Platonismi Matematiikan Filosofiassa

Sisällysluettelo:

Platonismi Matematiikan Filosofiassa
Platonismi Matematiikan Filosofiassa

Video: Platonismi Matematiikan Filosofiassa

Video: Platonismi Matematiikan Filosofiassa
Video: PHILOSOPHY - Plato 2024, Maaliskuu
Anonim

Maahantulon navigointi

  • Kilpailun sisältö
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Ystävät PDF-esikatselu
  • Kirjailija- ja viittaustiedot
  • Takaisin alkuun

Platonismi matematiikan filosofiassa

Ensimmäinen julkaistu lauantaina 18. heinäkuuta 2009; aineellinen versio to 18.1.2018

Matematiikkaa (tai matemaattista platonismia) käsittelevä platonismi on metafyysinen näkemys siitä, että on olemassa abstrakteja matemaattisia esineitä, joiden olemassaolo on riippumaton meistä ja kielestämme, ajattelustamme ja käytännöistämme. Aivan kuten elektronit ja planeetat ovat olemassa meistä riippumattomasti, niin tapahtuvat myös numerot ja joukot. Ja aivan kuten lausunnot elektronista ja planeetoista tekevät totta tai epätosi objektien suhteen, joihin he ovat kiinnostuneita, ja näiden esineiden täysin objektiiviset ominaisuudet, samoin kuin lauseet numeroista ja ryhmistä. Matemaattisia totuuksia siis löydetään, ei keksitty.

Tärkein argumentti abstraktien matemaattisten kohteiden olemassaololle on peräisin Gottlob Fregestä ja seuraa seuraavaa (Frege 1953). Matematiikan kielen tarkoituksena on viitata abstraktiin matemaattisiin objekteihin ja niiden määrällisesti ilmaista. Ja suuri joukko matemaattisia lauseita on totta. Mutta lause ei voi olla totta, ellei sen alalausekkeet onnistu tekemään mitä he väittävät tekevän. Joten on olemassa abstrakteja matemaattisia esineitä, joihin nämä lausekkeet viittaavat ja kvantifioivat.

Fregen väitteestä huolimatta, filosofit ovat kehittäneet erilaisia vastalauseita matemaattiselle platonismille. Siksi abstraktien matemaattisten kohteiden väitetään olevan epistemologisesti saavuttamattomia ja metafyysisesti ongelmallisia. Matemaattinen platonismi on ollut viime vuosikymmenien aikana yksi kuumimmin keskusteltuista aiheista matematiikan filosofiassa.

  • 1. Mikä on matemaattinen platonismi?

    • 1.1 Historialliset huomautukset
    • 1.2 Matemaattisen platonismin filosofinen merkitys
    • 1.3 Objektien realismi
    • 1.4 Totuusarvoinen realismi
    • 1.5 Platonismin matemaattinen merkitys
  • 2. Fregean olemassaolon peruste

    • 2.1 Argumentin rakenne
    • 2.2 Klassisen semantiikan puolustaminen
    • 2.3 Totuuden puolustaminen
    • 2.4 Ontologisen sitoutumisen käsite
    • 2.5 Olemisesta matemaattiseen platonismiin?
  • 3. Väitteet matemaattiselle platonismille

    • 3.1 Epistemologinen pääsy
    • 3.2 Metafyysinen vastaväite
    • 3.3 Muut metafyysiset vastaväitteet
  • 4. Objektirealismin ja matemaattisen platonismin välillä

    • 4.1 Kuinka ymmärtää itsenäisyyttä
    • 4.2 Kokonaisvaltainen platonismi
    • 4.3 Kevyt semanttinen arvo
    • 4.4 Kaksi muuta kevyttä muotoa esinerealismista
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Muut Internet-resurssit
  • Aiheeseen liittyvät merkinnät

1. Mikä on matemaattinen platonismi?

Matemaattinen platonismi voidaan määritellä seuraavien kolmen opinnäytetyön yhdistelmänä:

Olemassaolo.

On olemassa matemaattisia esineitä.

Tiivistelmä.

Matemaattiset esineet ovat abstrakteja.

Itsenäisyys.

Matemaattiset esineet ovat riippumattomia älykkäistä aineista ja heidän kielestä, ajatuksesta ja käytännöistä.

Jotkut edustavat”matemaattisen platonismin” määritelmät on lueteltu lisäyksessä

Jotkut määritelmät plaonismista

ja dokumentoida, että yllä oleva määritelmä on melko vakio.

Platonismi yleensä (toisin kuin erityisesti matematiikan platonismi) on mikä tahansa näkemys, joka syntyy kolmesta edellä esitetystä väitteestä korvaamalla adjektiivi 'matemaattinen' millä tahansa muulla adjektiivilla.

Kaksi ensimmäistä vaatimusta ovat selvästi esillä olevassa tarkoituksessa. Olemassaolo voidaan muodollistaa muodossa '∃ x Mx', jossa 'Mx' lyhentaa predikaattia 'x on matemaattinen objekti', joka pätee kaikkiin ja vain puhtaan matematiikan tutkimiin kohteisiin, kuten lukuihin, joukkoihin ja funktioihin. Tiivistelmä sanoo, että jokainen matemaattinen esine on abstrakti, missä kohteen sanotaan olevan abstrakti vain siinä tapauksessa, että se on ei-väliaikaisesti ajallinen ja (siksi) syy-tehoton. (Katso lisätietoja abstrakteja esineitä koskevasta kohdasta.)

Riippumattomuus ei ole yhtä selvä kuin kaksi muuta väitettä. Mitä tarkoittaa tällaisen riippumattomuuden omistaminen esineelle? Ilmeisin kiilto on todennäköisesti kontrafaktuaalinen ehto, että ellei mitään älykkäitä aineita olisi ollut tai jos heidän kielensä, ajatuksensa tai käytänteensä olisivat olleet erilaisia, matemaattisia esineitä olisi silti ollut. On kuitenkin kyseenalaista, että tämä kiilto tekee kaiken työn, jonka itsenäisyyden on tarkoitus tehdä (katso kohta 4.1). Toistaiseksi itsenäisyys jätetään hieman kaavamaiseksi.

1.1 Historialliset huomautukset

Platonismi on erotettava historiallisen Platonin näkemyksestä. Harvat osapuolet nykyisestä keskustelusta platonismista esittävät voimakkaita eksegeettisiä väitteitä Platonin näkemyksestä, vähemmän puolustavat sitä. Vaikka näkemys, jota kutsumme “platonismiksi”, on inspiroinut Platonin kuuluisasta abstraktien ja iankaikkisten muotojen teoriasta (katso Platonin metafysiikan ja epistemologian alakohta), platonismi on nyt määritelty ja siitä keskustellaan alkuperäisestä historiallisesta inspiraatiostaan riippumatta.

Paitsi, että käsiteltävänä oleva platonismi ei ole Platonin, myös edellä kuvattu platonismi on puhtaasti metafyysinen näkemys: se olisi erotettava muista näkemyksistä, joilla on aineellista epistemologista sisältöä. Monet vanhemmat platonismin karakterisoinnit lisäävät vahvoja epistemologisia väitteitä siitä, että meillä on välitön käsitys abstraktien esineiden vallasta tai näkemys siitä. (Ks. Esim. Rees 1967.) Mutta on hyödyllistä (ja nykyään melko vakio) varata termi "platonismi" edellä kuvatulle puhtaasti metafysikaaliselle näkemykselle. Monet filosofit, jotka puolustavat platonismia tässä puhtaasti metafysikaalisessa mielessä, hylkäisivät lisäepistemologiset väitteet. Esimerkkejä ovat Quine ja muut filosofit, jotka houkuttelevat ns. Välttämättömyyttä koskevaa väitettä, jonka tarkoituksena on antaa matemaattiselle platonismille laaja empiirinen puolustus.(Ks. Kohta välttämättömyyden perusteista matematiikan filosofiassa.)

Lopuksi, edellä mainittu”matemaattisen platonismin” määritelmä sulkee pois väitteen, jonka mukaan kaikki puhtaan matematiikan totuudet ovat välttämättömiä, vaikka tämä väite on perinteisesti esittänyt useimmat platonistit. Tätä poissulkemista perustellaan jälleen sillä, että jotkut filosofit, joita pidetään yleensä platonisteina (esimerkiksi Quine ja jotkut edellä mainitun välttämättömyyden perusteen kannattajat), hylkäävät tämän lisämodaaliväitteen.

1.2 Matemaattisen platonismin filosofinen merkitys

Matemaattisella platonismilla on huomattava filosofinen merkitys. Jos näkemys on totta, se painostaa suurta fyysisen ajatusta siitä, että fyysinen on loppu todellisuudesta. Platonismi merkitsee sitä, että todellisuus ulottuu huomattavasti fyysisen maailman ulkopuolelle ja sisältää esineitä, jotka eivät ole osa syy-ja spatiotemporaalista järjestystä, jota fysikaaliset tieteet tutkivat. [1] Matemaattinen platonismi, jos se on totta, asettaa myös suuren paineen monille naturalistisille tiedon teorioille. Sillä ei ole epäilystäkään siitä, että meillä on matemaattisia tietoja. Matemaattisen platonismin totuus siis osoittaisi, että meillä on tietoa abstrakteista (ja siten kausaalisesti tehottomista) esineistä. Tämä olisi tärkeä löytö, johon monet naturalistiset teoriat pyrkivät sopeutumaan.

Vaikka nämä filosofiset seuraukset eivät ole ainutlaatuisia matemaattiselle platonismille, tämä erityinen platonismin muoto sopii epätavallisen hyvin tällaisten seurausten tukemiseen. Matematiikka on erittäin menestyvä oppiaine, sekä itsenäisesti että muiden tieteiden työkaluna. [2] Harvat nykyajan analyyttiset filosofit ovat halukkaita ristiriidassa niiden tieteenalojen, joiden tieteelliset valtakirjat ovat yhtä vahvoja kuin matematiikan, ytimen väitteiden kanssa (Lewis 1991, s. 57–9). Joten jos filosofinen analyysi paljasti matematiikan olevan omituisia ja yllättäviä seurauksia, ei olisi houkuttelevaa yksinkertaisesti hylätä matematiikka. [3]Platonismin muoto, joka perustuu tieteenalaan, jonka tieteelliset valtakirjat ovat vähemmän vaikuttavia kuin matematiikan, eivät olisi tässä onnekas tilanteessa. Esimerkiksi kun teologialla osoittautuu olevan omituisia ja yllättäviä filosofisia seurauksia, monet filosofit eivät epäröi hylätä teologian asiaankuuluvia osia.

1.3 Objektien realismi

Olkoon objektirealismi näkemys, että abstraktit matemaattiset objektit ovat olemassa. Objektirealismi on siis vain olemassaolon ja abstraktisuuden yhdistelmä. [4] Objektirealismi vastustaa nimellisyyttä, joka nykyfilosofiassa määritellään tyypillisesti näkemykseksi siitä, että abstraktia esineitä ei ole. (Perinteisessä filosofisessa käytössä sana 'nominalismi' viittaa sen sijaan näkemykseen, että universaalia ei ole. Katso Burgess & Rosen 1997, s. 13–25 ja kohta abstrakteille esineille.)

Koska objektirealismi jättää itsenäisyyden pois, tämä näkemys on loogisesti heikompi kuin matemaattinen platonismi. Objektirealismin filosofiset seuraukset eivät siten ole yhtä vahvoja kuin platonismin. Monet fyysikot hyväksyisivät ei-fyysiset esineet edellyttäen, että ne ovat riippuvaisia fysikaalisista esineistä tai voidaan vähentää niihin. He voivat esimerkiksi hyväksyä esineitä, kuten yrityksiä, lakeja ja runoja, edellyttäen että nämä ovat sopivasti riippuvaisia tai vähennettävissä fyysisiin esineisiin. Lisäksi vaikuttaa siltä, ettei ole mitään mysteeri episteemisestä pääsystä ei-fyysisiin esineisiin, jotka olemme jotenkin tehneet tai "muodostaneet". Jos yritykset, lait ja runot ovat meidän tekemiä tai "perustamia", oletettavasti saamme niistä tietoa valmistusprosessissa tai "perustamisessa".

Jotkut näkemykset matematiikan filosofiasta ovat objektirealistisia olematta platonisteja. Yksi esimerkki on perinteiset intuitionistiset näkemykset, jotka vahvistavat matemaattisten esineiden olemassaolon, mutta väittävät, että nämä objektit ovat riippuvaisia matemaatikoista ja heidän toiminnastaan tai niiden muodostamia. [5] Joitakin muita esimerkkejä näkemyksistä, jotka ovat objektirealistisia olematta platonisteja, käsitellään luvussa 4.

1.4 Totuusarvoinen realismi

Totuusarvo realismi on näkemys, että jokaisella hyvin muodostuneella matemaattisella lausunnolla on ainutlaatuinen ja objektiivinen totuusarvo, joka on riippumaton siitä, tunnemmeko sen meille ja seuraako se loogisesti nykyisistä matemaattisista teorioistamme. Näkemyksen mukaan useimmat tosiseikkoina pidettävät matemaattiset väitteet ovatkin totta. Joten totuusarvoinen realismi on selvästi metafyysinen näkemys. Mutta toisin kuin platonismi, se ei ole ontologinen näkemys. Sillä vaikka totuusarvo realismi väittää, että matemaattisilla lauseilla on ainutlaatuisia ja objektiivisia totuusarvoja, se ei ole sitoutunut selvästi platonistiseen ajatukseen, että nämä totuusarvot on selitettävä matemaattisten esineiden ontologian avulla.

Matemaattinen platonismi motivoi selvästi totuus-arvorealismia tarjoamalla selvityksen siitä, kuinka matemaattiset lausunnot saavat totuusarvonsa. Entinen näkemys ei edellytä jälkimmäistä, ellei uusia tiloja lisätä. Vaikka matemaattisia objekteja onkin, viite- ja kvantitatiivinen epämääräisyys voi estää matemaattiset lausunnot yksilöllisen ja objektiivisen totuusarvon. Sitä vastoin totuusarvoinen realismi ei sinällään tarkoita olemassaoloa, joten se ei tarkoita kohderealismia eikä platonismia. Sillä on monia selityksiä siitä, kuinka matemaattisilla lauseilla voi olla yksilöitäviä ja objektiivisia totuusarvoja, jotka eivät aseta matemaattisten kohteiden valtakuntaa. [6]

Itse asiassa monet nominalistit kannattavat totuusarvoista realismia, ainakin matematiikan perusaloista, kuten aritmeettisista. Tämän tyyppiset nimittäjät ovat sitoutuneet hiukan outoon kuulostavaan näkemykseen, vaikkakin tavanomainen matemaattinen lausunto

(1) Alkulukujen lukumäärä on 10 - 20.

on totta, että matemaattisia objekteja ei oikeastaan ole ja siten erityisesti ei ole lukuja. Mutta tässä ei ole ristiriitaa. Meidän on erotettava kieli L M, jossa matemaatikot esittävät väitteensä, ja kieli L P, jossa nominalistit ja muut filosofit esittävät väitteensä. Lause (1) on tehty L M: ssä. Mutta nominaalin väite, että (1) on totta, mutta että abstraktia esineitä ei ole, esitetään LP: ssä. Nominalistien väite on siis täysin johdonmukainen, mikäli (1) käännetään ei-homofonisesti L M: stä L P: ksi. Ja todellakin, kun nominalisti väittää, että L M: n lauseiden totuuden arvoton kiinnitetty tavalla, joka ei houkuttele matemaattisia objekteja, hänellä on juuri tällainen ei-homofoninen käännös. Edellisessä huomautuksessa mainittu näkemys on esimerkki.

Tämä osoittaa, että väitteen olemassaololla on aiottu vaikutus, se on ilmaistava kielellä L P, jota me filosofit käyttämme. Jos väite ilmaistiin matemaatikoiden käyttämällä kielellä L M, niin nominalistit voisivat hyväksyä väitteen kieltäytyessään silti matemaattisten esineiden olemassaolosta, vastoin väitteen tarkoitusta.

Pieni mutta tärkeä filosofien perinne vaatii, että keskustelu platonismista korvataan tai ainakin muutetaan keskusteluksi totuuden ja arvon realismista. Yksi syy tämän näkemyksen tueksi on se, että entinen keskustelu on toivottoman epäselvää, kun taas jälkimmäinen on paremmin jäljitettävissä (Dummett 1978a, s. 228–232 ja Dummett 1991b, s. 10–15). Toinen tarjottu syy on se, että keskustelu totuusarvon realismista on tärkeämpi sekä filosofialle että matematiikalle kuin keskustelu platonismista. [7]

1.5 Platonismin matemaattinen merkitys

Toimiva realismi on metodologinen näkemys siitä, että matematiikkaa tulisi harjoittaa ikään kuin platonismi olisi totta (Bernays 1935, Shapiro 1997, s. 21–27 ja 38–44). Tämä vaatii selitystä. Matematiikan perusteita koskevissa keskusteluissa platonismia on usein käytetty puolustamaan tiettyjä matemaattisia menetelmiä, kuten esimerkiksi:

  1. Klassiset ensimmäisen asteen (tai vahvemmat) kielet, joiden yksikkötermit ja kvantifioijat näyttävät viittaavan matemaattisiin objekteihin. (Tämä on ristiriidassa kielten kanssa, jotka hallitsivat aiemmin matematiikan historiassa, jotka luottavat enemmän rakentavaan ja modaaliseen sanastoon.)
  2. Klassinen eikä intuitionistinen logiikka.
  3. Ei-rakentavat menetelmät (kuten ei-rakentavat olemassaolotodistukset) ja ei-rakentavat axiomat (kuten Axiom of Choice).
  4. Vaikuttamattomat määritelmät (ts. Määritelmät, jotka kvantitoivat kokonaisuuden, johon määritettävä kohde kuuluisi).
  5. 'Hilbertian optimismi', eli usko, että jokainen matemaattinen ongelma on periaatteessa ratkaistavissa. [8]

Toimivan realismin mukaan nämä ja muut klassiset menetelmät ovat hyväksyttäviä ja käytettävissä kaikissa matemaattisissa perusteluissa. Toimiva realismi ei kuitenkaan ota kantaa siihen, vaativatko nämä menetelmät filosofista puolustusta, ja jos on, onko tämän puolustuksen perustuttava platonismiin. Lyhyesti sanottuna, kun platonismi on selkeästi filosofinen näkemys, toimiva realismi on ennen kaikkea itse matematiikan näkemys tämän oppiaineen oikeasta menetelmästä. Platonismi ja toimiva realismi ovat siis erillisiä näkemyksiä.

Näkemysten välillä voi tietenkin kuitenkin olla loogisia suhteita. Toimivan realismin alkuperän perusteella ei ole yllättävää, että näkemys saa vahvan tuen matemaattisesta platonismista. Oletetaan, että matemaattinen platonismi on totta. Silloin matematiikan kielen pitäisi selvästi olla i alakohdassa kuvattua. Toiseksi, jos on perusteltua klassisesti päätellä mitä tahansa itsenäisesti olemassa olevaa todellisuuden osaa, (ii) sitä seuraisi myös. Kolmanneksi, koska platonismi varmistaa matematiikan löytämisen eikä keksimisen, matemaatikkojen ei tarvitsisi rajoittua rakentaviin menetelmiin ja aksioomiin, mikä vahvistaa (iii). Neljänneksi, Gödelistä (1944) johtuu voimakas ja vaikutusvaltainen argumentti, jonka mukaan epämääräiset määritelmät ovat laillisia aina, kun määriteltävät kohteet esiintyvät määritelmistämme riippumatta.(Esimerkiksi 'luokan korkein poika' näyttää olevan ongelmaton huolimatta siitä, että se on epäselvä.) Jos tämä on totta, seuraa (iv). Viimeinkin, jos matematiikka koskee jotakin itsenäisesti olemassa olevaa todellisuutta, niin jokaisella matemaattisella ongelmalla on ainutlaatuinen ja päättäväinen vastaus, joka tarjoaa ainakin jonkin verran motivaatiota Hilbertian optimismiin. (Ks. Kuitenkin keskustelu täydellisestä platonismista kappaleessa 4.2.)

Matemaattisen platonismin totuudella olisi siten tärkeitä seurauksia itse matematiikassa. Se perustelee toimivaan realismiin liittyvät klassiset menetelmät ja rohkaisee etsimään uusia aksioomeja sellaisten kysymysten ratkaisemiseksi (kuten Jatkuvuushypoteesi), jotka nykyiset matemaattiset teoriat ovat jättäneet auki.

Toimiva realismi ei kuitenkaan missään nimessä tarkoita platonismia. Vaikka toimiva realismi sanoo, että meillä on perusteltua käyttää nykyajan matematiikan platonistista kieltä, tämä ei vastaa platonismista ainakaan kahdella tavalla. Kuten edellä esitetty totuusarvo realismin keskustelu osoitti, matematiikan platonistinen kieli voidaan analysoida siten, että vältetään viittaukset matemaattisiin kohteisiin ja niiden kvantifiointi. Lisäksi, vaikka matematiikan kielen nimellisarvoanalyysi voitaisiin perustella, se tukee kohderealismia, mutta ei platonismia. Lisäargumenttia tarvitaan platonismin kolmanteen komponenttiin, nimittäin Itsenäisyyteen. Tällaisen väitteen mahdollisuuksia käsitellään osassa 4.1.

2. Fregean olemassaolon peruste

Kuvailemme nyt mallin matemaattisten kohteiden olemassaoloa koskevasta argumentista. Koska ensimmäinen filosofi, joka kehitti tämän yleisen muodon argumentin, oli Frege, siitä käytetään nimitystä Fregean-argumentti. Mutta malli on yleinen ja poimii Fregen oman puolustuksen erityisimpiä puolia matemaattisten kohteiden olemassaolosta, kuten hänen näkemyksensä, jonka mukaan aritmeettinen voidaan vähentää logiikkaan. Fregean logistiikka on vain yksi tapa, jolla tätä mallia voidaan kehittää; joitain muita tapoja mainitaan jäljempänä.

2.1 Argumentin rakenne

Fregean-argumentti perustuu kahteen olettamaan, joista ensimmäinen koskee matematiikan kielen semantiikkaa:

Klassinen semantiikka.

Matematiikan kielen yksikkötermit tarkoittavat matemaattisia objekteja, ja sen ensimmäisen asteen kvantifioijat tarkoittavat, että ne vaihtelevat sellaisten objektien välillä.

Sana 'väite' on selitettävä. Kun lause S haluaa viitata tai kvantifioida tietyllä tavalla, tämä tarkoittaa, että jotta S olisi totta, S: n on onnistuttava viittaamaan tai kvantifioimaan tällä tavalla.

Toinen lähtökohta ei vaadi paljon selityksiä:

Totuus.

Useimmat matemaattisiksi lauseiksi hyväksytyt lauseet ovat totta (riippumatta niiden syntaktiisesta ja semanttisesta rakenteesta).

Harkitse lauseita, jotka hyväksytään matemaattisina lauseina ja jotka sisältävät yhden tai useamman matemaattisen yksikkötermin. Vuoteen Totuus, useimmat näistä lauseet ovat totta. [9] Olkoon S yksi tällainen lause. Vuoteen Klassinen semantiikka, totuus S edellyttää, että sen yksikkömuodossa onnistuu viittaavat matemaattisten esineitä. Siksi on oltava matemaattisia esineitä, kuten olemassaolo väittää. [10]

2.2 Klassisen semantiikan puolustaminen

Klassinen semantiikka väittää, että matematiikan kieli toimii semanttisesti samalla tavalla kuin yleisten funktioiden kieli (tai ainakin sen on perinteisesti oletettu toimivan): Singulaaritermien ja kvantisointien semanttisten funktioiden tarkoitetaan vastaavasti esineitä ja etäisyyttä objektien välillä. Tämä on laajasti empiirinen väite ammatillisten matemaatikkojen yhteisön käyttämän puolimuodollisen kielen toiminnasta. (Burgess & Rosen 1997 laajasti hyväksytyssä terminologiassa, s. 6–7, klassinen semantiikka on hermeneutinen väite; ts. Se on kuvaava väite siitä, kuinka tiettyä kieltä todella käytetään, ei normatiivinen väite siitä, kuinka tämä kieli käy tulisi käyttää.) Huomaa myös, että klassinen semantiikkaon yhteensopiva semantiikan perinteisimpien näkemysten kanssa; Erityisesti se on yhteensopiva kaikkien lauseiden merkitystä koskevien standardinäkemysten kanssa, nimittäin sen, että ne ovat totuusarvoja, ehdotuksia tai mahdollisten maailmojen ryhmiä.

Klassisella semantiikalla on vahva ensi arviolta uskottavuus. Matematiikan kielellä näyttää olevan vahvasti sama semanttinen rakenne kuin tavallisella ei-matemaattisella kielellä. Kuten Burgess (1999) huomauttaa, seuraavilla kahdella lauseella näyttää olevan sama yksinkertainen semanttinen rakenne kuin subjektille osoitetulla predikaattilla (s. 288):

(4) Evelyn on ensisijainen.

(5) Yksitoista on tärkein.

Tätä ulkoasua tukevat myös kielitieteilijöiden ja semantiikkien ehdottamat tavanomaiset semanttiset analyysit.

Klassinen semantiikka on kuitenkin haastanut esimerkiksi nominalistit, kuten Hellman (1989) ja Hofweber (2005 ja 2016). (Katso myös Moltmann (2013) eräistä haasteista, jotka koskevat luonnollisen kielen aritmeettista sanastoa.) Tämä ei ole paikka laajalle keskustelulle sellaisista haasteista. Haluan vain huomauttaa, että tällaisen haasteen perustelemiseksi tarvitaan paljon työtä. Haastajan on väitettävä, että matemaattisten ja ei-matemaattisten kielten ilmeiset semanttiset yhtäläisyydet ovat harhaanjohtavia. Ja näiden väitteiden on oltava sellaisia, että kielitieteilijöiden ja semantiikkien - joilla ei ole kiinnostusta matematiikan filosofiaan - voitaisiin tunnustaa olevan merkittäviä. [11]

2.3 Totuuden puolustaminen

Totuutta voidaan puolustaa monin eri tavoin. Kaikille puolustuksille on yhteistä, että ne yksilöivät ensin standardin, jolla matemaattisten lauseiden totuusarvot voidaan arvioida, ja väittävät sitten, että matemaattiset lauseet täyttävät tämän standardin.

Yksi vaihtoehto on vedota standardiin, joka on perustavanlaatuisempi kuin itse matematiikka. Logistiikka on esimerkki. Frege ja muut logistikot väittävät ensin, että mikä tahansa puhtaan logiikan lause on totta. Sitten he yrittävät osoittaa, että tiettyjen matematiikan alojen lauseet voidaan todistaa pelkästään logiikasta ja määritelmistä.

Toinen vaihtoehto on vedota empiirisen tieteen standardeihin. Quine-Putnam-välttämättömyysperuste on esimerkki. Aluksi väitetään, että mikä tahansa välttämätön osa empiiristä tiedettä on todennäköisesti totta ja siksi jotain, jonka uskomme olevan perusteltua. Sitten väitetään, että suuret määrät matematiikkaa ovat välttämättömiä empiiriselle tiedelle. Jos molemmat väitteet ovat oikein, seuraa, että totuus on todennäköisesti totta ja että usko totuuteen on sen vuoksi perusteltu. (Ks. Kohta välttämättömyyden perusteista matematiikan filosofiassa.)

Kolmas vaihtoehto on vedota itse matematiikan standardeihin. Miksi matemaattisten lauseiden totuuden puolustamiseksi pitäisi vedota muihin kuin matemaattisiin standardeihin, kuten logiikkaan tai empiirisiin tieteisiin? Kun puolustamme logiikan ja fysiikan väitteiden totuutta, meidän ei tarvitse vedota standardiin, jotka ovat logiikan ja fysiikan ulkopuolella. Oletetaan pikemminkin, että logiikka ja fysiikka tarjoavat omat perustelunsa sui generis -standardit. Miksi matematiikan pitäisi olla erilainen? Tämä kolmas strategia on saanut viime vuosina paljon huomiota, usein otsikon "naturalismi" tai "matemaattinen naturalismi" alla. (Katso Burgess & Rosen 1997, Maddy 1997, ja katso kriittistä keskustelua varten naturalismin kohta matematiikan filosofiassa.)

Tässä on esimerkki siitä, kuinka naturalistista strategiaa voidaan kehittää. Kutsu matemaatikkojen suhtautuminen matematiikan lauseisiin 'hyväksymiseen'. Sitten seuraavat väitteet vaikuttavat uskottavilta:

(6) Matemaatikkojen on perusteltua hyväksyä matematiikan lauseita.

(7) Matemaattisen lausunnon S hyväksyminen merkitsee S: n totta.

(8) Kun matemaatikko hyväksyy matemaattisen lausunnon S, tämän asenteen sisältö on yleensä S: n kirjaimellinen merkitys.

Näistä kolmesta väitteestä seuraa, että matemaattisilla asiantuntijoilla on perusteltua suhtautua matematiikan lauseisiin kirjaimellisina totuuksina. Laajentamalla myös meillä muilla on perusteltua uskoa totuuteen. Huomaa, että asiantuntijoiden, joita (6) koskee, ei tarvitse itse uskoa (7) ja (8), puhumattakaan perusteluista tällaiselle vakaumukselle. Tärkeää on, että nämä kolme väitettä ovat totta. Kohdat (7) ja (8) totuuden selvittämisestä saattavat kuulua kielitieteilijöille, psykologeille, sosiologeille tai filosofille, mutta eivät todellakaan itse matemaatikoille.

2.4 Ontologisen sitoutumisen käsite

Fregean-argumentin versiot esitetään joskus ontologisen sitoutumisen käsitteenä. Oletetaan, että toimimme vakiona Quinean-ontologisen sitoutumisen kriteerillä:

Quinen kriteeri.

Ensimmäisen asteen lause (tai tällaisten lauseiden kokoelma) ontologisesti sitoutuu sellaisiin esineisiin, joiden on oletettava olevan lauseen (tai lausekokoelman) muuttujien alueella totta.

Sitten klassisesta semantiikasta seuraa, että monet matematiikan lauseet ontologisesti sitoutuneet matemaattisiin kohteisiin. Tätä varten tarkastellaan tyypillistä matemaattista lausea S, johon sisältyy jonkin verran normaalien jatkeiden esiintymistä joko yksikkötermeillä tai ensimmäisen kertaluvun kvantitaateilla. Vuoteen Klassinen semantiikka, näitä ilmaisuja väitetään viitata tai aluetta, matemaattinen esineitä. Jotta S olisi totta, näiden ilmaisujen on onnistuttava tekemään mitä he väittävät tekevän. Jotta S olisi totta, muuttujien alueella on oltava matemaattisia objekteja. By Quine kriteeriä tämä tarkoittaa, että S on ontologisesti sitoutunut matemaattinen esineitä.

Quine ja monet muut pitävät Quine'n kriteeriä hiukan muutakin kuin termin "ontologinen sitoutuminen" määritelmänä (Quine 1969 ja Burgess 2004). Mutta kriteeri on silti riitautettu. Jotkut filosofit kiistävät, että yksikkötermit ja ensimmäisen asteen kvantifioijat johtavat automaattisesti ontologisiin sitoumuksiin. Ehkä se, mitä "vaaditaan maailmalta", jotta lause täyttyy, liittyy joidenkin, muttei kaikkien, kvantifiointialueella olevien esineiden olemassaoloon (Rayo 2008). Tai ehkä meidän pitäisi katkaista yhteys ensimmäisen kertaluvun egzistenssisen kvantitaattorin ja ontologisen sitoutumisen käsitteen välillä (Azzouni 2004, Hofweber 2000 ja 2016).

Yksi vastaus näihin haasteisiin on havaita, että Fregean-väite kehitettiin edellä ilman, että olisi käytetty termiä "ontologinen sitoutuminen". Siksi kaikki haasteet Quine'sin kriteerin "ontologisen sitoutumisen" määritelmälle vaikuttavat merkityksettömäksi edellä kehitetyn Fregean-väitteen version suhteen. Tämä vastaus ei kuitenkaan todennäköisesti tyydytä haastajia, jotka vastaavat siihen, että edellä esitetyn väitteen johtopäätös on liian heikko, jotta sillä olisi aiottu vaikutus. Muista, että johtopäätös, olemassaolo, on virallistettu filosofisessa metakielessämme L Pmuodossa '∃ x Mx'. Joten tällä virallisella muodostumisella ei ole aiottua vaikutusta, ellei tämä metakielen lause ole sellainen, johon liittyy ontologinen sitoutuminen. Mutta juuri siitä haastajat kiistävät. Tätä kiistaa ei voida jatkaa täällä. Toistaiseksi huomaamme vain, että haastajien on annettava selvitys siitä, miksi heidän epästandardi käsitys ontologisesta sitoutumisesta on parempi ja teoreettisesti mielenkiintoisempi kuin Quineanin tavanomainen käsitys.

2.5. Olemisesta matemaattiseen platonismiin?

Oletetaan, että hyväksymme olemassaolon, joka perustuu ehkä Fregean-väitteeseen. Kuten olemme nähneet, tätä ei vielä tarvitse hyväksyä matemaattista platonismia, mikä on seurausta lisäämällä olemassaoloon kaksi muuta väitettä abstraktiisuus ja itsenäisyys. Ovatko nämä kaksi muuta vaatimusta perusteltavissa?

Filosofian standardien mukaan abstraktiisuus on pysynyt suhteellisen kiistanalaisena. Niiden harvojen filosofien joukossa, jotka ovat kiistäneet sen, ovat Maddy (1990) (kosteista sarjoista) ja Bigelow (1988) (koskien sarjoja ja erilaisia numeroita). Tämä suhteellisen kiistanalainen puute tarkoittaa, että harvat nimenomaiset abstraktisuuden puolustukset osoittavaton kehitetty. Mutta ei ole vaikea nähdä kuinka tällainen puolustus voisi mennä. Tässä on yksi idea. Kaikille matemaattisen käytännön filosofisille tulkinnille on uskottava ennakkorajoitus, että niiden tulisi välttää osoittamasta matematiikalle sellaisia piirteitä, jotka tekisivät todellisesta matemaattisesta käytännöstä väärän tai riittämättömän. Tämän rajoituksen vuoksi on vaikea kiistää, että puhtaan matematiikan kohteet ovat abstrakteja. Sillä jos näillä objekteilla olisi epäsemporaalisia sijainteja, todellinen matemaattinen harjoittelu olisi väärää ja riittämätöntä, koska puhtaan matematiikan on silloin kiinnostettava esineidensä sijainteja, aivan kuten zoologistit kiinnostavat eläinten sijainteja. Se, että puhtaat matemaatikot eivät kiinnosta tätä kysymystä, viittaa siihen, että heidän esineensä ovat abstrakteja.

Itsenäisyyden mukaan matemaattiset esineet, mikäli niitä on, ovat riippumattomia älykkäistä aineista ja heidän kielestään, ajatuksistaan ja käytännöistään. Keskustelemme luvussa 4, mitä tämä opinnäytetyö voi tarkoittaa ja miten sitä voidaan puolustaa.

3. Väitteet matemaattiselle platonismille

Matemaattiselle platonismille on kehitetty erilaisia vastalauseita. Tässä ovat tärkeimmät.

3.1 Epistemologinen pääsy

Vaikuttavin vastaväite on todennäköisesti Benacerrafin (1973) inspiroima vastalause. Seuraava on parannettu versio Benacerrafin vastaväitteestä, joka johtuu Fieldistä (1989). [12] Tämä versio perustuu seuraaviin kolmeen oletukseen.

Lähtökohta 1. Matemaatikot ovat luotettavia siinä mielessä, että melkein jokaiselle matemaattiselle lauseelle S, jos matemaatikot hyväksyvät S: n, niin S on totta.
Lähtökohta 2. Jotta matematiikkausko voidaan perustella, on ainakin periaatteessa voitava selittää lähtökohdassa 1 kuvattu luotettavuus.
Lähtökohta 3. Jos matemaattinen platonismi on totta, tätä luotettavuutta ei voida selittää edes periaatteessa.

Jos nämä kolme lähtökohtaa ovat oikein, seuraa, että matemaattinen platonismi on perustella perusteemme uskoa matematiikkaan.

Mutta ovatko tilat oikein? Kaksi ensimmäistä tilannetta ovat suhteellisen kiistanalaisia. Useimmat platonistit ovat jo sitoutuneet lähtökohtaan 1. Ja lähtökohta 2 näyttää melko turvalliselta. Jos jonkin uskomuksenmuodostusmenettelyn luotettavuutta ei edes periaatteessa voitaisi selittää, menettely tuntuisi toimivan puhtaasti sattumalta, mikä heikentäisi kaikkia perusteluja, joita meillä on tällä tavoin tuotettuihin uskomuksiin.

Lähtökohta 3 on paljon kiistanalaisempi. Field puolustaa tätä lähtökohtaa huomauttamalla, että”matemaattisten väitteidemme totuusarvot riippuvat tosiasioista, joihin liittyy platonisia kokonaisuuksia, jotka asuvat avaruusajan ulkopuolella olevassa valtakunnassa” (Field 1989, s. 68) ja ovat siten syyllisessä erillään meistä jopa periaate. Tämä puolustus olettaa kuitenkin, että kaikkiin kyseisen luotettavuuden riittäviin selityksiin on liityttävä syy-korrelaatio. Useat filosofit ovat haastaneet tämän, ja ne ovat ehdottaneet pienempiä selityksiä luotettavuusväitteelle. (Katso Burgess & Rosen 1997, s. 41–49 ja Lewis 1991, s. 111–112; vrt. Myös Clarke-Doane 2016. Katso kritiikki Linnebo 2006: lta.) [13]

3.2 Metafyysinen vastaväite

Toinen kuuluisa Benacerrafin artikkeli kehittää metafyysisen vastalauseen matemaattiselle platonismille (Benacerraf 1965, vrt. Myös Kitcher 1978). Vaikka Benacerraf keskittyy aritmetiikkaan, väite luonnollisesti yleistyy useimpiin puhtaisiin matemaattisiin kohteisiin.

Benacerraf avautuu puolustamalla sitä, mitä nykyään tunnetaan rakenteellisena näkemyksenä luonnollisista numeroista, joiden mukaan luonnollisilla numeroilla ei ole muita ominaisuuksia kuin ne, jotka heillä on sen vuoksi, että ne ovat ω-sekvenssin sijainteja. Esimerkiksi, numerolla 3 ei ole muuta merkitystä kuin se, että sillä on tietyt rakenteellisesti määritellyt relaatiominaisuudet, kuten seuraavanlainen 2, puolet kuudesta ja ensisijainen. Huolimatta siitä, kuinka ahkerasti opiskelemme aritmeettista ja joukkoteoriaa, emme koskaan tiedä, onko 3 identtinen neljännen von Neumann-ordinaalin kanssa vai vastaavan Zermelo-ordinaalin kanssa, vai kenties, kuten Frege ehdotti, kaikkien kolmen jäsenten luokan kanssa (jossain järjestelmässä, joka sallii tällaisten luokkien olemassaolon).

Benacerraf tekee nyt seuraavan johtopäätöksen:

Siksi numerot eivät ole lainkaan objekteja, koska antamalla numeroiden ominaisuuksille vain luonnehdit abstraktia rakennetta - ja ero tehdään siinä, että rakenteen "elementeillä" ei ole muita ominaisuuksia kuin ne, jotka liittyvät niihin muihin " elementit”. (Benacerraf 1965, s. 291)

Toisin sanoen Benacerraf väittää, että ei voi olla esineitä, joilla ei ole muuta kuin rakenteellisia ominaisuuksia. Kaikilla esineillä on oltava myös joitain ei-rakenteellisia ominaisuuksia. (Katso Benacerraf 1996, jos haluat myöhemmin pohtia tätä väitettä.)

Benacerrafin väitteen molemmat vaiheet ovat kiistanalaisia. Ensimmäistä askelta - että luonnollisilla lukuilla on vain rakenteellisia ominaisuuksia - ovat viime aikoina puolustaneet monet matemaattiset rakenteelliset tekijät (Parsons 1990, Resnik 1997 ja Shapiro 1997). Mutta logistiikka ja uuslogistiikka kiistävät tämän askeleen, väittäen, että luonnolliset luvut ovat luonteeltaan sidoksissa numeroitujen kokoelmien kardinaliteetteihin. Ja toisen vaiheen - että ei voi olla objekteja, joilla on vain rakenteellisia ominaisuuksia - hylkäävät nimenomaisesti kaikki ensimmäisen vaiheen puolustavat rakenteelliset edustajat. (Joitakin toiseen vaiheeseen sympaattisia ääniä varten katso Hellman 2001 ja MacBride 2005. Katso keskusteluksi myös Linnebo 2008.)

3.3 Muut metafyysiset vastaväitteet

Benacerrafin lisäksi on kehitetty erilaisia metafyysisiä vastaväitteitä matemaattiselle platonismille. Yksi kuuluisimmista esimerkeistä on argumentti Nelson Goodmanin vastustamasta asetettua teoriaa. Goodman (1956) puolustaa nominalismin periaatetta, jonka mukaan aina kun kahdella kokonaisuudella on samat perusosat, ne ovat identtisiä. Tätä periaatetta voidaan pitää tutun laajennetun teoreettisen aksiooman vahvistamisena. Laajennuksen aksiooma väittää, että jos kahdella joukolla x ja y on samat elementit - ts. Jos ∀ u (u ∈ x ↔ u ∈ y) -, ne ovat sitten identtisiä. Nominalismin periaate saadaan korvaamalla jäsensuhde transitiivisellä sulkemisella. [14]Periaatteessa todetaan siis, että jos x ja y vastaavat samojen yksilöiden ∈ *: lle, ts. Jos ∀ u (u ∈ * x ↔ u ∈ * y), niin x ja y ovat identtisiä. Hyväksymällä tämän periaatteen Goodman estää joukkojen ja luokkien muodostumisen sallimalla vain mereologisten summien muodostumisen ja soveltamisen tavanomaisissa mereologisissa operaatioissa (kuten hänen”yksilölaskentonsa” kuvaa).

Goodmanin nimellisyysperiaatteen puolustamista pidetään kuitenkin nykyään laajalti epäluotettavana, mikä käy ilmi filosofien ja matemaatikkojen laajasta hyväksymisestä joukkoteoriassa laillisena ja arvokkaana matematiikan osana.

4. Objektirealismin ja matemaattisen platonismin välillä

Objektirealismin mukaan abstrakteja matemaattisia objekteja on olemassa, platonismi lisää riippumattomuutta, jonka mukaan matemaattiset objektit ovat riippumattomia älykkäistä agenteista ja heidän kielestään, ajattelustaan ja käytännöistään. Tässä viimeisessä osassa tarkastellaan joitain kevyitä esinerealismin muotoja, jotka eivät ole täydellistä platonismia.

4.1 Kuinka ymmärtää itsenäisyyttä

Luonnollinen itsenäisyyden kiilto on kontrafaktuaalinen ehdollisuus, jos matemaattisia esineitä olisi silti ollut, jos mitään älykkäitä edustajia ei olisi ollut tai jos heidän kielensä, ajatuksensa tai käytänteensä olisivat sopivasti erilaisia.

Useimmat analyyttiset filosofit hyväksyvät tämän kontrafaktuaalisen riippumattomuuden (kuten voimme kutsua sitä). Katso, miksi, ota huomioon matematiikan rooli päättelyssämme. Mietimme usein tilanteista, jotka eivät ole todellisia. Olisimmeko esimerkiksi rakentamassa siltaa tämän kanjonin yli, kuinka vahvan sen pitäisi olla kestämään voimakkaita tuulenpuuskia? Valitettavasti edellinen silta romahti. Olisiko se tehnyt niin, jos teräspalkit olisivat olleet kaksi kertaa paksummat? Tällainen kontrafaktuaalisten skenaarioiden perustelu on välttämätöntä sekä päivittäisissä keskusteluissamme että tieteessä. Tällaisen päättelyn sallittavuudella on tärkeä seuraus. Koska puhtaan matematiikan totuuksiin voidaan vedota vapaasti koko kontrafaktaalisen päättelymme aikana, seuraa, että nämä totuudet ovat tosiasiallisesti riippumattomia meistä ihmisistä,ja kaikki muu älykäs elämä asiasta. Eli jos älykästä elämää ei olisi ollut, nämä totuudet olisivat pysyneet samoina.

Puhdas matematiikka on tässä suhteessa hyvin erilainen kuin tavalliset empiiriset totuudet. Jos älykästä elämää ei olisi koskaan ollut, tätä artikkelia ei olisi kirjoitettu. Vielä mielenkiintoisempaa on, että puhdas matematiikka on ristiriidassa erilaisten sosiaalisten konventioiden ja rakenteiden kanssa, joita joskus verrataan (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Jos älykästä elämää ei olisi koskaan olemassa, ei olisi ollut lakeja, sopimuksia tai avioliittoja - silti matemaattiset totuudet olisivat pysyneet samana.

Siten, jos riippumattomuutta ymmärretään pelkästään kontrafaktuaalisena itsenäisyytenä, niin jokaisen, joka hyväksyy esinerealismin, tulisi myös hyväksyä platonismi.

On epävarmaa, että tämä itsenäisyyden käsitys on kuitenkin riittävä. Sillä Riippumattomuus on tarkoitus näyttää toteen analogian matemaattisten objektien ja tavallinen fyysinen esineitä. Aivan kuten elektronit ja planeetat ovat olemassa meistä riippumattomasti, niin tapahtuvat myös numerot ja joukot. Ja aivan kuten lausunnot elektronista ja planeetoista tekevät totta tai epätosi objektien suhteen, joihin he ovat kiinnostuneita, ja näiden esineiden täysin objektiiviset ominaisuudet, samoin kuin lauseet numeroista ja ryhmistä. Lyhyesti sanottuna, matemaattiset esineet ovat yhtä “todellisia” kuin tavalliset fyysiset esineet (ellei vielä enemmän, kuten Platon ajatteli).

Tarkastellaan nyt joitain näkemyksiä, jotka hylkäävät tämän itsenäisyyden vahvemman käsityksen mainitun analogian kannalta. Nämä näkemykset ovat siten kevyitä esinerealismin muotoja, jotka eivät ole täysin täydellistä platonismia.

4.2 Kokonaisvaltainen platonismi

Yksi esinerealismien kevyt muoto on Balaguerin 1998”täysiverinen platonismi”. Tälle näkemykselle on tunnusomaista runsauden periaate, jonka mukaan mahdolliset matemaattiset esineet, jotka voivat olla olemassa, ovat olemassa. Esimerkiksi, koska jatkuvahypoteesi on riippumaton joukkoteorian tavanomaisesta aksiomatizisaatiosta, on joukko joukkojoukkoja, joissa hypoteesi on totta ja toinen, jossa se on väärä. Ja kumpikaan universumi ei ole metafyysisesti etuoikeutettu. Sitä vastoin perinteinen platonismi väittää, että on olemassa ainutlaatuinen joukkojen maailmankaikkeus, joissa Jatkuvuushypoteesi on joko ehdottomasti totta tai ehdottomasti väärä. [15]

Yksi tämän täydellisen näkemyksen väitetty hyöty on matematiikan epistemologiassa. Jos jokainen johdonmukainen matemaattinen teoria on totta jokaisesta matemaattisten kohteiden universumista, niin matemaattinen tieto on jossain mielessä helppo hankkia: edellyttäen, että matemaattiset teoriamme ovat johdonmukaisia, niiden taataan olevan totta joillekin matemaattisten kohteiden universumeille.

Täysivertainen platonismi on kuitenkin saanut paljon kritiikkiä. Colyvan ja Zalta 1999 arvostelevat sitä matematiikan kohteisiin viittaamisen mahdollisuuksien heikentämisestä, ja Restall 2003, koska näkemys perustuu täydellisyyden periaatteen tarkkaan ja johdonmukaiseen muotoiluun. Martin (2001) ehdottaa, että joukkojen eri universumit yhdistetään yhdeksi maksimaaliseksi maailmankaikkeudeksi, joka on etuoikeutettu sovittamalla käsitysmme setistä paremmin kuin mikään muu joukkojen universumi.

Linsky & Zalta 1995: ssä kehitettiin erilainen versio täydellisestä platonismista ja sarja muita artikkeleita. (Ks. Esimerkiksi Linsky & Zalta 2006 ja muut siihen viitatut artikkelit.) Perinteinen platonismi menee pieleen, kun”suunnitellaan abstrakteja esineitä fyysisten esineiden malliin” (Linsky & Zalta 1995, s. 533), mukaan lukien Erityisesti ajatus siitä, että tällaiset esineet ovat pikemminkin "harvinaisia" kuin leveitä. Linsky ja Zalta kehittävät vaihtoehtoisen lähestymistavan toisen kirjoittajan”objektiteorian” perusteella. Objektiteorian pääpiirteenä on hyvin yleinen ymmärtämisperiaate, joka vakuuttaa abstraktien esineiden runsauden olemassaolon: kaikissa ominaisuuksien kokoelmissa on abstrakti esine, joka “koodaa” juuri nämä ominaisuudet. Objektiteoriassa,kaksi abstraktia esinettä ovat identtisiä vain siinä tapauksessa, että ne koodaavat täsmälleen samat ominaisuudet. Objektiteorian ymmärtämisperiaatteen ja identiteettikriteerin sanotaan "tarjoavan yhteyden kognitiivisen ymmärryksen tiedekunnan ja abstraktien esineiden välille" (ibid., S. 547). (Katso kriittistä keskustelua Ebert & Rossberg 2007).

4.3 Kevyt semanttinen arvo

Oletetaan, että esineiden realismi on totta. Oletuksena on, että olettaa myös klassisen semantiikan. Nämä oletukset varmistavat, että matemaattisen kielen yksikkötermit ja kvantifioijat viittaavat abstraktiin kohteisiin ja ovat niiden välillä. Olisiko näiden oletusten vuoksi oltava myös matemaattinen platonisti? Toisin sanoen täyttävätkö esineet, joihin matemaattiset lauseet viittaavat ja kvantifioivat, riippumattomuuden tai muun vastaavan ehdon?

On hyödyllistä toistaa oletuksemme neutraalimmin. Voimme tehdä tämän vedoten ajatukseen semanttisesta arvosta, jolla on tärkeä rooli semantiikassa ja kielen filosofiassa. Näillä kentillä oletetaan laajasti, että jokainen lauseke antaa jonkin verran selkeän kuvan lauseiden totuusarvoon, joissa lauseke esiintyy. Tämä osuus tunnetaan lausekkeen semanttisena arvona. Laajasti oletetaan, että (ainakin laajennuskonteksteissa) yksikkötermin semanttinen arvo on vain sen viite.

Oletuksemme voidaan nyt todeta puolueettomasti väitteenä, että matemaattisilla yksikkötermeillä on abstraktit semanttiset arvot ja että sen kvantifioijat vaihtelevat sellaisten esineiden välillä, jotka toimivat semanttisina arvoina. Keskitytään väitteeseen yksikkötermeistä. Mikä on tämän väitteen filosofisella merkityksellä? Tukeeko se erityisesti jotakin itsenäisyysversiota ? Vastaus riippuu siitä, mitä vaaditaan matemaattisella yksittäisellä termillä semanttisen arvon saamiseksi.

Jotkut filosofit väittävät, ettei vaadita kovinkaan paljon (Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Wright 1983, Hale & Wright 2000, Rayo 2013 ja Linnebo 2012 ja 2018). Riittää, että termi t antaa selkeän kuvan lauseiden totuudellisista arvoista, joissa se esiintyy. Semanttisen arvon käsitteen koko tarkoitus oli edustaa tällaisia panoksia. Siksi riittää, että yksikkötermällä on semanttinen arvo, että se antaa tällaisen sopivan panoksen.

Tämä voi jopa avata tietyn muodon ei-eliminoivalle reduktivismiselle matemaattisissa kohteissa (Dummett 1991a, Linnebo 2018). Vaikka on täysin totta, että matemaattisella yksikkötermällä t on semanttisena arvona abstrakti kohde, tämä totuus voi saada sellaisten perustietojen perusteella, joissa ei mainita tai joihin ei liity merkityksellistä abstraktia kohdetta. Vertaa esimerkiksi henkilön ja hänen pankkitilin välistä omistussuhdetta. Vaikka on täysin totta, että henkilö omistaa pankkitilin, tämä totuus voi saada selkeämpien sosiologisten tai psykologisten tosiasioiden perusteella, joissa ei mainita pankkitiliä.

Jos jokin kevyt semanttisten arvojen kuvaus on puolustettavissa, voimme hyväksyä esinerealismin ja klassisen semantiikan oletukset sitoutumatta mihinkään perinteiseen tai vankkaan platonismin muotoon.

4.4 Kaksi muuta kevyttä muotoa esinerealismista

Lopuksi kuvaamme kahta muuta esimerkkiä objektirealismin kevyistä muodoista, jotka hylkäävät platonistisen analogian matemaattisten kohteiden ja tavallisten fyysisten esineiden välillä.

Ensinnäkin, matemaattiset esineet ovat olemassa vain potentiaalisella tavalla, mikä on ristiriidassa tavallisten fyysisten esineiden todellisen olemassaolomuodon kanssa. Tämä ajatus on potentiaalisen äärettömyyden muinaisen käsityksen ydin (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). Aristoteleen mukaan luonnolliset numerot ovat potentiaalisesti äärettömiä siinä mielessä, että kuinka suuri määrä meitäkin olemme tuottaneet (pilkkomalla se fyysisessä maailmassa), on mahdollista tuottaa vielä suurempi luku. Mutta Aristoteles kiistää sen, että luonnolliset luvut olisivat todella äärettömiä: tämä vaatisi fyysisen maailman olevan ääretön, mikä hänen mukaansa on mahdotonta.

Cantorin jälkeen useimmat matemaatikot ja filosofit puolustavat nyt luonnollisten lukujen todellista äärettömyyttä. Tämä on mahdollista osittain kieltämällä aristotelilaisen vaatimus, jonka mukaan jokainen numero on välitettävä fyysisessä maailmassa. Kun tämä kielletään, luonnollisten lukujen todellinen äärettömyys ei enää tarkoita fyysisen maailman todellista äärettömyyttä.

Eräälle potentiaalisuudelle joukkojen hierarkian suhteen on kuitenkin edelleen huomattavaa tukea etenkin sarjojen iteratiivisen käsityksen yhteydessä (Parsons 1977, Jané 2010, Linnebo 2013, Studd 2013). Riippumatta siitä kuinka monta sarjaa on muodostettu, on mahdollista muodostaa vielä enemmän. Jos totta, se tarkoittaisi, että sarjoilla on potentiaalinen olemassaolomuoto, joka erottaa ne selvästi tavallisista fyysisistä esineistä.

Toiseksi, ehkä matemaattiset esineet ovat ontologisesti riippuvaisia tai johdannaisia tavalla, joka erottaa ne itsenäisesti olemassa olevista fysikaalisista esineistä (Rosen 2011, Donaldson 2017). Esimerkiksi äskettäin mainitun aristotelilaisen näkemyksen mukaan luonnollinen luku riippuu sen olemassaolosta fyysisen maailman jonkin verran toteutumisesta tai muusta. Näkymästä on myös muita versioita. Esimerkiksi Kit Fine (1995) ja muut väittävät, että joukko ontologisesti riippuu sen elementeistä. (Tämä näkemys liittyy myös läheisesti edellä mainittuun joukko-teoreettiseen potentiaalisuuteen.)

bibliografia

  • Azzouni, Jody, 2004, Eksistentiaalisen seurauksen tyhjentäminen: Nominalismin tapaus, Oxford: Oxford University Press.
  • Balaguer, Mark, 1998, Platonismi ja anti-Platonismi matematiikassa, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2001,”Matemaattisen oikeellisuuden ja matemaattisen totuuden teoria”, Tyynenmeren filosofinen neljännesvuosi, 82: 87–114.
  • Benacerraf, Paul, 1965,”Mitkä numerot eivät voisi olla”, Filosofinen katsaus, 74: 47–73.
  • –––, 1973, “Matemaattinen totuus”, Journal of Philosophy, 70 (19): 661–679.
  • –––, 1996,”Mikä matemaattinen totuus ei voisi olla, minä”, julkaisussa Benacerraf and His Critics, A. Morton and S. Stich, toim., Oxford: Blackwell.
  • Benacerraf, Paul ja Putnam, Hilary (toim.), 1983, Matematiikan filosofia: Valitut lukemat, Cambridge: Cambridge University Press. Toinen painos.
  • Bernays, Paul, 1935,”Platonismista matematiikassa”, uusintapainos Benacerrafissa ja Putnamissa (1983).
  • Bigelow, John, 1988, Numeroiden todellisuus: Fyysikon matematiikan filosofia, Oxford: Clarendon.
  • Burgess, John P., 1999, “Katsaus Stewart Shapiroon, matematiikan filosofia: rakenne ja ontologia”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (2): 283–91.
  • –––, 2004, “Katsaus Jody Azzounista, eksistentiaalisen seurauksen tyhjentäminen: tapaus nimellisyydelle”, Symbolisen logiikan tiedote, 10 (4): 573–577.
  • Burgess, John P. ja Rosen, Gideon, 1997, Object with Object, Oxford: Oxford University Press.
  • Cole, Julian C., 2009,”Luovuus, vapaus ja auktoriteetti: Uusi näkökulma matematiikan metafysiikkaan”, Australasian Journal of Philosophy, 87: 589–608.
  • Clarke-Doane, Justin, 2017, “Mikä on Benacerraf-ongelma?”, Paul Benacerrafin filosofian uusissa näkökulmissa: Totuus, esineet, äärettömyys (Osa 28: Logiikka, epistemologia ja tieteen yhtenäisyys), F. Pataut (toim.), Cham: Springer, 17–43.
  • Colyvan, Mark ja Zalta, Edward N., 1999, “Matematiikka: totuus ja fiktio?”, Philosophia Mathematica, 7 (3): 336–349.
  • Donaldson, Thomas, 2017, “Aritmeetian (metafyysiset) perustat?”, Noûs, 51 (4): 775–801.
  • Dummett, Michael, 1978a,”Intuitionistisen logiikan filosofinen perusta”, julkaisussa Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press, 215–247; uusintapainos julkaisuissa Benacerraf ja Putnam (1983).
  • –––, 1978b, Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1981, Frege: kielifilosofia, Cambridge, MA: Harvard University Press, toinen painos.
  • –––, 1991a, Frege: Matematiikan filosofia, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1991b, metafysiikan looginen perusta, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Ebert, Philip ja Rossberg, Marcus, 2007,”Mikä on uuslogismin tarkoitus?”, Travaux de Logique, 18: 33–61.
  • Feferman, Solomon, 2009,”Console of Continuuma”, Intellectica, 51: 169–89.
  • Field, Hartry, 1989, realismi, matematiikka ja modaalisuus, Oxford: Blackwell.
  • Fine, Kit, 1994,”Ontologinen riippuvuus”, Aristotelian Society, Proceedings of Aristotelian Society, 95: 269–290.
  • Frege, Gottlob, 1953, Aritmeticin perusta, Oxford: Blackwell. Muunto. kirjoittanut JL Austin.
  • Gaifman, Haim, 1975,”Ontologia ja käsitteelliset puitteet, osa I”, Erkenntnis, 9: 329–353.
  • Gödel, Kurt, 1944,”Russellin matemaattinen logiikka”, julkaisuissa Benacerraf ja Putnam (1983).
  • –––, 1964, “Mikä on Cantorin jatkuvuushypoteesi?”, Julkaisuissa Benacerraf ja Putnam (1983).
  • –––, 1995,”Joitakin matemaattisten perusteiden perusteita ja niiden vaikutuksia”, julkaisussa Collected Words, S. Feferman et al., Toim., Oxford: Oxford University Press, voi. III, 304–323.
  • Goodman, Nelson, 1956,”Yksilöiden maailma”, uusintapainos. julkaisussa P. Benacerraf ja H. Putnam, toim., Matematiikan filosofia: Valitut lukemat, 1. painos, Prentice-Hall.
  • Hale, Bob, 1987, Abstract Objects, Oxford: Blackwell.
  • Hale, Bob ja Wright, Crispin, 2000,”implisiittinen määritelmä ja Priori”, uusissa esseissä A Priorista, Paul Boghossian ja Christopher Peacocke, toim., Oxford: Oxford University Press. Uusintapainos julkaisussa Hale and Wright (2001).
  • –––, 2001, Reasonin oikea tutkimus, Oxford: Clarendon.
  • Hellman, Geoffrey, 1989, Matematiikka ilman numeroita, Oxford: Clarendon.
  • –––, 2001,”Matemaattisen rakenteellisuuden kolme variaatiota”, Philosophia Mathematica, 9 (3): 184–211.
  • Hersh, Reuben, 1997, mikä on matematiikka?, Oxford: Oxford University Press.
  • Hilbert, David, 1996, “Matemaattiset ongelmat”, Kantista Hilbertiin, William Ewald, toim., Oxford: Oxford University Press, voi. 2, 1096–1105.
  • Hofweber, Thomas, 2000,”Kvantifiointi ja olemattomat esineet”, tyhjät nimet, fiktio ja olemattomuus, Anthony Everett ja Thomas Hofweber, toim., Stanford, CA: CSLI Publications, 249–73.
  • –––, 2005,”Numeromäärittelijät, numerot ja aritmeettiset tiedot”, Filosofinen katsaus, 114 (2): 179–225.
  • –––, 2016, ontologia ja metafysiikan tavoitteet, Oxford: Oxford University Press.
  • Isaacson, Daniel, 1994,”Matemaattinen intuitio ja objektiivisuus”, Mathematics and Mind, Alexander George, toim., Oxford: Oxford University Press, luku. 5.
  • Jané, Ignasi, 2010, “Idealistiset ja realistiset elementit Cantorin lähestymistavassa asettaa teoriaa”, Philosophia Mathematica, 18 (2): 193–226.
  • Kitcher, Philip, 1978,”Platonistin ahdinko”, Noûs, 12: 119–136.
  • Kreisel, Georg, 1958,”Katsaus Wittgensteinin huomautuksiin matematiikan perusteista”, British Journal for the Philosophy of Science, 9: 135–158.
  • Lear, Jonathan, 1980,”Aristotelian infinity”, Proceedings of Aristotelian Society, 80: 187–210.
  • Lewis, David, 1991, luokkien osat, Oxford: Blackwell.
  • Linnebo, Øystein, 2006,”Matemaattisen platonismin epistemologiset haasteet”, Philosophical Studies, 129 (3): 545–574.
  • –––, 2008,”Strukturalismi ja riippuvuuden käsite”, Filosofinen neljännesvuosi, 58: 59–79.
  • –––, 2012,”Viittaus abstraktiolla”, Aristotelian Society, 112: 45–71.
  • –––, 2013,”Joukkojen mahdollinen hierarkia”, Review of Symbolic Logic, 6 (2): 205–228.
  • –––, 2017, Matematiikan filosofia, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 2018, ohuet esineet: Abstraktiotutkija, Oxford: Oxford University Press.
  • Linnebo, Øystein ja Shapiro, Stewart, 2017,”todellinen ja mahdollinen ääretön”, Noûs, doi: 10.1111 / nous.12208.
  • Linsky, Bernard ja Zalta, Edward N., 1995,”Naturalisoitunut platonismi vs. platonisoitu naturalismi”, Journal of Philosophy, 92 (10): 525–555.
  • Linsky, Bernard ja Zalta, Edward N., 2006, “Mikä on neologicism?”, Symbolic Logic Bulletin, 12 (1): 60–99.
  • MacBride, Fraser, 2005,”Rakenteellisuus uudelleen tarkasteltu”, Oxfordin matematiikan ja logiikan filosofian käsikirjassa, Stewart Shapiro, toim., Oxford: Clarendon, 563–589.
  • Maddy, Penelope, 1990, Matematiikan realismi, Oxford: Clarendon.
  • –––, 1997, naturalismi matematiikassa, Oxford: Clarendon.
  • Martin, Donald A., 2001,”Monien joukkojen universumit ja määrittelemättömät totuusarvot”, Topoi, 20 (1): 5–16.
  • Moltmann, Friederike, 2013,”Viittaus lukuihin luonnollisella kielellä”, Filosofiset tutkimukset, 162: 499–536.
  • Parsons, Charles, 1977, “Mikä on sarjan iteratiivinen käsitys?” logiikassa, matematiikan perusteet ja laskettavuuden teoria (Länsi-Ontarion yliopiston tiedefilosofian sarja: osa 9), RE Butts ja J. Hintikka (toim.), Dortrecht: Springer, 335–367.
  • –––, 1980,”Matemaattinen intuitio”, Aristotelian Society, 80: 145–68.
  • –––, 1983, matematiikka filosofiassa, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • –––, 1990, “Matemaattisten esineiden rakenteellinen näkymä”, Synthese, 84: 303–346.
  • –––, 1995,”Platonismi ja matemaattinen intuitio Kurt Gödelin ajatuksessa”, Symbolisen logiikan tiedottaja, 1 (1): 44–74.
  • Quine, WV, 1969,”Olemassaolo ja kvantifiointi”, ontologisessa suhteellisuudessa ja muissa esseissä, New York: Columbia University Press, 91–113.
  • Rayo, Agustín, 2008,”Totuusedellytysten määrittelemisestä”, Filosofinen katsaus, 117 (3): 385–443.
  • –––, 2013, loogisen tilan rakentaminen, Oxford: Oxford University Press.
  • Rees, DA, 1967,”Platonismi ja platoninen perinne”, The Philosophy Encyclopedia, Paul Edwards, toim., New York: Macmillan, voi. 5, 333–341.
  • Resnik, Michael, 1980, Frege ja matematiikan filosofia, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • –––, 1997, Matematiikka kuvioiden tieteenä, Oxford: Oxford University Press.
  • Restall, Greg, 2003,”Mikä on täysiverinen platonismi?”, Philosophia Mathematica, 11 (1): 82–91.
  • Rosen, Gideon, 2011,”Matemaattisten esineiden todellisuus”, merkityksessä matematiikassa, J. Polkinghorne (toim.), Oxford: Oxford University Press, 113–132.
  • Shapiro, Stewart, 1997, Matematiikan filosofia: Rakenne ja ontologia, Oxford: Oxford University Press.
  • Studd, James, 2013,”Joukon iteratiivinen käsitys: (bi-) modaalinen aksiomatisointi”, Journal of Philosophical Logic, 42 (5): 1–29.
  • Wright, Crispin, 1983, Fregen käsitys numeroista kohteina, Aberdeen: Aberdeen University Press.
  • –––, 1992, Totuus ja objektiivisuus, Cambridge, MA: Harvard University Press.

Akateemiset työkalut

sep mies kuvake
sep mies kuvake
Kuinka mainita tämä merkintä.
sep mies kuvake
sep mies kuvake
Esikatsele tämän tekstin PDF-versio SEP-Ystävien ystävissä.
inpho-kuvake
inpho-kuvake
Katso tätä kirjoitusaihetta Internet Philosophy Ontology Projektista (InPhO).
phil paperit -kuvake
phil paperit -kuvake
Parannettu bibliografia tälle merkinnälle PhilPapersissa, linkkien avulla tietokantaan.

Muut Internet-resurssit

[Ota yhteyttä kirjoittajaan ehdotuksilla.]

Suositeltava: