Ei-deduktiiviset Menetelmät Matematiikassa

Sisällysluettelo:

Ei-deduktiiviset Menetelmät Matematiikassa
Ei-deduktiiviset Menetelmät Matematiikassa

Video: Ei-deduktiiviset Menetelmät Matematiikassa

Video: Ei-deduktiiviset Menetelmät Matematiikassa
Video: Lukujen visuaalinen hahmottaminen kuvista (Varga-Nemenyi-menetelmä) 2024, Maaliskuu
Anonim

Maahantulon navigointi

  • Kilpailun sisältö
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Ystävät PDF-esikatselu
  • Kirjailija- ja viittaustiedot
  • Takaisin alkuun

Ei-deduktiiviset menetelmät matematiikassa

Ensimmäinen julkaistu maanantaina 17. elokuuta 2009; aineellinen tarkistus tiistaina 21. huhtikuuta 2020

Nykyisessä muodossaan ei ole yhtä, hyvin määriteltyä filosofista osakenttää, joka olisi omistettu matematiikan ei-deduktiivisten menetelmien tutkimukselle. Koska termiä käytetään tässä, se sisältää ryhmän erilaisia filosofisia kantoja, lähestymistapoja ja tutkimusohjelmia, joiden yhteisenä motiivina on näkemys, että (i) matemaattisessa metodologiassa on ei-deduktiivisia näkökohtia ja että (ii) tunnistaminen ja analysointi näistä näkökohdista voi olla filosofisesti hedelmällinen.

  • 1. Esittely

    • 1.1 Löytö vastaan perustelu
    • 1.2 Vähennys ja muodostuminen
    • 1.3 Deductivismi ja säätiöt
  • 2. deduktiivisen menetelmän ei-deduktiiviset näkökohdat

    • 2.1 Epävirallisuuden näkökohdat

      • 2.1.1 Puolimuodolliset todisteet
      • 2.1.2 Todisteiden aukot
      • 2.1.3 Kaaviot
    • 2.2 Vähennysten oikeuttaminen

      • 2.2.1 Sääntöjen perustelut
      • 2.2.2 Aksioomien tila
    • 2.3 Gödelin tulokset
  • 3. Vaihtoehtoiset ei-deduktiiviset menetelmät

    • 3.1 Kokeellinen matematiikka
    • 3.2 Laskeva induktio
    • 3.3 Tietokonetodisteet
    • 3.4 Todennäköisyydet
  • 4. Yhteenveto / päätelmät
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Muut Internet-resurssit
  • Aiheeseen liittyvät merkinnät

1. Esittely

Matematiikan ontologiaa käsittelevät filosofiset näkemykset ohjaavat platonismia (matematiikka on abstraktien esineiden valtakuntaa), fiktionismia (matematiikka on fiktio, jonka aihetta ei ole), formalismia (matemaattiset lauseet ovat merkityksettömiä merkkijonoja, joita manipuloidaan muodollisesti säännöt), ilman yksimielisyyttä siitä, mikä on oikein. Sitä vastoin vaikuttaa kohtuulliselta sanoa, että matematiikan perusmenetelmistä on olemassa filosofisesti vakiintunut näkemys. Karkeasti on se, että matemaatikot pyrkivät todistamaan monenlaisia matemaattisia väitteitä ja että todistus koostuu tietyn väitteen loogisesta johdannosta aksioomista. Tällä näkemyksellä on pitkä historia;siten Descartes kirjoittaa säännössään mielen suuntaan (1627–28), että matemaattinen ehdotus on johdettava todellisista ja tunnetuista periaatteista jatkuvalla ja keskeytymättömällä mielen toiminnalla, jolla on selkeä näkemys prosessin jokaisesta vaiheesta”(47). Tämän näkemyksen tärkeä merkitys on, että matematiikassa ei ole tilaa ainakin ihanteellisella tavalla ei-deduktiivisille menetelmille. Esimerkiksi Frege toteaa, että”matematiikan luonteessa on aina suosittava todistusta, jos todiste on mahdollista, jokaiselle induktiolla tapahtuvalle vahvistukselle” (1884, 2). Berry (2016) tarjoaa uudemman todisteiden puolustuksen, koska sillä edistetään yhteisen tutkimuksen avainhyveitä matemaattisessa yhteisössä.ainakin ihannetapauksessa ei-deduktiivisten menetelmien matematiikassa. Esimerkiksi Frege toteaa, että”matematiikan luonteessa on aina suosittava todistusta, jos todiste on mahdollista, jokaiselle induktiolla tapahtuvalle vahvistukselle” (1884, 2). Berry (2016) tarjoaa uudemman todisteiden puolustuksen, koska sillä edistetään yhteisen tutkimuksen avainhyveitä matemaattisessa yhteisössä.ainakin ihannetapauksessa ei-deduktiivisten menetelmien matematiikassa. Esimerkiksi Frege toteaa, että”matematiikan luonteessa on aina suosittava todistusta, jos todiste on mahdollista, jokaiselle induktiolla tapahtuvalle vahvistukselle” (1884, 2). Berry (2016) tarjoaa uudemman todisteiden puolustuksen, koska sillä edistetään yhteisen tutkimuksen avainhyveitä matemaattisessa yhteisössä.

Filosofisessa kirjallisuudessa ehkä tunnetuin haaste tähän vastaanotettuun näkemykseen on tullut Imre Lakatosilta hänen vaikutusvaltaisessa (postuumisesti julkaistussa) 1976-teoksessaan todisteet ja väitteet:

Euklidinen metodologia on kehittänyt tietyn pakollisen esitystavan. Viittaan tähän "deductivistiseen tyyliin". Tämä tyyli alkaa huolellisesti esitetyllä aksioomien, lemmien ja / tai määritelmien luettelolla. Aksioomat ja määritelmät näyttävät usein keinotekoisilta ja salaperäisesti monimutkaisilta. Kukaan ei koskaan kerro, kuinka nämä komplikaatiot syntyivät. Aksioomien ja määritelmien luetteloa seuraa huolellisesti muotoiltu lause. Ne ovat täynnä raskaita olosuhteita; näyttää mahdottomalta, että kenenkään olisi koskaan pitänyt arvata heidät. Lauseen seuraa todistus.

Deduktivistisessa tyylillä kaikki väitteet ovat totta ja kaikki päätelmät pätevät. Matematiikka esitetään ikuisten, muuttumattomien totuuksien yhä kasvavana kokonaisuutena.

Deductivistinen tyyli piilottaa taistelun, piilottaa seikkailun. Koko tarina katoaa, lauseen peräkkäiset alustavat muotoilut todistusmenettelyn aikana on tuomittu unohdetuksi, kun taas lopputulos korotetaan pyhään erehtymättömyyteen (Lakatos 1976, 142).

Ennen kuin jatkat, kannattaa tehdä muutamia eroja, jotta voidaan keskittyä seuraavan keskustelun aiheisiin.

1.1 Löytö vastaan perustelu

Laaja väite siitä, että matemaattisessa toiminnassa on joitain ei-deduktiivisia näkökohtia, vaikuttaa melko kiistanalaiselta. Tämä merkitsee vain väitettä, jonka mukaan kaikki, mitä matemaatikot tekevät matematiikkaa tehdessään, ei koostu lausuntojen johtamisesta muista lauseista. Kuten James Franklin sanoo:

Matematiikka ei voi koostua pelkästään arvailuista, väitteistä ja todisteista. Kuka tahansa voi luoda arvauksia, mutta mitkä niistä kannattaa tutkia? … Mikä voisi pystyä todistamaan menetelmällä matemaatikon ohjelmistossa? … Mitkä eivät todennäköisesti anna vastausta seuraavan hallituskatsauksen jälkeen? Matemaatikon on vastattava näihin kysymyksiin varatakseen aikansa ja vaivansa. (Franklin 1987, 2)

Yksi tapa kaventaa yleistä väitettä sen tekemiseksi sisällöllisemmäksi on käyttää tuttua (tosin ei täysin ongelmatonta) erotusta "löytökontekstin" ja "perustelukehyksen" välillä. Toisaalta tämä erottelu voi mahdollistaa perinteisen deductivistisen näkemyksen ylläpitämisen Lakatosin kritiikkiä vastaan väittämällä, että Lakatosin osoittama kysymys koskee löytökontekstia matematiikassa. Perustelun yhteydessä aksioomien tulosten johtaminen voi silti olla oikea ja kattava tarina. Joillakin matemaatikkojen reaktioilla Lakatosin näkemyksiin on tämä luonne, esimerkiksi seuraava Morris Klinein huomautus Lakatosille kirjoitetussa kirjeessä:

Uskon, että tarvitsemme paljon enemmän kirjallisuutta, jossa korostetaan matematiikan löytöpuolta. Painotus, kuten tiedät ja kuten tarkoitat, on matematiikan deduktiivisessa rakenteessa, ja opiskelijoille annetaan vaikutelma, että johdetaan uusia johtopäätöksiä vanhoista. [1]

Pólyan työstä, joka oli merkittävä vaikutus Lakatosiin, on myös mahdollista löytää samankaltaisia kohtia:

Opiskellessamme ongelmien ratkaisumenetelmiä, havaitsemme matematiikan toisen kasvon. Kyllä, matematiikalla on kaksi kasvot; se on Euclidin tiukka tiede, mutta se on myös jotain muuta. Matematiikka, joka esitetään euklidisella tavalla, näyttää systemaattiselta, deduktiiviselta tieteeltä, mutta tekemisen matematiikka näyttää kokeelliselta, induktiiviselta tieteeltä. (Pólya 1945, vii) [alkuperäinen kursivointi]

Toisaalta, jotta voitaisiin asettaa todellinen haaste tutulle deductivistiselle asemalle, vastakanteen on oltava, että ei-deduktiivisilla menetelmillä on merkitys matemaattisten tulosten perustelussa (Paseau 2015). Tämän vuoksi jäljellä olevassa tutkimuksessa keskitytään ensisijaisesti oikeuttaviin asiayhteyksiin. [2]

1.2 Vähennys ja muodostuminen

Tämä ei ole paikka vähennysten yksityiskohtaiseen analyysiin. Nykyisiä tarkoituksia varten tämän käsityksen oletetaan olevan ainakin periaatteessa melko suoraviivainen. Vähennys on mikä tahansa lauseiden sekvenssi, joista jokainen on johdettu jostakin alkuperäisestä lauseiden joukosta (tilanteet) tai sekvenssin aiemmasta lauseesta. Yksi asia, johon on puututtava, on kuitenkin vähennysten ja muodollisuuksien välinen suhde (ks. Esim. Azzouni 2013).

Argumentti voi olla deduktiivinen olematta muodollista. Vaikka vähennysten paradigmatapaukset tapahtuvat yleensä hyvin muodollisissa järjestelmissä, tämä ei ole välttämätöntä.”Kaikki parilliset luvut, jotka ovat suurempia kuin 2, ovat yhdistelmä; 1058 on suurempi kuin 2; 1058 on tasainen; joten 1058 on yhdistelmä”on täysin hyvä päätelmä siitä huolimatta, että sitä ei ole virallistettu. Siksi, toisin kuin näistä aiheista käydyissä keskusteluissa toisinaan oletetaan, ei ole totta, että kaikki matemaattisen käytännön epäviralliset näkökohdat eivät siten ole deduktiivisia.

Toisaalta muodollisen logiikan kehitys on sidottu tiukasti selkeän kielen tarjoamiseen deduktiivisen matemaattisen päättelyn esittämiseksi (ja arvioimiseksi). Itse asiassa, kuten John Burgess väittää (1992), moderni klassinen logiikka kehittyi pitkälti matemaattisen päättelyn, erityisesti todisteen, perustana. Lisääntyminen kurinalaisesti sisällä matematiikan aikana 19 th Century oikein nähdään syy, ei vaikutusta, loogisen vallankumouksen kuittaantuu Fregen työtä. Burgessin mielestä logiikka on kuvaava: sen tavoitteena on rakentaa matemaattiset päättelymallit. Klassinen logiikka on ihanteellinen kuvaus klassisesta matemaattisesta todisteesta.

Voi olla myös tärkeää erottaa tietyn matemaattisen todistuksen epäviralliset elementit muotoilemattomista elementeistä (jos sellaisia on). [3] Kohdassa 4 tätä aihetta käsitellään kaavioiden käytön yhteydessä matemaattisissa perusteluissa.

1.3 Deductivismi ja säätiöt

Muodollisen logiikan kehittämisen lisäksi toinen deductivismin näkökulma on sen painottaminen "säätiöihin". Syynä tähän on, että siirtyminen aksioomista lauseeseen on periaatteessa suora, koska kyse on loogisesta johdannosta. Itse asiassa tässä muutoksessa ei ole mitään selvästi matemaattista. Tästä syystä huomio on siirtynyt deduktiivisen prosessin lähtökohtaan, nimittäin aksioomiin. Ja jos nämä aksioomat ovat itsessään jonkin perusteorian teoreemoja, niin tätä turvallisen lähtöpisteen etsimistä voidaan jatkaa yhä perusteellisempien matemaattisten teorioiden hierarkian avulla.

On kiistatonta, että kysymyksiä perustan matematiikan ollut keskeinen huolenaihe filosofien matematiikan lähes koko 20 th Century. Sitä ei tietenkään ole, koska perustavat alueet, kuten joukkoteoria, ovat ainoat matematiikan alueet, joilla filosofit ajattelevat, että deduktio tapahtuu, vaan pikemminkin koska - kuten edellä on todettu - keskittyminen deduktioon painottaa erityisesti todisteiden lähtökohtia. Jopa ne, jotka suhtautuvat myönteisesti tähän keskittymiseen peruskysymyksiin, tunnustavat todennäköisesti, että monet matemaattisen käytännön alueet jätetään siten huomiotta. Kysymys on siitä, jos filosofinen mielenkiinto menetetään prosessissa, jos jotain.

2. deduktiivisen menetelmän ei-deduktiiviset näkökohdat

2.1 Epävirallisuuden näkökohdat

2.1.1 Puolimuodolliset todisteet

Kuten kohdassa 1.2 mainittiin, yksi deduktivistisen tyylin piirteistä on, että paradigmaattiset matemaattiset todisteet esitetään kokonaan jollain sopivalla muodollisella kielellä (esimerkiksi ensimmäisen asteen predikaattilogiikka identiteettillä). Tämän avulla tietyn todistuksen pätevyys voidaan varmistaa helposti, jopa mekaanisesti. Mutta tietenkin harvoilla, jos sellaisia on, matemaatikkojen levittämissä ja julkaisemissa todisteissa on tämä muoto. Se, mitä voidaan pitää todisteena työskenteleville matemaatikoille, vaihtelee täysin epävirallisesta yksityiskohtaiseen ja tarkkaan jokaisen (tai melkein jokaisen) aukon täyttyessä. Jopa yksityiskohtaiset ja tarkat todisteet ilmaistaan harvoin puhtaasti logiikan kielellä; pikemminkin ne ovat sekoitus tavallisia kieli-, matemaattisia ja loogisia symboleja ja terminologiaa.

Joskus deduktivistisessa perinteessä kirjoittavat filosofit saavat kuulostamaan, että tämä on melko triviaali kohta; Kyse on vain matemaatikoista, joilla on "käännösjärjestelmä", mutta joita ei kirjoiteta todisteena puhtaalla logiikalla, jotta se olisi helpommin saatavissa ja luettavissa. Itse asiassa on usein kaukana itsestään selvyydestä, kuinka annettu todiste muutetaan muodolliseksi logiikaksi. Lisäksi ei ole selvää, että epävirallisen todistuksen "kääntäminen" muodolliselle kielelle on välttämättä oikea tapa tarkastella tilannetta. Stewart Shapiro esittelee olennaisesti tämän näkemyksen 1991-kirjansa "Säätiöt ilman perustajuutta" alussa kirjoittaessaan seuraavaa:

Täydellisen logiikan kielet ovat ainakin osittain matemaattisia malleja tavallisten luonnollisten kielten, kuten englannin, fragmenteista, tai kenties tavallisten kielten täydennyksiä matematiikassa käytetyillä lauseilla. Viimeksi mainittua voidaan kutsua”matematiikan luonnollisiksi kieliksi”. Painotuksen vuoksi tai sekaannuksen välttämiseksi täydellisen logiikan kieltä kutsutaan joskus”muodolliseksi kieleksi”.

Matemaattisena mallina on aina aukko logiikan kielen ja sen luonnollisen kielen vastineen välillä. Soveltaminen mallin ja mallinnuksen välillä voi olla hyvä tai huono, hyödyllinen tai harhaanjohtava mihin tahansa käsillä olevaan tarkoitukseen. (Shapiro 1991, 3)

Vaihtoehtoinen kuva on, että muodolliset ja epäviralliset kielet tarjoavat erilaisia tapoja ilmaista matemaattisia lauseita ja todisteita. Muodollista kieltä ei käytetä "kääntämiseen", joten sitä ei tarvitse mitata epävirallisessa todisteessa ilmaistun perusteella. Pikemminkin se tarjoaa omat, väitetysti ylivoimaiset resurssinsa matemaattisten lauseiden sisällön ilmaisemiseen tarkkaan ja tiukasti, erityisesti tätä tarkoitusta varten. Kumpi kuva otetaan matematiikan muodollisten ja epävirallisten esitysten välisestä suhteesta, jäljellä on kaksi seikkaa. Ensinnäkin deduktiiviset matemaattiset argumentit - argumentit, jotka matemaatikot tuottavat, välittävät ja rakentavat - voivat olla joko muodollisia tai epävirallisia. Toinen,sellaisten väitteiden arviointi, jotka ovat deduktiivisesti päteviä tai virheellisiä, on helpompi lopullisesti suorittaa jonkinlaisen muodollisen järjestelmän yhteydessä.

On myös syytä huomata, että Lakatos vaatii kolmannen luokan todisteita muodollisten ja epävirallisten lisäksi, että hän kutsuu”lähes muodollista”. Lakatos kirjoittaa, että:

ehdottaa, että epävirallinen todistus on vain epätäydellinen muodollinen todiste näyttää minusta tekevän saman virheen kuin varhaiskasvattajat, kun olettaen, että lapsi oli vain pienoiskoossa aikuinen, he laiminlyöivät lasten käyttäytymisen suoran tutkimuksen lapsen hyväksi teorisointi perustuu aikuisten käyttäytymisen yksinkertaisiin analogioihin. (Lakatos 1980, 63)

2.1.2 Todisteiden aukot

Yllä oleva puhe siitä, että”jokainen aukko täytetään” siirtyessä ihanteelliseen todisteeseen, osoittaa sen tosiseikan, että todistuksen”aukon” käsite itsessään vaatii lisäselvennyksiä. Ensinnäkin kaikkein selkein tapa määritellä todistekuilu - kuten jäljempänä on esitetty - soveltuu vain täysin muodollisiin järjestelmiin.

Rako on mikä tahansa todistuksen piste, jossa kirjoitettu rivi ei seuraa joidenkin edellisten rivien alajoukkoja (yhdessä aksioomien kanssa) soveltamalla järjestelmälle muodollisesti pätevää ja nimenomaisesti ilmoitettua päätelmissääntöä.

Syy siihen, että mikä tahansa sääntö on nimenomaisesti ilmaistu järjestelmän päätelmäsääntö, johtuu siitä, että haluamme tehdä tilaa epämääräisille, mutta voimassa oleville todisteille. Esimerkiksi "2 + 2 = 4, joten alkusarjoja on äärettömän monta" on pätevä argumentti, mutta sen lähtökohdan ja päätelmän välillä on selvästi suuri ero. Toisaalta huolimatta yllä olevasta määritelmästä, joka toimii vain muodollisiin todisteisiin, gaplessness ja muodollisuus eivät aina mene yhteen. Siksi perinteinen syllogismi, kuten”Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia; Sokrates on mies; Siksi Sokrates on kuolevainen”on esimerkki aukottomasta epävirallisesta todisteesta. Yksi tapa laajentaa onnellisuuden (ja aukottomuuden) käsite epävirallisiin todisteisiin on matemaattisen peruspäätteen käsite,toisin sanoen päätelmä, jonka”matemaattinen yhteisö on hyväksynyt käytettäväksi todisteena ilman mitään lisäväitteitä” (Fallis 2003, 49).

Loppujen lopuksi luonnehdimme aukkoja, mutta on kiistatonta, että useimmilla matemaatikkojen esittämillä todisteilla on aukkoja. Don Fallis ehdottaa taksonomiaa erilaisista todistepuutteista hänen (2003):

  1. Alkuperäiset aukot

    ”Matemaatikko on jättänyt päätelmäkuilun aina, kun matematiikan mielessä pitämä erityinen ehdotusjärjestys (todisteena) ei ole todiste” (Fallis 2003, 53).

  2. Entymmemaattiset aukot

    “Matemaatikko on jättänyt entymmemaattisen aukon aina, kun hän ei nimenomaisesti ilmoita hänen mielessään olevaa ehdotusjärjestystä” (Fallis 2003, 54). [4]

  3. Ylittämättömät aukot

    "Matemaatikko on jättänyt ylittämättömän aukon, kun hän ei ole yrittänyt suoraan varmistaa, että jokainen hänen mielessään olevassa lauseessa (joka on todisteena) jokainen ehdotus seuraa sekvenssin aikaisemmista ehdotuksista matemaattisella peruspäätelmällä" (Fallis 2003, 56–7).

Tämän taksonomisen työn lisäksi Fallis väittää filosofisessa opinnäytetyössä, että todisteiden aukot eivät välttämättä ole huono asia. Edellä olevan (iii) kohdan perusteella hän esittelee käsityksen yleisesti ylittämättömästä aukosta, toisin sanoen aukosta, jota mikään matemaattisen yhteisön jäsen ei ole ylittänyt. Fallis väittää, että tällaiset aukot eivät ole epätavallisia ja että matemaatikot hyväksyvät ainakin osan niitä sisältävistä aikatodisteista perusteltavassa yhteydessä. Tätä näkemystä tukee Andersenin uudempi työ (2018).

Yksi tällä hetkellä aktiivinen työalue, joka on johtanut erilaisten tähän asti tunnistamattomien aukkojen paljastamiseen, on automaattinen todistustarkistus. Erityisesti suunniteltuja tietokoneohjelmia käytetään tarkistamaan todisteiden pätevyys, jotka on toimitettu asianmukaisella virallisella kielellä. Tähän mennessä pääpaino ei ole ollut uusien tulosten löytämisessä, vaan jo vakiintuneiden tulosten todistusten tilan tarkistamisessa. George Gonthier on käyttänyt tätä lähestymistapaa todentaakseen todistuksen neljästä väriteoreesta (Gonthier 2008) ja todistuksen parittomasta kertomuslauseesta ryhmäteoriassa (Gonthier ym. 2013), ja Thomas Hales on varmistanut todistuksen Jordan-käyrän lauseesta. (Hales 2007). Kummassakin tapauksessa löydettiin useita aukkoja ja poistettiin sitten. Tämän tyyppinen muodollinen todentaminen voi paljastaa myös muita tietoja, jotka ovat piilossa tavallisten matemaattisten perusteiden sisällössä. Georg Kreisel on kuvaillut tätä yleistä prosessia”todisteiden purkautumisesta”, kun taas Ulrich Kohlenbach on viime aikoina keksinyt termin”todistuskaivostoiminta”. Edellä kuvattujen menetelmien yhteydessä Avigad kirjoittaa sen

… Todisteteoreettisia menetelmiä ja oivalluksia voidaan käyttää automatisoidun päättelyn ja muodollisen todentamisen alalla. 1900-luvun alusta lähtien on ymmärretty, että tavalliset matemaattiset argumentit voidaan esittää ainakin periaatteessa muodollisissa aksiomaattisissa teorioissa. Useimpien matemaattisten perusteiden monimutkaisuus teki kuitenkin suurimman osan muodostumisesta käytännössä mahdotonta. Laskennallisten todistusassistenttien tulo on alkanut muuttaa tätä, mikä on mahdollistanut virallistaa yhä monimutkaisempia matemaattisia todisteita. … [T] he -menetelmiä voidaan käyttää myös perinteisempiin tehtäviin tavallisten matemaattisten todisteiden todentamiseksi, ja ne ovat erityisen tärkeitä tapauksissa, joissa todisteet luottavat laskentaan, joka on liian laaja käsin suoritettavien tarkastusten suorittamiseksi. (Avigad 2007, 7)

Delariviere ja Van Kerkhove (2017) huomauttavat kuitenkin, että vaikka tietokonemenetelmillä voi olla yhä tärkeämpi sääntö todisteiden todentamisessa, ei ole yhtä selvää, että tällaisilla menetelmillä voi olla vastaavasti keskeinen rooli matemaattisen ymmärryksen edistämisessä.

2.1.3 Kaaviot

Toinen epävirallisen todisteen osa, johon on viime aikoina kiinnitetty uutta huomiota viimeaikaisessa filosofisessa kirjallisuudessa, on kaavioiden rooli (Giaquinto 2007; Shin & Lemon 2008). Kiistanalaista on, että todisteisiin - etenkin geometriassa, mutta myös muilla aloilla analysoinnista ryhmäteoriaan - liitetään usein kaavioita. Yksi kysymys koskee sitä, onko sellaisilla kaavioilla välttämätöntä roolia päättelyketjussa, joka johtaa tietyn todistuksen tiloista sen päätelmiin. Ensi arviolta näyttäisi olevan kolme mahdollista tilannetta:

  1. Kaavioilla ei ole merkityksellistä merkitystä todisteissa, ja ne toimivat pelkästään "havainnollistamisina" sen käsittelemään aiheeseen.
  2. Käytännössä on vaikeaa (tai jopa mahdotonta) tarttua todisteisiin käyttämättä kaavioita, mutta tämä välttämättömyys on pikemminkin psykologista kuin loogista.
  3. Kaavioilla on tärkeä rooli todistuksen loogisessa rakenteessa.

Kaavamaiseen päättelyyn liittyvän filosofisen työn alkuperäinen aalto keskittyi Euclidin alkuaineisiin osittain tämän työn keskeisyyden ja historiallisen merkityksen vuoksi ja osittain siksi, että sitä pidetään niin usein kanonisena esimerkkinä deduktiivisesta menetelmästä (ks. Esim. Mumma) 2010). Jos jotkut tai kaikki elementtien kaaviot kuuluvat edellä vaihtoehdon (iii) piiriin, kaikkien kaavioiden poistaminen tekee monista todisteista kelvottomia. Tämä herättää lisäkysymyksen siitä, voidaanko selkeästi kaavamainen päättelytapa tunnistaa ja analysoida, ja jos on, voidaanko se tarttua puhtaasti deduktiiviseen järjestelmään. Yksi vaikeuksista ehdotetussa tiukentamisessa on”yleistämisongelma”: miten tiettyyn kaavioon linkitetty todiste voidaan yleistää muihin tapauksiin? Tämä on kietoutunut kysymykseen erottaa muodollisestitietyn kaavion olennaisten ja sattumanvaraisten piirteiden välillä.

Kaavioiden roolia todisteissa koskeviin viimeaikaisiin töihin on sisältynyt puolustaminen kantaan, jonka mukaan kaavamaiset todisteet voivat joskus olla täysin tiukkoja (Azzouni, 2013), ja kaaviopohjaisen päättelyn tutkiminen muilla matemaattisten käytännön alojen kuin geometrian aloilla (de Toffoli ja Giardino, 2014; de Toffoli, 2017).

2.2 Vähennysten oikeuttaminen

Vaikka rajoittaisimmekin huomioinnin perustelujen kontekstiin, deduktiivinen todiste antaa kategorisen tiedon vain, jos se etenee turvallisesta lähtökohdasta ja jos päätelmissäännöt pitävät paikkansa totuuden säilyttämisessä. Voivatko luottamuksemme näiden kahden edellytyksen saavuttamiseen myös perustella puhtaasti deduktiivisesti? Näitä ehtoja tarkastellaan vuorotellen.

2.2.1 Sääntöjen perustelut

Yhdessä mielessä vaikuttaa melko suoraviivaiselta perustelulta joillekin suosituille päätelmissäännöille. Voidaan esimerkiksi osoittaa, että jos Modus Ponens -sovelluksen olosuhteet ovat totta, niin johtopäätöksen on myös oltava totta. Ainakin potentiaalisesti ongelmana on, että tällaisissa perusteluissa käytetään tyypillisesti sitä sääntöä, jota he pyrkivät perustelemaan. Edellä mainitussa tapauksessa: jos MP: tä sovelletaan todellisiin tiloihin, johtopäätös on totta; MP: tä sovelletaan todellisiin tiloihin; päätelmä on siis totta. Haack (1976) ja muut ovat keskustelleet siitä, onko kiertävyys täällä kieroa vai ei. Yksi tärkeä näkökohta on se, voidaanko kelvottomille säännöille antaa vastaavia "perusteluja", esimerkiksi Priorin käyttöönottoa ja poistamista koskevat säännöt "tonkille", joilla on myös tämä ominaisuus käyttää sääntöä itsensä perustelemiseen.[5] (Läheisesti liittyvä aihe voidaan jäljittää Lewis Carrolliin ja hänen klassiseen (1895) paperiinsä.)

2.2.2 Aksioomien tila

Oletetaan siis, että idealisoitu deduktiivinen todiste tarjoaa yhden tyyppisen turvallisuuden: kunkin vaiheen läpinäkyvyys varmistaa väitteen paikkansapitävyyden kokonaisuutena ja takaa siten, että jos kaikki tilanteet ovat totta, johtopäätöksen on oltava totta. Mutta mitä aksiomeista, jotka tuodaan käyttöön todistusprosessin alussa? Perinteinen vastaus tähän kysymykseen on väittää, että aksioomien totuus on varmaa, koska aksioomat ovat”itsestään selviä”. Tämä varmasti näyttää olevan yleisesti hyväksytty näkemys esimerkiksi euklidisen geometrian aksioomista. Tämä asenne on kuitenkin nykypäivän matematiikassa paljon vähemmän yleinen useista syistä. Ensinnäkin, löytö Epäeuklidinen geometria alussa 19 thCentury osoitti, että ilmeinen omatodistus, ainakin rinnakkaispostulaatin tapauksessa, ei takaa tarvittavaa totuutta. Toiseksi, matemaattisten teorioiden kasvava valikoima ja monimutkaisuus - ja niiden aksiomaatiot - tekivät paljon epätodennäköisempää väittää, että jokainen yksittäinen aksioomi oli läpinäkyvästi totta. Kolmanneksi, monet matemaattiset alakentät ovat abstraktiin huomattavasti kaikista konkreettisista malleista, ja tämä on kulkenut käsi kädessä sen pyrkimyksen kanssa, että ainakin jotkut matemaatikot omaavat muodollisen asenteen heidän kehittämiin teorioihin. Periaatteellisten totuuksien ilmaisemisen sijasta aksioomien tarkoituksena on tällä näkökulmalla yksinkertaisesti tarjota lähtökohta muodolliselle pelille.

Liuku kohti tällaista formalistista suhtautumista aksioomiin voidaan jäljittää myös Fregen logiikan kautta. Logistiikkaohjelma pyrki osoittamaan, että matematiikka on pelkistettävissä logiikkaksi, toisin sanoen, että matemaattiset todisteet voidaan osoittaa koostuvan loogisista päätelmistä loogisesti oikeista tiloista. Fregen kannalta nämä loogisesti tosi tilat ovat määritelmiä niissä esiintyvistä termeistä. Mutta tämä herättää jälleen kysymyksen siitä, mikä erottaa hyväksyttävät määritelmät, joita ei voida hyväksyä. Tässä ei ole huolta vain siitä, ovatko aksioomimme totta, vaan myös siitä, ovatko ne edes yhdenmukaisia (sudenkuoppa, joka kuuluisasti kuului Fregen omaan järjestelmään). Ja tämä on ongelma, kun itsevarmennus hylätään aksioomien”kultastandardina”, siirrymmekö täältä formalistiseen näkemykseen tai logistiseen näkemykseen. Kummassakin tapauksessa,ehdokasaksiaalien hyväksyttävyydelle on annettava joitain muita rajoituksia.

Onko siellä keskitie toisaalta korkean itsetodistustason ja toisaalta "kaikki menee" -asenteen välillä? Yksi idea, jonka versio voidaan jäljittää Bertrand Russellille, on vedota versioon päätelmistä parhaaseen selitykseen. Russellin mielestä riittävän todennäköisesti on, että elementaarisen aritmeettiset ehdotukset - “2 + 2 = 4”, “7 on alkuluku” jne. - ovat paljon itsestään selvempiä kuin minkä tahansa loogisen tai set-teoreettisen järjestelmän aksiomat. keksiä heidän maalata. Joten sen sijaan, että katsomme aksioomeja maksimaalisesti itsestään selvinä, meidän pitäisi sen sijaan ajatella niitä valittuina heidän (kollektiivisen) kykynsä perusteella systematisoida, johtaa ja selittää aritmeettisia perustietoja. Toisin sanoen loogisen implikaation suunta pysyy aksioomista aritmeettisiin tosiasioihin,mutta perustelun suunta voi mennä toiseen suuntaan, ainakin hyvin yksinkertaisten, ilmeisten aritmeettisten tosiasioiden tapauksessa. "2 + 2 = 4" -johdannainen joukko-teoreettisista aksioomistamme ei lisää luottamustamme “2 + 2 = 4” -totuuteen, mutta se, että voimme johtaa tämän aiemmin tunnetun tosiasian (eikä johtaa muita ehdotuksia, joita me tiedämme olevan väärä) lisää luottamusta aksioomien totuuteen.

Perustelun suunta kuvastaa perustelun suuntaa parhaan selityksen perusteella. Kun meillä on tietty luottamus tiettyyn aksioomivalintaan, perustelemissuunta voi myös kulkea tavanomaisempaan suuntaan todistuksen deduktiivisten päätelmien mukaisesti. Tämä tapahtuu, kun todistettu lause ei ollut sellainen, jonka totuus oli ennakkoluulottoman selvä. Easwaran (2005), Mancosu (2008) ja Schlimm (2013) ovat kehittäneet tämän perustiedot aksioomivalinnasta eri tavoin. Esimerkiksi Mancosu väittää, että analoginen prosessi voi perustaa uusien matemaattisten teorioiden kehittämisen, jotka laajentavat sovellusaluetta tai aiempien teorioiden ontologiaa. Tämän prosessin analysoinnin jatkaminen edellyttää, että annetaan tyydyttävä kuvaus matemaattisista selityksistä,ja tästä on tullut huomattavan mielenkiinnon kohteena viimeaikaisessa matematiikan filosofiaa koskevassa kirjallisuudessa.

Toinen lähestymistapa, jota Maddy (1988, 1997, 2001, 2011) pyrkii, on tarkastella yksityiskohtaisemmin matemaatikkojen todellista käytäntöä ja syitä, joita he antavat eri ehdokasaksiaalien hyväksymiseksi tai hylkäämiseksi. Maddy keskittyy pääosin asetetun teorian aksioomiin, ja hän väittää, että teoreettisia hyveitä on useita, joilla ei ole suoraa yhteyttä "omaan todisteeseen", jolla aksioomilla voi olla. Mitä nämä hyveet ovat ja kuinka ne painotetaan toisiinsa, voivat hyvin vaihdella matematiikan eri alueilla. Kaksi ydinarvoa, jotka Maddy tunnistaa joukko-teoreettisille aksioomeille, ovat YHTENÄISET (ts. Että ne tarjoavat yhden perusteorian teoreettisten kysymysten ratkaisemiseksi) ja MAKSIMITOINTI (ts. Että ne eivät rajoita mielivaltaisesti isomorfismityyppien alueita). Kysymys aksioomivalinnasta joukkoteoriassa on otettu esiin myös Lingamnenin (2017) ja Fontanella (2019) viimeaikaisessa työssä.

2.3 Gödelin tulokset

Epäilemättä kaikkein tunnetuimmat deduktiivisen menetelmän rajoituksista matematiikassa ovat niitä, jotka johtuvat Gödelin epätäydellisyystuloksista. Vaikka nämä tulokset koskevat vain matemaattisia teorioita, jotka ovat riittävän vahvoja sisällyttämään aritmeettinen tieto, luonnollisten lukujen (ja niiden laajennusten perusteisiin, reaaleihin, komplekseihin jne.) Keskittyminen matemaattisen toiminnan painopisteenä tarkoittaa, että vaikutukset ovat laajalle levinneet.

Gödelin työn tarkkoja vaikutuksia ei pidä myöskään yliarvioida. Määrällisten tekijöiden järjestys on tärkeä. Gödel osoitti, että jokaisessa johdonmukaisessa, rekursiivisesti aksiomaattisessa muodollisessa järjestelmässä, F, joka on riittävän vahva aritmeettiselle, on puhtaasti aritmeettisessa kielessä ilmaistavia totuuksia, joita ei voida todistaa F: ssä. Hän ei osoittanut, että on olemassa aritmeettisia totuuksia, joita ei voida todistaa mikä tahansa muodollinen järjestelmä. Siitä huolimatta, Gödelin tulokset eivät vasaranneet joitain merkittäviä nauloja matematiikan deduktiivisen ideaalin yhden version arkkuun. Kaikelle matematiikalle ei voi olla yhtä rekursiivisesti aksiomaatisoituvaa muodollista järjestelmää, joka olisi (a) johdonmukainen, b) puhtaasti deduktiivinen ja (c) täydellinen. Yksi vastauslinja tähän vaikeuteen on tutkia vaihtoehtoja ei-deduktiivisille perusteille matematiikassa.

3. Vaihtoehtoiset ei-deduktiiviset menetelmät

3.1 Kokeellinen matematiikka

Ei-deduktiivisten menetelmien rooli empiirisessä tieteessä on helposti ilmeinen ja suhteellisen kiistanalainen (vauhti Karl Popper). Tosiaankin kanoninen perustelu tieteessä on jälkikäteen ja induktiivinen. Se, mikä tekee empiirisestä tieteestä empiirisen, on havainnoinnin ja etenkin kokeen keskeinen rooli. Luonnollisena lähtökohtana matematiikan ei-deduktiivisissa menetelmissä tehdyssä tutkimuksessa on siis tarkastella”kokeelliseen matematiikkaan” kutsuttu genren nousua. Viimeisen 15 vuoden aikana on ilmestynyt lehtien (esim. The Journal of Experimental Mathematics), instituuttien (esim. Essenin yliopiston kokeellisen matematiikan instituutti), keskustelujen (esim. Rutgers Universityn kokeellisen matematiikan kollokvio), ja tähän aiheeseen omistettuja kirjoja (esim. Borwein ja Bailey 2003 ja 2004). Jälkimmäiset kirjoittajat väittävät myös julkaisussa Borwein ja Bailey (2015) kokeellisen matematiikan merkityksestä matemaattisessa käytännössä yleisemmin, kun taas Sorensen (2016) tarjoaa laajemman kokeellisen matematiikan historiallisen ja sosiologisen analyysin.

Matemaattisten ja empiiristen tietoreittien välisen perinteisen dichotomian taustalla termi "kokeellinen matematiikka" vaikuttaa parhaimmillaan oksymoroniselta ja pahimmillaan suoraan paradoksaaliselta. Yksi luonnollinen ehdotus on, että kokeelliseen matematiikkaan sisältyy matemaattisten kokeiden suorittaminen, jolloin termi "kokeilu" tulkitaan mahdollisimman kirjaimellisesti. Tämä on van Bendegemin (1998) omaksuma lähestymistapa. Van Bendegemin mukaan kokeilu käsittää”esineiden manipuloinnin,” prosessien asettamisen”todelliseen” maailmaan ja… näiden prosessien mahdollisten tulosten tarkkailemisen”(Van Bendegem 1998, 172). Hänen ehdotuksensa on, että luonnollinen tapa saada alustava ote siihen, mikä matemaattinen kokeilu voi olla, on pohtia, miten kokeilulla tässä paradigmaattisessa merkityksessä voi olla matemaattisia seurauksia.

Yksi esimerkki siitä, että van Bendegem mainitsee vuodelta tekemästä työstä 19 : nnen -century Belgian fyysikko Plateau minimaalinen pinta-alan ongelmiin. Rakentamalla erilaisia geometrisia muotoja langasta ja upottamalla nämä lankakehykset saippuaratkaisuun, Plateau pystyi vastaamaan erityisiin kysymyksiin eri erityismuotoja sitovasta vähimmäispinnasta ja lopulta muotoilemaan joitain yleisiä periaatteita, jotka ohjaavat tällaisten pintojen kokoonpanoa. [6]Yksi tapa ymmärtää, mitä tässä esimerkissä tapahtuu, on se, että fysikaalinen kokeilu - lankakehyksen upottaminen saippualiuokkaan - tuottaa tuloksia, jotka liittyvät suoraan tiettyyn luokkaan matemaattisia ongelmia. Tämän kokeellisen matematiikan karakterisointitavan päähaittapuoli on, että se on liian rajoittava. Esimerkkejä van Bendegem -lainauksista on erittäin harvinaisia, joten tällaisten matemaattisten kokeiden vaikutus todelliseen matemaattiseen käytäntöön voi olla vain hyvin rajoitettu parhaimmillaan. Lisäksi matemaatikkojen mielessä ei voi olla vain tämä, kirjallinen kokeilun tarkoitus, kun he puhuvat kokeellisesta matematiikasta.

Niin paljon "matemaattisen kokeen" kirjaimellisimmasta lukemisesta. Mahdollisesti hedelmällisempi lähestymistapa on ajatella analogisesti tai toiminnallisesti. Toisin sanoen, ehkä”kokeellista matematiikkaa” käytetään merkitsemään aktiviteetteja, jotka toimivat matematiikassa samalla tavalla kuin kokeilun rooli empiirisessä luonnontieteessä. Siten matemaattisissa kokeissa voi olla joitain piirteitä kirjaimellisten kokeiden kanssa, mutta ei muita (Baker 2008; McEvoy 2008, 2013; Sorensen 2010; van Kerkhove 2008). Ennen kuin jatkat tätä analyysilinjaa, voi olla hyödyllistä tarkastella lyhyesti tapaustutkimusta.

Mukava esimerkki nykyisestä kokeellisesta matematiikasta tehdystä työstä esiintyy yhdessä Borweinin ja Baileyn (1995b, luku 4) viimeisistä kirjoista. Oikean luvun sanotaan olevan normaali kannassa n, jos jokaista kannan n (minkä tahansa pituisen) numerosarjaa esiintyy yhtä usein sen kanta-n-laajennuksessa. Luku on ehdottoman normaali, jos se on normaali jokaisessa kannassa. Mieti seuraavaa hypoteesia:

Arvailu: Jokainen ei-rationaalinen algebrallinen luku on ehdottoman normaali.

Borwein ja Bailey käyttivät tietokonetta laskeakseen 10 000 desimaalin tarkkuudella alle 1 000: n positiivisten kokonaislukujen neliöjuuret ja kuutiojuuret, ja sitten he alistivat nämä tiedot tietyille tilastollisille testeille.

Tässä esimerkissä on pari silmiinpistävää ominaisuutta, jotka voivat viitata kokeellisen matematiikan yleisempään karakterisointiin. Ensinnäkin reitti todisteesta hypoteesiin on enumeratiivisen induktion kautta. Toiseksi siihen sisältyy tietokoneiden käyttö. Seuraavaksi näitä kahta ominaisuutta tarkastellaan vuorotellen.

3.2 Laskeva induktio

Christian Goldbach totesi kirjeessä Eulerille, joka kirjoitettiin vuonna 1742, että kaikki parilliset yli 2-luvut ovat ilmaistavissa kahden alkumäärän summana. [7] Seuraavien kahden ja puolen vuosisadan aikana matemaatikot eivät ole pystyneet todistamaan Goldbachin olettamusta. Useille miljardeille esimerkeille on kuitenkin varmistettu, ja matemaatikot näyttävät olevan yksimielisiä siitä, että arvelut ovat todennäköisesti totta. Alla on osittainen luettelo (lokakuusta 2007 alkaen), joka näyttää suuruusjärjestyksen, johon asti kaikki parilliset numerot on tarkistettu ja osoitettu GC: n mukaisiksi.

Bound Päivämäärä kirjailija
1 × 10 3 1742 Euler
1 × 10 4 1885 Desboves
1 × 10 5 1938 Pipping
1 × 10 8 1965 Stein ja Stein
2 × 10 10 1989 Granville
1 × 10 14 1998 Deshouillers
1 × 10 18 2007 Oliveira ja Silva

Huolimatta tästä valtavasta yksittäisten positiivisten GC-tapausten kertymästä, jota on auttanut 1960-luvun alusta lähtien digitaalisen tietokoneen käyttöönotto ja sen myötä nopea nousu, ei ole vielä löydetty todisteita GC: stä. Paitsi tämä, mutta myös harvat lukuteoreetikot ovat optimistisia siitä, että lähteessä on todisteita. Kenttämitalisti Alan Baker totesi vuonna 2000 haastattelussa:”On epätodennäköistä, että pääsemme eteenpäin [GC: n todistamisessa] ilman suurta läpimurtoa. Valitettavasti horisontissa ei ole niin suurta ideaa.” Myös vuonna 2000 kustantajat Faber ja Faber tarjosivat 1 000 000 dollarin palkinnon jokaiselle, joka todisti GC: n välillä 20. maaliskuuta 2000 - 20. maaliskuuta 2002, vakuuttuneena siitä, että heidän rahansa olivat suhteellisen turvallisia.

Mikä tekee tämän tilanteen erityisen mielenkiintoiseksi, on se, että matemaatikot ovat jo kauan olleet varmoja GC: n totuudesta. Hardy & Littlewood väitti jo vuonna 1922, että”ei ole perusteltua epäilyä lauseen paikkansapitävyydestä”, ja Echeverria kirjoitti äskettäisessä tutkimusartikkelissa, että”matemaatikkojen varmuus GC: n totuudesta on täydellinen” (Echeverria 1996, 42). Lisäksi tämä luottamus GC: n totuuteen liittyy tyypillisesti nimenomaisesti induktiiviseen näyttöön: esimerkiksi GH Hardy kuvaili GC: n totuutta tukevaa numeerista näyttöä”ylivoimaisena”. Siksi vaikuttaa kohtuulliselta päätellä, että matemaatikkojen usko GC: hen on luetteleva induktiivinen näyttö.

Yksi matemaattisen tapauksen ominaispiirteistä, joka voi muuttaa laskennallisen induktion perusteluvoimaa, on järjestyksen tärkeys. Tapaukset, jotka kuuluvat tietyn matemaattisen hypoteesin piiriin (ainakin lukuteorian suhteen), on luontaisesti järjestetty, ja lisäksi sijainti tässä järjestyksessä voi tehdä ratkaisevan eron kyseisiin matemaattisiin ominaisuuksiin. Kuten Frege kirjoittaa, matematiikan suhteen:

[T] maa on epäsuotuisa induktiolle; sillä tässä ei ole yhtä yhdenmukaisuutta, joka muilla aloilla voisi antaa menetelmälle suuren luotettavuuden. (Frege, aritmeettiset perusteet)

Sitten Frege siteeraa Leibniziä, joka väittää, että suuruusero johtaa kaikenlaisiin muihin merkityksellisiin eroihin numeroiden välillä:

Parillinen luku voidaan jakaa kahteen yhtä suureen osaan, pariton luku ei voi; kolme ja kuusi ovat kolmionumeroita, neljä ja yhdeksän ovat neliöitä, kahdeksan on kuutio ja niin edelleen. (Frege, aritmeettiset perusteet)

Frege vertaa myös nimenomaisesti matemaattisia ja ei-matemaattisia konteksteja induktioon:

Tavallisissa induktioissa hyödynnämme usein hyvää väitettä, jonka mukaan jokainen sijainti avaruudessa ja jokainen ajankohta on sinänsä yhtä hyvä kuin kaikki muut. … Sijainti numerosarjassa ei ole välinpitämättömyys, kuten sijainti avaruudessa. (Frege, aritmeettiset perusteet)

Kuten Fregen huomautukset viittaavat, yksi tapa tukea argumenttia laskennallisen induktion käytöstä matematiikassa on jonkinlainen epäyhtenäisyyden periaate: todisteiden puuttuessa emme saa odottaa, että luvut (yleensä) jakavat mielenkiintoisia ominaisuuksia. Näin ollen toteamalla, että kiinteistöllä on tietty määrä, ei ole syytä ajatella, että toisella, mielivaltaisesti valitulla numerolla olisi myös tämä ominaisuus. [8] Sen sijaan kuin yhdenmukaisuusperiaate, jonka Hume ehdottaa olevan ainoa tapa maadoittaa induktio, meillä on melkein täysin päinvastainen periaate! Tästä periaatteesta näyttäisi seuraavan, että numeerinen induktio ei ole perusteltu, koska meidän ei pitäisi odottaa (äärellisten) näytteiden kokonaismäärää luonnollisista lukuista osoittavan universaalisia ominaisuuksia.

Mahdollisesti vielä vakavampi ongelma GC: n ja kaikissa muissa induktiotapauksissa matematiikassa on, että tarkastelemamme näyte on puolueellinen. Huomaa ensin, että kaikki tunnetut GC-esiintymät (ja todellakin kaikki tapaukset, jotka on mahdollista tietää) ovat tärkeässä merkityksessä pieniä.

Todellisessa mielessä ei ole suuria lukuja: Kaikkien nimenomaisten kokonaislukujen voidaan sanoa olevan "pieniä". Todellakin, riippumatta siitä kuinka monta numeroa tai torni eksponentteja kirjoitat, on ehdottomasti vain monia luonnollisia numeroita pienempiä kuin ehdokkaasi, ja äärettömän monia suurempia (Crandall ja Pomerance 2001, 2).

Tietenkin olisi väärin yksinkertaisesti valittaa siitä, että kaikki GC-tapaukset ovat rajalliset. Loppujen lopuksi jokainen luku on äärellinen, joten jos GC pitää kaikkia äärellisiä lukuja, GC pitää yksinkertaistajaa. [9] Mutta voimme eristää äärimmäisen tunteen pienisyydestä, jota voidaan kutsua pieneksi.

Määritelmä: Positiivinen kokonaisluku n on minuutti vain siinä tapauksessa, että n on lukualueella, jonka voimme kirjoittaa muistiin tavallisella desimaalimerkinnällä, mukaan lukien (ei iteroitu) eksponentraatio.

Tähän päivään mennessä vahvistetut GC-tapaukset eivät ole vain pieniä, vaan pieniä. Ja tarkkuuden, tietenkin melko epämääräisesti määritellyn, tiedetään vaikuttavan. Tarkastellaan esimerkiksi alkeistiheyden logaritmista arviota (ts. Tietyn n pienempien lukumäärien osuus, jotka ovat alkuluvut), jonka tiedetään aliarvioivan riittävän suuria n. Olkoon n * ensimmäinen numero, jolle logaritminen arvio on liian pieni. Jos Riemannin hypoteesi on totta, voidaan todistaa, että n *: n (ensimmäinen Skewes-luku) yläraja on 8 × 10 370. Vaikka se on uskomattoman suuri määrä, se on kuitenkin yllä olevan määritelmän mukainen minuutti. Kuitenkin, jos Riemannin hypoteesi on väärä kuin tunnetuin yläraja n *(toinen Swwes-luku) on 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 3. [10] Tarve keksimään tässä nuolimerkintä edustamaan tätä lukua kertoo meille, että se ei ole minuutti. Tämän tuloksen toinen osa, siis tosin ehdollisesti tuloksesta, jota pidetään epätodennäköisenä (nimittäin RH: n virheellisyys), merkitsee sitä, että on ominaisuus, jolla on kaikki minuutin numerot, mutta joka ei pidä kaikkia lukuja. Vähäisyydellä voi olla merkitystä.

Entä näennäinen luottamus, joka lukuisilla teoreetikoilla on GC: n totuuteen? Echeverria (1996) käsittelee Cantorin vuonna 1894 julkaiseman tärkeän roolin Goldbach-osiofunktion G (n) arvotaulukkoa n = 2 - 1 000 (Echeverria 1996, 29–30). Osiointitoiminto mittaa erillisten tapojen lukumäärää, joilla tietty (parillinen) luku voidaan ilmaista kahden alkumäärän summana. Siten G (4) = 1, G (6) = 1, G (8) = 1, G (10) = 2 jne. Tämä painopisteen siirtyminen osiointitoimintoon tapahtui samalla kun matemaatikkojen luotettavuus GC: hen lisääntyi dramaattisesti.. Cantorin työstä tuli ilmi, että G (n) pyrkii kasvamaan, kun n kasvaa. Huomaa, että mitä GC tarkoittaa tässä yhteydessä, on, että G (n) ei koskaan saa arvoa 0 (jokaiselle jopa n: lle suurempi kuin 2). Tietojen jakamistoiminnosta tekemä ylivoimainen vaikutelma on, että on erittäin epätodennäköistä, että GC epäonnistuu jollain suurella n. Esimerkiksi numeroissa, jotka ovat luokkaa 100 000, on ainakin 500 erillistä tapaa ilmaista jokainen parillinen luku kahden alkumäärän summana!

Nykyisessä muodossaan nämä tulokset ovat kuitenkin puhtaasti heuristisia. Kolmekymmentä vuotta sen jälkeen, kun Cantor julkaisi arvotaulukonsa (jota Echeverria on nimittänyt GC: n tutkimuksen " 2. jaksoksi"), nähtiin useita yrityksiä löytää analyyttinen lauseke G (n): lle. Jos tämä voitaisiin tehdä, olisi oletettavasti suhteellisen suoraviivaista todistaa, että tämä analyyttinen funktio ei koskaan saa arvoa 0 (Echeverria 1996, 31). Noin vuoteen 1921 mennessä pessimismi mahdollisuuksista löytää tällainen ilmaus johti painopisteen muutokseen, ja matemaatikot alkoivat ohjata huomionsa yrittäessään löytää alempia rajoja G (n): lle. Tämäkin on osoittautunut epäonnistuneeksi, ainakin toistaiseksi.

Siten osiointitoiminnon tarkastelu ei ole tuonut todistusta GC: stä lähempänä. Se antaa meille kuitenkin mahdollisuuden saada mielenkiintoinen käänne edellisen osan väitteisiin. Kaavio viittaa siihen, että vaikeimmat testitapaukset GC: lle tapahtuvat todennäköisesti pienimmistä lukuista; siten GC: n induktiivinen näyte on puolueellinen, mutta se on esijännitetty GC: n mahdollisuuksiin nähden. Matemaatikkojen luottamus GC: n totuuteen ei perustu puhtaasti laskennalliseen induktioon. Osiointitoiminnon arvot osoittavat, että positiivisten GC-tapausten näyte on todella puolueellinen, ja esijännitetyt näytteet eivät yleensä anna lainkaan tukea hypoteesille. Mutta tässä tapauksessa puolueellisuuden luonne tekee todisteista vahvempia, ei heikompia. Joten on mahdollista väittää, että laskennallinen induktio ei ole perusteltua, ja samalla olla samaa mieltä siitä, että matemaatikot ovat järkeviä uskoa GC: n käytettävissä olevien todisteiden perusteella. (Huomaa, että tässä on ylläpidettävä herkkää tasapainoa, koska osiofunktion käyttäytymistä koskevat todisteet eivät itsessään ole deduktiivisia. Vaikutus siihen, että G (n) rajoittuu todennäköisesti jonkin verran kasvavan analyyttisen funktion alapuolelle, ei kuitenkaan perustu laskelmiin induktio sinänsä, joten perustelu - vaikka ei deduktiivinen - ei ole pyöreä.)Vaikutus siitä, että G (n) todennäköisesti rajoittuu alapuolella jonkin verran kasvavan analyyttisen funktion kanssa, ei kuitenkaan perustu enumeratiiviseen induktioon sinänsä, joten perustelu, vaikka se ei ole deduktiivinen, ei ole pyöreä.)Vaikutus siitä, että G (n) todennäköisesti rajoittuu alapuolella jonkin verran kasvavan analyyttisen funktion kanssa, ei kuitenkaan perustu enumeratiiviseen induktioon sinänsä, joten perustelu, vaikka se ei ole deduktiivinen, ei ole pyöreä.)

Edellä mainitun keskustelun tulos, vaikkakin yksittäiseen tapaustutkimukseen perustuen, on, että matemaatikkojen ei pitäisi - ja yleensäkaan ei pidä antaa painoa laskennalliselle induktiolle sinänsä matemaattisten väitteiden perusteluissa. (Missä määrin laskennallisella induktiolla on merkitystä uusien hypoteesien löytämisessä tai sen valinnassa, mitä avoimia ongelmia matemaatikot päättävät työskennellä, on erillinen aihe, jota ei ole käsitelty tässä.) Tarkemmin sanottuna tutkielma on kahdessa osat:

  1. Laskevan induktion ei pitäisi lisätä luottamusta yleisiin matemaattisiin yleistyksiin (äärettömän alueen yli).
  2. Enumeratiivinen induktio ei (yleensä) johda matemaatikoita luottamaan tällaisten yleistysten päätelmien totuuteen.

3.3 Tietokonetodisteet

Nykyisen kokeellisen matematiikan työn silmiinpistävä piirre on, että se tehdään tietokoneilla. Onko se, että riippuvuus monimutkaisista elektroniikkakappaleista tekee kentästä "kokeellisen"? Jos tarkastellaan sitä, mitä julkaistaan nykyaikaisissa lehdissä, kirjoissa ja kokeelliselle matematiikalle omistetuissa konferensseissa, vaikuttaa siltä, että kaikki tuotteet ovat tiiviisti sidoksissa tietokoneisiin. Esimerkiksi, ei ilmeisesti ole ilmestynyt yhtäkään yli kymmenen vuoden mittaisessa kokeellisen matematiikan numerossa julkaisttua artikkelia, johon ei liity tietokoneiden käyttöä. Entä sellaiset esimerkit, joita matemaatikot yleensä tarjoavat kokeellisen matematiikan paradigmoina? Tiedot ovat epäselviä. Yhtäältä epävirallinen kysely viittaa siihen, että suurin osa tällaisista esimerkkeistä liittyy tietokoneiden nimenomaiseen käyttöön. Toisaalta, ei ole harvinaista, että matemaatikot mainitsevat myös yhden tai useamman historiallisen esimerkin,jo kauan ennen tietokonekautta, jaksona väitetyn sukutaulun kuvaamiseksi.

Suurin käytännöllinen haaste kokeellisen matematiikan rinnastamiseen tietokonepohjaiseen matematiikkaan tulee siitä, mitä itse muotoillut kokeelliset matemaatikot sanovat syntyvästä oppiaineestaan. Sillä kun matemaatikot pohtivat tietoisesti kokeellisen matematiikan käsitettä, he yleensä hylkäävät väitteen, jonka mukaan tietokoneiden käyttö on välttämätön ominaisuus. Esimerkiksi Experimental Mathematics -lehden toimittajat tekevät”filosofian lausunnossaan” lehden laajuutta ja luonnetta varten seuraavat huomautukset:

Sana”kokeellinen” on ajateltu laajasti: monet matemaattiset kokeet tehdään nykyään tietokoneilla, mutta muut ovat edelleen kynä- ja paperityön tulosta, ja on olemassa muitakin kokeellisia tekniikoita, kuten fyysisten mallien rakentaminen. (”Tavoitteet ja soveltamisala”, kokeellinen matematiikka - katso muut Internet-lähteet)

Ja tässä on toinen kohta, jolla on samanlainen maku matemaatikolta Doron Zeilbergeriltä:

[T] perinteistä kokeellista matematiikkaa ovat harjoittaneet kaikki suuret ja vähemmän suuret matemaatikot vuosisatojen ajan lyijykynällä ja paperilla. (Gallian ja Pearson 2007, 14)

Vaikuttaa reilulta sanoa, että kokeellisen matematiikan sitominen tietokonekäyttöön sopii hyvin siihen, mitä nykyaikaiset kokeelliset matemaatikot tekevät, mutta ei niin hyvin heidän sanomiensa kanssa. [11]

Toinen ongelma ehdotetussa karakterisoinnissa on luonteeltaan filosofisempi. Harkitse toista laajasti mainittua esimerkkiä kokeellisesta matematiikasta, joka syntyy Goldbachin olettamuksen yhteydessä. Huhtikuun 2007 kaikki parilliset numerot jopa 10 18 oli todennettu mukautumaan GC, ja tämä projekti (johdolla Oliveira e Silva) on käynnissä. Tätä massiivista laskentatehtävää pidetään yleensä paradigmaesimerkkinä kokeelliseen matematiikkaan. Ja näyttää siltä, että tietokoneilla on tässä keskeinen rooli: kukaan matemaatikko tai ryhmä matemaatikkoja ei voisi toivoa toistavansa 10 18 laskelmaa käsin.

Nykyisessä tilanteessa keskeinen kysymys ei ole siitä, onko tietokonepohjainen matematiikka 'kokeellista', vaan siitä, onko se ainakin joskus deduktiivinen. Yhdessä mielessä tietysti kaikki tietokoneen suorittamat yksittäiset laskelmat ovat deduktiivisia tai ainakin ne ovat isomorfisia puhtaasti deduktiivisen muodollisen järjestelmän toimintoihin. Kun tietokone tarkistaa GC-esiintymän, tämä varmennus on täysin deduktiivinen. Voimme sitten erottaa kaksi erillistä kysymystä. Ensinnäkin, ovatko nämä laskelmat epäjohtavaa roolia suuressa matemaattisessa argumentissa? Ja toiseksi, ovatko uskomukset, jotka muodostamme suoraan tietokonelaskelmien tuloksista, deduktiivisesti perusteltuja uskomuksia? Ensimmäinen näistä kysymyksistä ei ota käyttöön mitään erityistä tietokoneille,ja siten romahtaa takaisin kysymykseen, jota on käsitelty yllä olevassa luvussa 3 (B) luetelluista induktioista. Toista kysymystä tarkastellaan jäljempänä.

Filosofista keskustelua tietokonetodisteiden asemasta herätti suurelta osin Appelin ja Hakenin tietokonepohjainen todistus neliväriteoreesta vuonna 1976. Tymoczko väittää (1979) kiistanalaisesti, että tietokonetodisteisiin perustuva matemaattinen tieto on käytännössä empiiristä. luonteeltaan. Tämä johtuu siitä, että tällaiset todisteet eivät ole a priori, epävarmoja, eivät ole tutkittavissa, eikä ihmisen matemaatikot tarkista niitä. Kaikissa näissä suhteissa Tymoczkon mukaan tietokone-todisteet ovat toisin kuin perinteiset "lyijykynä ja paperi" -todisteet. Tutkimittavuudesta Tymoczko kirjoittaa:

Todiste on rakenne, jonka rationaalinen edustaja voi tarkastella, tarkistaa ja todentaa. Sanomme usein, että todisteen on oltava näkyvä tai sitä on voitava tarkistaa käsin. Se on näyttely, johdanto johtopäätöksestä, eikä se tarvitse mitään vakuuttavaa itsensä ulkopuolella. Matemaatikko tutkii todisteet kokonaisuudessaan ja tietää siten päätelmän. (Tymoczko 1979, 59)

Oletetaan väitteiden vuoksi, että kyseinen tietokonetodiste on deduktiivisesti oikein, mutta myös yllä mainitussa merkityksessä epätäydellinen. Sisältääkö päätöksemme tukeutua tietokoneen tuotokseen ei-deduktiiviseen menetelmään? Yksi tapa tarkastella tällaista esimerkkiä on kiilan johtaminen deduktiivisen menetelmän ja ei-deduktiivisen pääsemme välillä menetelmän tuloksiin. Vertaa esimerkiksi asiantuntijamatemaatikon kertomusta tietystä matemaattisesta tuloksesta (jolla on hyvät kokemukset). Onko tämä 'ei-deduktiivinen menetelmä'? [12]

3.4 Todennäköisyydet

On olemassa pieni, mutta kasvava osa matemaattisia menetelmiä, jotka ovat luonteeltaan olennaisesti todennäköisiä. Perustelun yhteydessä nämä menetelmät eivät tarkoita deduktiivisesti niiden tekemistä, vaan pikemminkin osoittavat, että johtopäätöksen totta on (usein täsmällisesti eriteltävissä) suuri. Filosofinen keskustelu näistä menetelmistä alkoi Fallisilla (1997, 2002), kun taas Berry (2019) on hyödyllinen viimeaikainen panos keskusteluun.

Yksi tyyppi todennäköisyysmenetelmiä liittyy takaisin aiempaan keskusteluun kokeellisesta matematiikasta siinä mielessä, että siihen sisältyy kokeiden suorittaminen varsin kirjaimellisessa merkityksessä. Ajatuksena on käyttää DNA: n prosessointitehoa tehokkaasti luomaan massiivisesti rinnakkainen tietokone tiettyjen muuten houkuttelemattomien yhdistelmäongelmien ratkaisemiseksi. Tunnetuin näistä on 'Matkustava myyntimies' -ongelma, johon sisältyy mahdollisen reitin määrittäminen sellaisen graafin solmujen läpi, joka on kytketty yksisuuntaisilla nuolilla ja joka käy jokaiseen solmuun tarkasti kerran. Adleman (1994) osoittaa, kuinka ongelma voidaan koodata käyttämällä DNA-juosteita, jotka voidaan sitten silmukoida ja yhdistää uudelleen käyttämällä erilaisia kemiallisia reaktioita. Tiettyjen pidempien DNA-juosteiden esiintyminen prosessin lopussa vastaa ratkaisupolun löytämistä kuvaajan läpi. Todennäköisyysnäkökohdat tulevat selkeimmin esiin silloin, kun DNA-juosteita ei löydy enää. Tämä osoittaa, että kaaviossa ei ole reittiä, mutta vaikka kokeilu olisi suoritettu oikein, tuki tässä ei täytä täydellistä varmuutta. Sillä on pieni mahdollisuus, että ratkaisu on olemassa, mutta mikään DNA-juoste ei koodaa sitä kokeen alussa.

Matematiikassa on myös todennäköisyysmenetelmiä, jotka eivät ole yllä olevassa mielessä kokeellisia. Esimerkiksi yhdistelmälukuilla (ts. Ei-alkuluku) on ominaisuuksia, joiden voidaan osoittaa pitävän suhteessa noin puoleen numeroista, jotka ovat pienempiä kuin tietty yhdistelmäluku. Jos satunnaisesti valitaan useita N: tä pienempiä lukuja ja yhdelläkään niistä ei ole tätä suhdetta N: ään, niin seuraa, että N on melkein varmasti prime. Tässä oleva todennäköisyysaste voidaan laskea tarkasti, ja se voidaan tehdä niin korkealle kuin tarvitaan valitsemalla lisää "todistajien" lukuja testattavaksi.

Huomaa, että tällaiset todennäköisyysmenetelmät sisältävät paljon puhtaasti deduktiivisia päättelyjä. Todellakin, toisessa esimerkissä tosiasia, että N: n todennäköisyys alkuluvuksi on 0,99, todetaan puhtaasti deduktiivisesti. Matemaattisessa yhteisössä on kuitenkin yleinen yksimielisyys siitä, että tällaiset menetelmät eivät ole hyväksyttäviä korvikkeita päätelmän deduktiiviselle todisteelle. Fallis (1997, 2002) väittää, että tämä hylkääminen ei ole kohtuullista, koska kaikilla todennäköisyysmenetelmillä, jotka voidaan osoittaa ongelmalliseksi, on joitain todisteita, jotka matemaattinen yhteisö hyväksyy. Fallis keskittyy totuuden vahvistamiseen matematiikan keskeiseksi episteemiseksi tavoitteeksi. Vaikuttaa kuitenkin todennäköiseltä, että yksi tärkein syy matemaatikkojen tyytymättömyyteen todennäköisyysmenetelmiin on, että he eivät selitä miksi heidän päätelmänsä ovat totta. Lisäksi Easwaran väittää Fallisia vastaan, että siellä on omaisuus, jota hän nimittää 'siirrettävyydeksi', jonka todennäköisyystodistuksista puuttuu ja hyväksyttävillä todisteilla on (Easwaran 2009; Jackson 2009). Fallis (2011) on vastaus joihinkin näistä väitteistä.

Toisaalta voi olla tapauksia, joissa väitteen paljain totuus tai virheellisyys on tärkeä, edes ilman selitystä. Voidaan esimerkiksi kuvitella tilanne, jossa harkitaan tärkeätä ja mielenkiintoista olettamusta - sanotaan Riemannin hypoteesia - ja käytetään todennäköisyysmenetelmää osoittamaan, että jokin luku on todennäköisesti vasta-esimerkki siihen. On mielenkiintoista pohtia, mikä matemaattisen yhteisön reaktio voi olla tähän tilanteeseen. Haluatko yrittää todistaa RH: n lakkaavan? Jatketaanko sitä, kunnes vasta-esimerkistä tehdään tiukka deduktiivinen todiste?

4. Yhteenveto / päätelmät

Ei ole selvää, miksi matematiikassa käytettyjen erilaisten deduktiivisten menetelmien tulisi odottaa jakavan muita olennaisia piirteitä kuin niiden vähentävyys. Filosofit, jotka tarkastelevat ei-deduktiivisten päättelyjen roolia löytön yhteydessä, ovat usein puhuneet ikään kuin löytyy yhtenäisyyttä (esimerkiksi Lakatosin todistusten ja väitteiden alaotsikko on”Matemaattisen löytön logiikka”.) että ei-deduktiivisten menetelmien joukko on monipuolinen ja heterogeeninen. (Vrt. Stanislaw Ulamin huomautus, että "epälineaarisen fysiikan tutkimus on kuin ei-norsubiologian tutkimus.")

Nykypäivän matematiikan filosofien työ jatkaa ei-deduktiivisten matemaattisten menetelmien tutkimuksen siirtämistä uusiin suuntiin. Yksi kiinnostava alue on”matemaattiset luonnolliset tyypit” ja sitä, voidaanko tällaista käsitettä perustella analogian käytölle matemaattisessa päättelyssä (Corfield 2004 [Other Internet Resources]). Toinen tutkittava alue on heurististen periaatteiden oletettu rooli matematiikassa. (Suuri osa tästä työstä jäljittää Pólyaan (1945).)

Kaikkien näiden keskustelujen taustakysymys koskee sitä, missä määrin jokaisella tietyllä ei-deduktiivisella menetelmällä on olennainen merkitys matematiikan perusteltavissa olevissa käytännöissä. Tämä kysymys nousee esiin sekä paikallisella että globaalilla tasolla. Paikallisella tasolla tietty päättely tietyn tuloksen perustelemiseksi voi olla väistämättä ei-deduktiivinen, mutta lopputulos voidaan vahvistaa myös jollain muulla, puhtaasti deduktiivisella päätelmällä. Globaalilla tasolla voi olla, että tiettyjen matemaattisten väitteiden ainoa perustelu on ei-deduktiivinen. Se, missä määrin ei-deduktiiviset menetelmät johtuvat käytännön rajoituksista eikä periaatteellisista rajoituksista, on edelleen tutkittava.

bibliografia

  • Adleman, L., 1994,”Yhdistelmäongelmiin liittyvien ratkaisujen molekyylin laskenta”, Tiede, CCLXVI: 1021–1024.
  • Andersen, L., 2018,”Hyväksyttävät aukot matemaattisissa todisteissa”, Synthese, URL = .
  • Avigad, J., 2006,”Matemaattinen menetelmä ja todistus”, Synthese, 153: 105–159.
  • –––, 2007, “5 kysymystä”, matematiikan filosofiassa: 5 kysymystä, V. Hendricks & H. Leitgeb (toim.), Kööpenhamina: Automaattinen lehdistö, s. 1–10.
  • Azzouni, J., 2013,”Keinotekoisten kielten johdannaisten suhde tavalliseen tiukkaan matemaattiseen todisteeseen”, Philosophia Mathematica, 21: 247–254.
  • –––, 2013,”Näemme, että jotkut kaavamaiset todisteet ovat täydellisesti tiukkoja”, Philosophia Mathematica, 21: 323–338.
  • Baker, A., 2007,”Onko matematiikan induktion ongelma?”, Matemaattisessa tiedossa, M. Leng, A. Paseau ja M. Potter (toim.), Oxford: Oxford University Press, s. 59– 73
  • –––, 2008,”Kokeellinen matematiikka”, Erkenntnis, 68: 331–344.
  • Berry, D., 2016,”Yhteisen tutkimuksen todisteet ja hyveet”, Philosophia Mathematica, 26: 112–130.
  • –––, 2019,”Pitäisikö matemaatikkojen pelata noppaa?”, Logique et Analyze, 246: 135–160.
  • Borwein, J., & D. Bailey, 2003, matematiikan kokeessa: Todennäköinen perustellut 21 st Century, Natick, MA: AK Peters.
  • –––, 2004, Matematiikan kokeilu: Laskennalliset polut löytölle, Natick, MA: AK Peters.
  • –––, 2015,”Kokeellinen matematiikka ontologisena pelimuuttajana: Nykyaikaisten matemaattisten laskentatyökalujen vaikutus matematiikan ontologiaan”, matematiikassa, aineessa ja oletuksessa, E. Davis ja P. Davis (toim.), Springer, s. 25–68.
  • Brown, J., 2008, Matematiikan filosofia: nykyaikainen johdatus todisteiden ja kuvien maailmaan, 2. painos, New York: Routledge.
  • Burgess, J., 1992,”Todisteet todistuksista: klassisen logiikan puolustus. Osa 1: Klassisen logiikan tavoitteet”, julkaisussa Proof, Logic and Formalization, M. Detlefsen (toim.), London and New York: Routledge, s. 8–23.
  • Carroll, L. [CL Dodgson], 1895,”Mitä kilpikonna sanoi Akillelle”, Mind, 4: 278–280.
  • Corfield, D., 2003, Kohti todellisen matematiikan filosofiaa, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Courant, R., ja H. Robbins, 1941, Mikä on matematiikka?, Oxford: Oxford University Press.
  • Crandall, R., ja C. Pomerance, 2001, Prime Numbers: Computational Perspective, New York: Springer-Verlag.
  • De Toffoli, S., ja V. Giardino, 2014,”Kaavioiden muodot ja roolit solmuteoriassa”, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
  • De Toffoli, S., 2017,”Kaaviota kaavio: Visuaalien käyttö algebrallisessa päättelyssä”, Review of Symbolic Logic, 10: 158–186.
  • Delariviere, S., ja Van Kerkhove, B., 2017, “Keinotekoinen matemaatikon tavoite: Matemaattisen ymmärryksen automatisoinnin (tutkimuksen) mahdollisuuden tutkiminen”, matematiikan ja sen filosofian humanisoinnissa, B. Sriraman (toim.), Springer International Publishing, s. 173–198.
  • Descartes, R., 1627–28, Säännöt mielen ohjaamiseksi, julkaisussa Descartes: Selections, R. Eaton (tr.), New York: Charles Scribnerin pojat, 1927, s. 38–83.
  • Detlefsen, M. (toim.), 1992, todistus, logiikka ja formalisointi, Lontoo ja New York: Routledge.
  • Dummett, M., 1978,”Wang's Paradox”, Truth and Other Enigmas, Lontoo: Duckworth, s. 248–268.
  • Easwaran, K., 2005,”Aksiomien rooli matematiikassa”, Erkenntnis, 68: 381–391.
  • –––, 2009,”Todennäköiset todisteet ja siirrettävyys”, Philosophia Mathematica, 17: 341–362.
  • Echeverria, J., 1996,”Empirical Methods in Mathematics. Tapaustutkimus: Goldbachin olettamus”, espanjalaisissa tieteiden filosofian tutkimuksissa, G. Munévar (toim.), Dordrecht: Kluwer, s. 19–55.
  • Fallis, D., 1997,”Todennäköisen todisteen episteeminen tila”, Journal of Philosophy, 94 (4): 165–186.
  • –––, 2002,”Mitä matemaatikot haluavat? Todennäköiset todisteet ja matemaatikkojen episteemiset tavoitteet”, Logique et Analyze, 45: 373–388.
  • –––, 2003,”Tavoitteelliset aukot matemaattisissa todisteissa”, Synthese, 134: 45–69.
  • –––, 2011,”Matemaatikkojen todennäköisyyden todisteet ja kollektiiviset episteemiset tavoitteet”, kollektiivisessa epistemologiassa, HB Schmid, D. Sirtes ja M. Weber (toim.), Ontos Verlag, s. 157–176.
  • Fontanella, L., 2019, “Kuinka valita uusia aksioomeja joukko-teoriaan?”, Refleksioissa matematiikan perusteista, D. Sarikaya, D. Kant & S. Centrone (toim.), Springer Verlag.
  • Franklin, J., 1987,”Ei-deduktiivinen logiikka matematiikassa”, British Journal for the Philosophy of Science, 38: 1–18.
  • Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch -hematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: W. Koebner. JL Austin, Oxford, Blackwell, toinen muutettu painos, 1974. Kääntänyt aritmeettisen perustan: Loogisen matemaattisen tutkimuksen lukumäärän käsitteestä: Blackwell, toinen muutettu painos, 1974. Uusintapainos 1980.
  • Gallian, J., ja M. Pearson, 2007,”Haastattelu Doron Zeilbergerin kanssa”, FOCUS (Amerikan matemaattisen yhdistyksen uutiskirje), 27 (5): 14–17.
  • Giaquinto, M., 2007, Visuaalinen ajattelu matematiikassa: epistemologinen tutkimus, Oxford: Oxford University Press.
  • Gonthier, G., et ai., 2008,”Muodollinen todiste - neliväriteore”, American Mathematical Society, 55 (11): 1382–1393.
  • Gonthier, G., 2013,”Koneellisesti todistettu pariton järjestyslause”, interaktiivisessa lauseessa, joka osoittaa: 4. kansainvälisen konferenssijulkaisun julkaisut, S. Blazy, C. Paulin-Mohring ja D. Pichardie (toim.), Berliini / Heidelberg: Springer-Verlag, s. 163–179.
  • Haack, S., 1976,”Vähennysten perustelu”, Mind, 85: 112–119.
  • Jackson, J., 2009,”Satunnaistetut väitteet ovat siirrettäviä”, Philosophia Mathematica, 17: 363–368.
  • Lakatos, I., 1976, todisteet ja väitteet, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 1980,”Mitä matemaattinen todistus osoittaa?”, Matematiikassa, luonnontieteessä ja epistemologiassa (Imre Lakatos: Philosophical Papers, osa 2), J. Worrall & G. Currie (toim.), Cambridge: Cambridge University Press, s. 61–69.
  • Lingamneni, S., 2017,”Voimmeko ratkaista jatkuvuushypoteesin?”, Synteesi, URL = <https://doi.org/10.1007/s11229-017-1648-9>.
  • Maddy, P., 1988,”Uskoen aksiioihin. I & II”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 481–511, 736–764.
  • –––, 1997, naturalismi matematiikassa, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2001, “Joitakin naturalistisia huomautuksia teoreettisesta menetelmästä”, Topoi, 20: 17–27.
  • –––, 2011, Aksioomien puolustaminen: Set-teorian filosofisilla perusteilla, Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, P., 2008, “Matemaattinen selitys: miksi sillä on merkitystä”, julkaisussa The Mathematical Practice Philosophy of Mathematical Practice, P. Mancosu (toim.), Oxford: Oxford University Press, s. 134–149.
  • McEvoy, M., 2008, “Tietokonetodisteiden epistemologinen tila”, Philosophia Mathematica, 16: 374–387.
  • –––, 2013,”Kokeellinen matematiikka, tietokoneet ja Priori”, Synthese, 190: 397–412.
  • Mumma, J., 2010,”Todisteet, kuvat ja Euklidit”, Synthese, 175: 255–287.
  • Paseau, A., 2015, “Matematiikan tuntemus ilman todistusta”, British Journal for the Philosophy of Science, 66: 775–799.
  • Pólya, G., 1945, Miten ratkaista se, Princeton: Princeton University Press.
  • Schlimm, D., 2013, “Aksiomat matemaattisessa käytännössä”, Philosophia Mathematica, 21: 37–92.
  • Shin, S., ja O. Lemon, 2008,”Diagrams”, Stanfordin filosofian tietosanakirja (talvi 2008 -painos), Edward N. Zalta (toim.), URL = .
  • Sorensen, HK, 2010,”Tutkimuskokeilu kokeellisessa matematiikassa: välähdys PSLQ-algoritmissa”, matematiikan filosofia: sosiologiset näkökohdat ja matemaattinen harjoittelu, B. Lowe & T. Muller (toim.), Lontoo: College Publications, pp 341–360.
  • –––, 2016,”todistuksen loppu”? Erilaisten matemaattisten kulttuurien integrointi ikään liittyviksi kokeellisiksi matemaattisiksi matematiikoiksi”, matemaattisissa kulttuureissa, B. Larvor (toim.), Cham: Birkhauser, s. 139–160.
  • Steiner, M., 1993,”Katsaus todisteisiin, logiikkaan ja formalisointiin”, Journal of Symbolic Logic, 58 (4): 1459–1462.
  • Tennant, N., 2005,”Säännön kiertävyys ja vähennyksen perusteet”, filosofinen neljännesvuosi, 55: 625–648.
  • te Riele, H., 1987,”Eron merkistä p (x) –Li (x)”, Laskennan matematiikka, 48: 323–328.
  • Tymoczko, T., 1979,”Neliväritehtävä ja sen filosofinen merkitys”, Journal of Philosophy, 76 (2): 57–83.
  • van Bendegem, J., 1998, "Mikä, jos jotain, on kokeilu matematiikassa?", filosofia ja luonnon monet kasvot, D. Anapolitanos, et ai. (toim.), London: Rowman & Littlefield, s. 172–182.
  • van Kerkhove, B., ja J. van Bendegem, 2008,”Pi maan päällä”, Erkenntnis, 68: 421–435.

Akateemiset työkalut

sep mies kuvake
sep mies kuvake
Kuinka mainita tämä merkintä.
sep mies kuvake
sep mies kuvake
Esikatsele tämän tekstin PDF-versio SEP-Ystävien ystävissä.
inpho-kuvake
inpho-kuvake
Katso tätä kirjoitusaihetta Internet Philosophy Ontology Projektista (InPhO).
phil paperit -kuvake
phil paperit -kuvake
Parannettu bibliografia tälle merkinnälle PhilPapersissa, linkkien avulla tietokantaan.

Muut Internet-resurssit

  • David Epsteinin vuonna 1992 perustaman Experimental Mathematics -lehden tavoitteet ja soveltamisala.
  • Matematiikan filosofia: sosiologiset näkökohdat ja matemaattinen harjoittelu, Benedikt Löwe ja Thomas Müller (koordinointi).
  • Corfield, D., 2004,”Matemaattiset tyypit tai olemaan ystävällinen matematiikan suhteen”, PhilSci-arkistossa, Pittsburghin yliopistossa.

Suositeltava: