaisi sivuuttaa esimerkkejä analyysistä ja sen erikoistapauksesta, laskuista. Malliteoreettisen lähestymistavan suhteen näihin katso Mortensen (1990, 1995)

Nyt Meyerin alkuperäinen lähestymistapa luonnollisiin numeroihin, toisin sanoen R #, oli pikemminkin axiomaattinen kuin malliteoreettinen. Aksioomaattista lähestymistapaa on tarkasteltu myös McKubre-Jordens ja Weber (2012). Aksomatisoimalla analyysi parakonsistenssin logiikan perusteella, heidän työnsä työntää Meyerin lähestymistapaa aritmeettiseen R #: n kautta pitkälle kauemmaksi. Nämä samat kirjailijat (tulevat) muuntavat integraatioteorian sellaisena kuin se oli Archimedesin käsissä, jossa käytetään uupumismenetelmää parakonsistensseilla päättelyillä. Tämä antaa tuloksen “jopa epäjohdonmukaisuuteen”, mikä tarkoittaa, että pystytään todistamaan”klassisen tuloksen tai ristiriitaisuuden”. Klassisen tuloksen voidaan sitten katsoa olevan saavutettavissa klassisen väärässä (epäjohdonmukaisessa) toisessa disjunktiossa sovelletun klassisen liikkeen disjunktiivisen sylogismin avulla.

On ehdottomasti tärkeätä ja arvoista jatkaa tätä suuntaa, mutta tähän suhtaudutaan lievästi varoen: aksomaatinen projekti eroaa hiukan epäjohdonmukaisesta matematiikasta. Kuten aiemmin todettiin, Meyer oli tässä vaiheessa johdonmukainen - hän haki johdonmukaista teoriaa epäjohdonmukaisuutta sietävällä logiikalla. Samanlaisella motivaatiolla hän yritti myös ratkaista sen, mitä hän kutsui “gamma-ongelmaksi”, mikä oli pohjimmiltaan kysymys siitä, voisiko axiomaattisen teorian R # osoittaa sisältävän klassisen Peano-aritmeettisen alateorian. Jos tämä olisi niin, hänen todisteensa ei-trialiaalisuudesta R #: lle antaisi heti uuden todisteen klassisen Peano-aritmeettisen negatiivin johdonmukaisuudesta! Huomaa, että tämä ei olisi Godelin toisen lauseen vastaista, koska oletettavasti gammatuloksen todistaminen ei rajoitu pelkästään lopputekniikoihin.(Meyerin teoriassa osoittautui, että ei ole niin.)

Analyysissä on osoittautunut monia paikkoja, joissa on selkeitä epäjohdonmukaisia käsityksiä. Tämän osan loput esimerkit on piirretty julkaisusta Mortensen (1995). Esimerkiksi: (1) Robinsonin (1974) epästandardianalyysi perustui äärettömiinimpeleihin, määriä pienempiä kuin mikä tahansa reaaliluku, samoin kuin niiden vastavuoroisiin arvoihin, äärettömiin lukuihin. Tällä versiolla on epäjohdonmukainen versio, jolla on joitain etuja laskennassa, koska se pystyy hylkäämään korkeamman asteen infiniittisimmit. Mielenkiintoista on, että erilaistumisteorialla osoittautui olevan näitä etuja, kun taas integraatioteorialla ei ollut. Da Costa (2000) sai samanlaisen tuloksen käyttämällä erilaista taustalogiikkaa. (2) Toinen paikka löytää epäjohdonmukaisuuksia sovelluksissa analyysissa on topologia,jossa voidaan helposti havaita tilojen leikkaamisen ja liittämisen kuvaus, joka kuvataan rajan "tunnistamiseksi" toiseen. Voidaan osoittaa, että tämä voidaan kuvata epäjohdonmukaisessa teoriassa, jossa molemmat rajat ovat molemmat identtiset eivätkä identtiset, ja voidaan edelleen väittää, että tämä on käytännöllisimpi kuvaus. (3) Vielä yksi sovellus on luokka epäjohdonmukaisia jatkuvia toimintoja. Kaikissa toiminnoissa, jotka ovat klassisesti epäjatkuvia, ei voida soveltaa epäjohdonmukaista kohtelua; mutta jotkut ovat esimerkiksi f (x) = 0 kaikille x <0 ja f (x) = 1 kaikille x ≥0. Epäjohdonmukainen jatke korvaa ensimmäisen <≤: lla, ja sillä on erottuvat rakenteelliset ominaisuudet. Nämä epäjohdonmukaiset toiminnot voivat hyvinkin olla sovellutena dynaamisissa järjestelmissä, joissa esiintyy epäjatkuvia hyppyjä,kuten kvantimittausjärjestelmät. Tällaisten funktioiden erottaminen johtaa deltafunktioihin, joita Dirac soveltaa kvantimittauksen tutkimukseen. (4) Seuraavaksi on tunnettu tapaus epäjohdonmukaisista lineaaristen yhtälöiden järjestelmistä, kuten järjestelmä (i) x + y = 1 plus (ii) x + y = 2. Tällaisia järjestelmiä voi mahdollisesti syntyä automatisoidun ohjauksen yhteydessä. Klassisesti on tehty vähän työtä tällaisten järjestelmien ratkaisemiseksi, mutta voidaan osoittaa, että epäjohdonmukaisissa vektoritiloissa on hyvin käyttäytyviä ratkaisuja. (5) Lopuksi voidaan huomata lisäsovellus topologiassa ja dynamiikassa. Kun otetaan huomioon olettamus, joka vaikuttaa olevan mahdollinen, nimittäin se, että mikä tapahtuu tai on totta, tapahtuu tai on totta avoimessa (avaruusaika) pisteiden sarjassa, on todettava, että dynaamisesti mahdollisten polkujen logiikka on avointa logiikkaa, ts. Intuitionistia logiikka,joka tukee epätäydellisiä teorioita par excellence. Tämä johtuu siitä, että ehdotuksen kieltäytyminen luonnollisessa selvityksessä sanoo, että se pitää suurimman avoimen joukon, joka sisältyy Boolen komplementtiin niiden pisteiden joukosta, joissa alkuperäinen ehdotus pidettiin, joka on yleensä pienempi kuin Boolen täydentää. Topologisen tilan määritteleminen sen suljettujen joukkojen avulla on kuitenkin aivan yhtä järkevää kuin sen määritteleminen avoimilla ryhmillään. Silti suljettujen sarjojen logiikan tiedetään olevan parakonsistentti, ts. tukee epäjohdonmukaisia ei-triviaalisia teorioita; katso esimerkiksi Goodman (1981). Siksi ottaen huomioon (vaihtoehtoinen) oletus, joka myös näyttää ajateltavalta, nimittäin siitä, että mikä on totta, pitää paikkansa suljetussa pistepisteessä, epäjohdonmukaisten teorioiden voi hyvinkin olla. Tämä johtuu siitä, että ehdotuksen kieltäytyminen on luonnollista,nimittäin se, että se pysyy pienimmässä suljetussa joukossa, joka sisältää ehdotuksen Boolen kiellon, tarkoittaa, että päällekkäisellä rajalla sekä ehdotus että sen kieltäytymispito pidetään. Siksi dynaamiset teoriat määrittävät oman mahdollisten ehdotusten logiikan ja vastaavat teoriat, jotka voivat olla epäjohdonmukaisia ja jotka ovat varmasti yhtä luonnollisia kuin epätäydelliset vastineensa.

Mortensen (2003, 2010) suljetusta logiikasta ja rajoista luonnollisina puitteina ristiriitaisille teorioille. Weber ja Cotnoir (2015) tutkivat myös rajojen epäjohdonmukaisuutta, joka johtuu kolmen periaatteen yhteensopimattomuudesta (i) on rajat, (ii) tila on topologisesti yhteydessä ja (iii) erilliset yksiköt voivat olla yhteydessä (ts. Ei niiden välinen tila). Tämä on erittäin mielenkiintoinen ongelma, koska kaikki kolme ovat uskottavia; etenkin maailmassa näyttää olevan rajoja. Alun perin yllättävä piirre tässä tilissä on, että rajat tulevat ulos “tyhjinä”; loppujen lopuksi nollat entiteetit ovat vastoin mereologian henkeä. Mutta tämä ei ole niin järkyttävää, kun osoittautuu, että ne ovat tyhjiä vain siinä mielessä, että heillä on jäseniä epäjohdonmukaisesti.

Luokkateoria heijastaa monia matemaattisia rakenteita. Sitä on ehdottomasti ehdotettu vaihtoehtona matematiikalle. Tällainen yleisyys johtaa väistämättä samanlaisiin ongelmiin kuin ymmärrettävyys asetetussa teoriassa; katso esimerkiksi Hatcher 1982 (s. 255–260). Siksi epäjohdonmukaisten ratkaisujen käyttö on mahdollista samalla tavalla. Siellä on myös tärkeä luokittelurakenteiden kokoelma, toposit, jotka tukevat avointa joukkologiikkaa samalla rinnalla tapaan, jolla joukot tukevat Boolen logiikkaa. Monet ovat pitäneet tätä matemaattisen intuitionismin perustavanlaatuisen näkökulman oikeuttamisena. Voidaan kuitenkin osoittaa, että tämä asettaa tuetun suljetun logiikan tukemaan yhtä helposti kuin ne tukevat avoimen joukon logiikkaa, toistaiseksi ainoa luokanteoreettinen semantiikka parakonsistenssille logiikalle. Tätä ei pidä kuitenkaan pitää vastalauseena intuitionismille, samoin kuin väitteelle, jonka mukaan epäjohdonmukaiset teoriat ovat yhtä järkeviä kuin matemaattisen tutkimuksen kohteet. Katso Mortensen (1995 luku 11, avustaja Lavers). Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b) on nyt ottanut tämän kannan, laajentanut ja puolustanut sitä asiallisesti. Sama kirjoittaja (2016) sitoutuu toimittamaan triviaaliteorioiden kategoriateoreettisen kuvauksen tarkoituksenaan osoittaa, että trivialiteetti ei ole niin mielenkiintoinen ominaisuus, jolla matemaattisilla teorioilla on. Nykyinen kirjoittaja ei ole vakuuttunut, koska triviaalinen teoria on varmasti hyödytön matemaattisessa laskelmassa; mutta väitteiden kekseliäisyys on myönnettävä.yhteiskirjailija Lavers). Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b) on nyt ottanut tämän kannan, laajentanut ja puolustanut sitä asiallisesti. Sama kirjoittaja (2016) sitoutuu toimittamaan triviaaliteorioiden kategoriateoreettisen kuvauksen tarkoituksenaan osoittaa, että trivialiteetti ei ole niin mielenkiintoinen ominaisuus, jolla matemaattisilla teorioilla on. Nykyinen kirjoittaja ei ole vakuuttunut, koska triviaalinen teoria on varmasti hyödytön matemaattisessa laskelmassa; mutta väitteiden kekseliäisyys on myönnettävä.yhteiskirjailija Lavers). Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b) on nyt ottanut tämän kannan, laajentanut ja puolustanut sitä asiallisesti. Sama kirjoittaja (2016) sitoutuu toimittamaan triviaaliteorioiden kategoriateoreettisen kuvauksen tarkoituksenaan osoittaa, että trivialiteetti ei ole niin mielenkiintoinen ominaisuus, jolla matemaattisilla teorioilla on. Nykyinen kirjoittaja ei ole vakuuttunut, koska triviaalinen teoria on varmasti hyödytön matemaattisessa laskelmassa; mutta väitteiden kekseliäisyys on myönnettävä. Nykyinen kirjoittaja ei ole vakuuttunut, koska triviaalinen teoria on varmasti hyödytön matemaattisessa laskelmassa; mutta väitteiden kekseliäisyys on myönnettävä. Nykyinen kirjoittaja ei ole vakuuttunut, koska triviaalinen teoria on varmasti hyödytön matemaattisessa laskelmassa; mutta väitteiden kekseliäisyys on myönnettävä.

Kaksinaisuudella puutteellisuuden / intuitionismin ja epäjohdonmukaisuuden / parakonsekvenssin välillä on ainakin kaksi näkökohtaa. Ensin on yllä oleva topologinen (avoin / suljettu) kaksinaisuus. Toinen on Routley * kaksinaisuus. Lausejoukon S Routley-tähti * määritellään seuraavasti: S * = df {A: ~ A ei ole kirjassa S}. Routleysin (1972) löytämä merkityksellisen logiikan semanttisena työkaluna * * -operaatio kaksinkertaistuu epämääräisten ja epätäydellisten teorioiden välillä de Morgan -logiikan suuressa luonnollisessa luokassa. Kummankin tyyppiset dualiteetit ovat myös vuorovaikutuksessa, jolloin * antaa erottuvat dualiteetti- ja invarianssiteoreet avoimille ja suljetuille joukkoille aritmeettisiin teorioihin. Näiden tulosten perusteella on kohtuullista väittää, että molemmat matematiikat, intuitionistiset ja parakonsistentit, ovat yhtä kohtuullisia.

4. Geometrinen epäjohdonmukaisuus

Aivan viimeaikainen kehitys on sovellus epäjohdonmukaisten kuvien ilmiön selittämiseen. Tunnetuimpia näistä ovat ehkä MC Escherin mestariteokset Belvedere, Waterfall sekä Nouseva ja Laskeva. Itse asiassa perinne juontaa juurensa vuosituhansia Pompeiin. Escher näyttää olevan johdettu monista intuitioistaan ruotsalaiselta taiteilijalta Oscar Reutersvärdiltä, joka aloitti epäjohdonmukaisen teoksensa vuonna 1934. Escher teki myös aktiivista yhteistyötä englantilaisen matemaatikon Roger Penrose: n kanssa. Teoreetikot, kuten Cowan, Francis ja Penrose, ovat yrittäneet kuvata epäjohdonmukaisten kuvien matemaattista rakennetta käyttämällä klassista johdonmukaista matematiikkaa. Kuten julkaisussa Mortensen (1997) väitetään, mikään johdonmukainen matemaattinen teoria ei kuitenkaan voi vangita sitä tunnetta, että näkee mahdotonta. Vain epäjohdonmukainen teoria voi vangita kyseisen käsityksen sisällön. Tämä merkitsee vetoomusta parakonsistenssin kognitiiviseen perusteluun. Tämän jälkeen voidaan näyttää epäjohdonmukaisia teorioita, jotka ehdottavat tällaista epäjohdonmukaista sisältöä. Tässä suhteessa on analogia klassisen matematiikan kanssa: projektiivinen geometria on klassinen johdonmukainen matemaattinen teoria, joka on mielenkiintoinen, koska olemme silmällä olevia olentoja, koska se selittää, miksi asiat näyttävät siltä kuin ne tekevät perspektiivistä. Projektiivinen geometria on klassinen johdonmukainen matemaattinen teoria, joka on mielenkiintoinen, koska olemme olennolla silmällä, koska se selittää miksi asiat näyttävät siltä kuin ne tekevät perspektiivistä. Projektiivinen geometria on klassinen johdonmukainen matemaattinen teoria, joka on mielenkiintoinen, koska olemme olennolla silmällä, koska se selittää miksi asiat näyttävät siltä kuin ne tekevät perspektiivistä.

Epäjohdonmukaisia geometrisia tutkimuksia kehitetään edelleen Mortensenissä (2002a), jossa luokkateoriaa käytetään antamaan yleinen kuvaus eri teorioiden välisistä suhteista sekä niiden yhdenmukaisista raja-arvoista ja epätäydellisistä duvuista. Mortensen (2002b), joka käsittelee epävirallista kertomusta, joka tuo esiin visuaalisten “paradoksien” ja kielen filosofisesti yleisempien paradoksien, kuten valehtelijan, välisen eron.

Viime aikoina useille epäjohdonmukaisten hahmojen luokille on saatu epäjohdonmukaisia matemaattisia kuvauksia, esimerkiksi Escher's Cube (löydetty hänen painostaan Belvedere), Reutersvärd-Penrose -kolmion ym. Katso Mortensen (2010).

5. Palat ja läpäisevät

Viime aikoina on syntynyt vaihtoehtoinen tekniikka ristiriitojen käsittelemiseksi. Brown ja Priest (2004) ovat ehdottaneet tekniikkaa, jota he kutsuvat”paksuksi ja läpäiseväksi”, jossa päättely epäjohdonmukaisista lähtökohdista etenee jakamalla oletukset johdonmukaisiksi teorioiksi (paloiksi), johtamalla sopiviin seurauksiin ja siirtämällä (läpäisemään) nämä seuraukset toiseen palaa, jotta voidaan johtaa muihin seurauksiin. He viittaavat siihen, että Newtonin alkuperäinen päätelmä johdannaisten ottamisessa laskussa oli tässä muodossa. Tämä on mielenkiintoinen ja uusi lähestymistapa, vaikka sen on vastattava väitteeseen, jonka mukaan tällä perusteella saadun johtopäätöksen uskomiseksi kaikkien uskovien tulisi uskoa yhtäläisesti; ja niinpä lopulta pitäisi tulla esiin argumentti yleisemmästä muodosta, joka vetoaa kaikkiin oletuksiin hajottamatta niitä. Tästä syystä väitetään, että Chunk ja Permeate ovat pikemminkin löytön kuin perustelun kontekstissa.

Äskettäin Benham et. ai. (2014) ovat laajentaneet näitä menetelmiä Dirac-delta-funktioon. Tämä laajentaa sovellusluokkaa ja vahvistaa siten tekniikkaa. Kuitenkin myös siellä käy selväksi, että paksu ja permeaatti -sovellusten (yhden suuren luokan) ja (johdonmukaisen) epästandardianalyysin välillä on läheinen rinnakkainen: paikassa, jossa paksu ja permeaatti ottaa johdannaisen siirtämällä palat sellaiseen, jossa äärettömät ovat nolla, epästandardi analyysi vie johdannaisen määrittelemällä johdannaiset 'vain vakioosiksi'. Tietenkin näiden kahden tekniikan välinen vastaavuus ei osoita, mikä on selvästi syvempää. Kehitystä on odotettava mielenkiinnolla.

6. Päätelmät

Yhteenvetona: viime aikoina on ilmestynyt melko vähän filosofista materiaalia, mikä on sympatiaa epäjohdonmukaisen matematiikan syystä. Colyvan (2000) käsittelee kysymystä, jonka mukaan epäjohdonmukaiset matemaattiset teoriat tarkoittavat epäjohdonmukaisia matemaattisia objekteja niiden aiheena. Hän ottaa myös tärkeän tehtävän tarjota selvityksen siitä, kuinka epäjohdonmukaisella matematiikalla voi olla haara, joka on sovellettu matematiikka. Priest (2013), kuten Colyvan, toteaa, että epäjohdonmukainen matematiikka lisää platonistien yhdistelmää. Berto (2007) tarkastelee hyödyllisesti paradokseja ja peruskysymyksiä ja esittää joitain aritmeettisista tuloksista, jotka liittyvät tärkeisiin filosofisiin kysymyksiin, kuten epätäydellisyyslauseet. Van Bendegem (2014) pyrkii mielenkiintoiseen motivaatioon, jonka mukaan muutos on aina poikkeavuustila, joten muuttuminen merkitsee aina poikkeavaa. Esimerkkeihin sisältyy äärettömiä symboleja, kompleksilukuja ja äärettömyyttä. Ole varovainen ajatellessasi, että epäjohdonmukaisuus on aina poikkeavaa, joskin vain siksi, että se on yksinkertaisesti matemaattisempien opintojen materiaalia.

On jälleen korostettava, että nämä rakenteet eivät millään tavalla haasta tai hylkää olemassa olevaa matematiikkaa, vaan pikemminkin laajentavat käsitystämme siitä, mikä on matemaattisesti mahdollista. Tämä puolestaan terävöittää matemaattista moniarvoisuutta; katso esimerkiksi Davies (2005), Hellman ja Bell (2006) tai Priest (2013). Eri kirjoittajilla on erilaisia versioita matemaattisesta moniarvoisuudesta, mutta se on jotain linjassa sitä, että yhteensopimattomat matemaattiset teoriat voivat olla yhtä totta. Matemaattisen moniarvoisuuden tapaus perustuu havaintoon, että on olemassa erilaisia matemaattisia “universumeja”, joissa on erilaisia, todellakin yhteensopimattomia, matemaattisia lauseita tai lakeja. Tunnettuja esimerkkejä ovat klassisen matematiikan ja intuitionistisen matematiikan yhteensopimattomuus ja ZF: n kaltaisten joukkojen yhteensopimattomuus sarjojen kanssa, tai ilman,valinnan aksioma. Vaikuttaa järjetömältä väittää, että ZF with Choice on totta matematiikka ja ZF ilman Choice on väärä matematiikka, jos ne molemmat ovat laillisia esimerkkejä matemaattisesti hyvin käyttäytyvistä teorioista.

Matematiikan filosofian ensisijainen kysymys on varmasti mikä on matematiikka. Kaksinaisuusoperaatiot, kuten topologinen kaksinaisuus tai Routley *, vahvistavat sitä, että epätäydelliset / epäjohdonmukaiset dualit ovat yhtä järkeviä kuin esimerkkejä matematiikasta. Tästä näkökulmasta kiistat siitä, minkä intuitionistisen tai klassisen tai epäjohdonmukaisen matematiikan hyväksytään, vaikuttavat turhalta; ne kaikki ovat osa matematiikan aihetta. Shapiro huomauttaa tämän tosiasiallisesti (2014, toisin kuin hänen 2002). Shapiron erottuvassa asemassa on muita aineosia: matematiikka rakennetieteenä ja matemaattinen pluralismi, joka viittaa loogiseen moniarvoisuuteen (loogisesta moniarvoisuudesta katso myös Beall ja Restall 2006); mutta emme ota näitä täällä.

Sillä mitä se on arvoinen, nykyisen kirjoittajan mielestä jokin matemaattisen moniarvoisuuden versio on tietysti totta, jos ajatellaan matematiikan ensinnäkin matemaattisista teorioista, jotka sallivat epäjohdonmukaisuuden, ja toiseksi, kyseisten teorioiden sisäisistä esineistä. Yhteensopimattomissa teorioissa ei tietenkään ole mitään ongelmaa, koska ehdotusten rakenteet ovat olemassa samanaikaisesti. Teorioiden ensisijaisuus sopii myös siihen luonnolliseen havaintoon, että matematiikan epistemologia on deduktiivista todistetta. Ainoastaan jos lähtökohtana on matemaattisen objektin kuin teorioiden totuudenmuodostaja, on huolehdittava siitä, kuinka heidän objektinsa onnistuvat rinnakkaiselossa.

bibliografia

  • Beall, JC ja G. Restall, 2006, looginen moniarvoisuus, Oxford: The Clarendon Press.
  • Benham, R., C. Mortensen ja G. Priest, 2014, “Paksu ja permeaatti III: Dirac-deltafunktio”, Synthese, 191 (13): 3057-3062. doi: 10.1007 / s11229-014-0473-7
  • Berto, F., 2007, Miten myydä ristiriita, Lontoo: College Publications.
  • Brady, R., 1971,”Abstraktin ja ekstensiivisuuden aksiomien johdonmukaisuus kolmenarvoisessa logiikassa”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 12: 447–453.
  • –––, 1989,”Dialektisen ryhmäteorian epätriviaalisuus”, julkaisussa G. Priest, R. Routley ja J. Norman (toim.), Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag.
  • –––, 2006, Universal Logic, Stanford: CSLI-julkaisut.
  • Brown, B. ja G. Priest, 2004,”Paksu ja läpäisevä: parakonsistentti päätelmästrategia. Osa I: Äärettömän pieni laskelma”, Journal of Philosophical Logic, 33: 379–388.
  • Burgess, J., 1981,”Relevanssi, virheellisyys?”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 22: 97–104.
  • Colyvan, M., 2000,”Epäjohdonmukaisen matematiikan soveltaminen”, New Waves in the matematiikan filosofia, O. Bueno ja O. Limmbo (toim.), Lontoo: Palgrave McMillan, 160-172.
  • Da Costa, Newton, CA, 1974,”Epäjohdonmukaisten muodollisten järjestelmien teoriasta”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 15: 497–510.
  • –––, 2000,”Paraconsistent Mathematics”, julkaisussa D. Batens et al. (toim.), Paraconsistent Logic Frontiers, Hertfordshire: Research Studies Press, 165–180.
  • Davies, EB, 2005 “Matemaattisen pluralismin puolustus”, Philosophia Mathematica, 13: 252–276.
  • Estrada-Gonzales, L., 2010,”Complement-Topoi and Dual Intuitionistic Logic”, Australasian Journal of Logic, 9: 26–44.
  • –––, 2015a,”Paha kaksois: täydentämisen tarkoitukset”, Beziau, Chakraborty ja Dutta (toim.), Uudet ohjeet paraconsistentissä logiikassa, Dordrecht: Springer: 375-425.
  • –––, 2015b,”(parakonsistentista) topos-logiikasta universaaliseen (topos) logiikkaan”, Koslow ja Buchsbaum (toim.), Tie universaaliseen logiikkaan: Festschrift Jean-Yves Beziauolle hänen 50-vuotispäivänä, Dordrecht: Springer, 263 - 295.
  • –––, 2016, “Triviality Prospects for Triviality”, julkaisuissa H. Andreas ja P. Verdee (toim.), Paraconsistentin päättelyn loogiset tutkimukset luonnossa ja matematiikassa, Dordrecht: Springer, 81-89.
  • Goodman, N., 1981,”Ristiriitojen logiikka”, Zeitschrift fur Mathematische Logic und Grundlagen der Arithmetik, 27: 119–126.
  • Hatcher, WS, 1982, Matematiikan loogiset perusteet, Oxford: Pergamon.
  • Hellman, G. ja J. Bell, 2006,”Moniarvoisuus ja matematiikan perusteet”, julkaisussa CK Waters et ai. (toim.), Tieteellinen moniarvoisuus (Minnesota-tutkimukset tieteen filosofiassa, osa XIX), Minneapolis: University of Minnesota Press.
  • Kripke, S., 1975,”Totuuden teorian kuvaus”, The Journal of Philosophy, 72: 690–716.
  • McKubre-Jordens, M., ja Zach Weber, 2012, “Oikea analyysi ja parakonsistentti logiikka”, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922.
  • –––, tuleva,”Ympyrän parakonsistentti mittaus: kutsu epäjohdonmukaiseen matematiikkaan”, Australasian Journal of Logic.
  • Meyer, RK, 1976,”Relevant Aritmetic”, Puolan tiedeakatemian logiikan osastotiedote, 5: 133–137.
  • Meyer, RK ja C. Mortensen, 1984,”epäjohdonmukaiset mallit merkitykselliselle aritmeetialle”, The Journal of Symbolic Logic, 49: 917–929.
  • Mortensen, C., 1983,”Vastaa Burgessille ja luettavalle”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 35–40.
  • –––, 1990,”Epäjohdonmukaisten ja epätäydellisten differentiaalisten laskelmien mallit”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 31: 274 - 285.
  • –––, 1995, epäjohdonmukainen matematiikka, Kluwer-matematiikka ja sen sovellussarjat, Dordrecht: Kluwer. [Errata saatavilla verkossa.]
  • –––, 1997, “Peeking at the Impossible”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 38: 527–534.
  • –––, 2000,”epäjohdonmukaisuuden näkymät”, julkaisussa D. Batens et al. (toim.), Paraconsistent Logic Frontiers, Lontoo: Research Studies Press, 203–208.
  • –––, 2002a,”Kohti mahdottomien kuvien matematiikkaa”, julkaisuissa W. Carnielli, M. Coniglio ja I. D'Ottaviano (toim.), Parakonsekvenssi: Looginen tie äärettömään Matematiikka, osa 228), New York: Marcel Dekker, 445–454.
  • –––, 2002b,”Paradoksidit kielen sisällä ja ulkopuolella”, kieli ja viestintä, 22: 301–311.
  • –––, 2003, “Closed Set Logic”, julkaisussa R. Brady (toim.), Relevanssi logiikka ja heidän kilpailijansa (osa II), Aldershot: Ashgate, sivut 252–262 (erityisesti 255–6).
  • –––, 2006,”Analyysi epäjohdonmukaisista ja epätäydellisistä Necker-kuutioista”, Australasian Journal of Logic, 4: 216–225.
  • –––, 2010, epäjohdonmukainen geometria (Studies in Logic, osa 27), Lontoo: College Publications (King's College).
  • Pariisi, J., ja Pathmanathan, N., 2006,”Huomautus papin äärellisestä aritmeetikasta”, The Journal of Philosophical Logic, 35: 529–537.
  • Pariisi, J., ja Sirokofskich, A., 2008,”Aritmeettisen aineiston LP-malleista”, The Journal of Symbolic Logic, 73 (1): 212–226.
  • Priest, G., 1987, vastapäätä, Dordrecht: Nijhoff; toinen laajennettu painos, Oxford: The Clarendon Press, 2006.
  • –––, 1997,”Epäjohdonmukaiset aritmeettisen mallin mallit: minä, äärelliset mallit”, Journal of Philosophical Logic, 26: 223–235.
  • –––, 2000,”Epäjohdonmukaiset mallit aritmeettiselle tutkimukselle: II, yleinen tapaus”, The Journal of Symbolic Logic, 65: 1519–29.
  • –––, 2013, “Matemaattinen moniarvoisuus”, IGPL: n logiikkalehti, 21 (1): 4–13: doi: 10.1093 / jzs018
  • Priest, G., R. Routley ja J. Norman (toim.), 1989, Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag.
  • Restall, G., 2007,”Brady Universal Logic -katsaus”, Symbolic Logic -lehti, 13 (4): 544–547.
  • Robinson, A., 1974, epästandardianalyysi, Amsterdam: Pohjois-Hollanti, uudistettu painos.
  • Routley, R. ja V. Routley, 1972,”Ensimmäisen asteen seurauksen semantiikka”, Noûs, 6: 335–359.
  • Shapiro, S., 2002,”epäjohdonmukaisuus ja epätäydellisyys”, Mind, 111: 817–832.
  • –––, “Rakenteet ja logiikka: tapa (a) relativismiin”, Erkenntnis, 79: 309–329.
  • Tedder, A., 2015, “Aksioomat aritmeettisten äärellisten romahtamisen malleihin”, The Symbolic Logic Review, 8 (3): 529-539.
  • Van Bendegem, JP., 2014,”Epäjohdonmukaisuus matematiikassa ja epäjohdonmukaisuuden matematiikassa”, Synthese, 191 (13), 3063-3078.
  • Weber, Z., 2010,”Transfinite Numbers in Paraconsistent Set Theory”, The Review of Symbolic Logic, 3 (1): 71-92.
  • –––, 2012,”Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory”, Symbolisen logiikan katsaus, 5 (2): 269–293.
  • ––– ja Cotnoir, AJ, 2015,”epäjohdonmukaiset rajat”, Synthese, 192: 1267-1294. doi: 10.1007 / 511229-014-0614-2

Akateemiset työkalut

sep mies kuvake
sep mies kuvake
Kuinka mainita tämä merkintä.
sep mies kuvake
sep mies kuvake
Esikatsele tämän tekstin PDF-versio SEP-Ystävien ystävissä.
inpho-kuvake
inpho-kuvake
Katso tätä kirjoitusaihetta Internet Philosophy Ontology Projektista (InPhO).
phil paperit -kuvake
phil paperit -kuvake
Parannettu bibliografia tälle merkinnälle PhilPapersissa, linkkien avulla tietokantaan.

Muut Internet-resurssit

[Ota yhteyttä kirjoittajaan ehdotuksilla.]

Suositeltava: