Russellin Paradoksi

Sisällysluettelo:

Russellin Paradoksi
Russellin Paradoksi

Video: Russellin Paradoksi

Video: Russellin Paradoksi
Video: 15 Парадоксов, Которые Невозможно Обьяснить 2024, Maaliskuu
Anonim

Maahantulon navigointi

  • Kilpailun sisältö
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Ystävät PDF-esikatselu
  • Kirjailija- ja viittaustiedot
  • Takaisin alkuun

Russellin paradoksi

Ensimmäinen julkaisu pe 8. joulukuuta 1995; sisältöversio 9. lokakuuta 2016

Russellin paradoksi on tunnetuin loogisista tai teoreettisista paradokseista. Tunnetaan myös nimellä Russell-Zermelo-paradoksi, paradoksi syntyy naiivissa joukkoteoriassa ottamalla huomioon kaikkien sarjojen joukot, jotka eivät ole itsensä jäseniä. Tällainen joukko näyttää olevan itsensä jäsen vain silloin, kun se ei ole itsensä jäsen. Siksi paradoksi.

Jotkut sarjat, kuten kaikkien teekuppi, eivät ole itsensä jäseniä. Muut sarjat, kuten kaikkien ei-teekuppien joukot, ovat itsensä jäseniä. Kutsu kaikkien sarjojen sarja, jotka eivät ole itsensä jäseniä,”R”. Jos R on itsensä jäsen, niin määritelmän mukaan se ei saa olla itsensä jäsen. Samoin, jos R ei ole itsensä jäsen, niin sen on määritelmän mukaan oltava itsensä jäsen.

Vaikka Ernst Zermelo on myös huomannut, ristiriidan ei ajatellut olevan tärkeätä, ennen kuin Bertrand Russell löysi sen itsenäisesti keväällä 1901. Sittemmin paradoksi on saanut aikaan paljon logiikan, joukkoteorian ja filosofian ja matematiikan perusteet.

  • 1. Paradoksi
  • 2. Paradoksin historia
  • 3. Varhaiset vastaukset paradoksiin
  • 4. Russellin paradoksi nykyajan logiikassa
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Muut Internet-resurssit
  • Aiheeseen liittyvät merkinnät

1. Paradoksi

Kaikkien joukkojen teoriassa keskeinen on lausunto olosuhteista, joissa joukot muodostuvat. Sen lisäksi, että yksinkertaisesti lueteltiin joukon jäsenet, alun perin oletettiin, että mitä tahansa hyvin määriteltyä ehtoa (tai tarkasti määriteltyä ominaisuutta) voidaan käyttää joukon määrittämiseen. Esimerkiksi, jos T on ominaisuus olla teekuppi, niin kaikkien teekupien joukko S voidaan määritellä S = {x: T (x)}, kaikkien yksilöiden joukko x, siten, että x: llä on omaisuus olla T. Jopa ristiriitaista ominaisuutta voidaan käyttää ryhmän määrittämiseen. Esimerkiksi ominaisuus, joka on sekä T että not-T, määrittäisi tyhjän joukon, koska ryhmällä ei olisi jäseniä.

Tarkemmin sanottuna naiivi joukkoteoria olettaa ns. Naiivin tai rajoittamattoman ymmärtämisen aksiooman, aksiooman, että jokaiselle kaavalle φ (x), joka sisältää x: n vapaana muuttujana, on joukko {x: φ (x)}, jonka jäsenet ovat tarkalleen ne esineet, jotka täyttävät φ (x). Siten, jos kaava φ (x) tarkoittaa”x on alkuluku”, niin {x: φ (x)} on alkulukujen joukko. Jos φ (x) tarkoittaa”~ (x = x)”, niin {x: φ (x)} on tyhjä sarja.

Mutta tämän aksiooman oletuksesta seuraa Russellin ristiriita. Esimerkiksi, jos annamme φ (x) tarkoittaa x ∈ x ja annamme R = {x: ~ φ (x)}, niin R on joukko, jonka jäsenet ovat tarkalleen niitä esineitä, jotka eivät ole itsensä jäseniä.

Onko R itsessään jäsen? Jos se on, niin sen on täytettävä ehto olla olematta itsensä jäsen, joten se ei ole. Jos ei, niin sen ei tarvitse täyttää edellytystä olla itsensä jäsen, joten sen on oltava itsensä jäsen. Koska klassisen logiikan mukaan yhden tai toisen tapauksen on oltava voimassa - joko R on itsensä jäsen tai ei ole -, tästä seuraa, että teoria merkitsee ristiriitaa.

Kuten Russell kertoo, hänet johdettiin ristiriitaan sen jälkeen, kun hän sovelsi samanlaista päättelyä, joka löytyi Cantorin diagonaalisista perusteista "kaikkien kuviteltavissa olevien esineiden luokkaan":

Ajattelemamme kokonaisluokan, joka on kaiken omaksuminen, on omaksuttava itsensä yhdeksi jäsenistään. Toisin sanoen, jos on olemassa sellainen asia kuin "kaikki", niin "kaikki" on jotain ja kuuluu luokkaan "kaikki". Mutta yleensä luokka ei ole itsensä jäsen. Esimerkiksi ihmiskunta ei ole mies. Muodosta nyt kaikkien luokkien kokoelma, jotka eivät ole itsensä jäseniä. Tämä on luokka: onko se itsensä jäsen vai ei? Jos on, se on yksi niistä luokista, jotka eivät ole itsensä jäseniä, ts. Se ei ole itsensä jäsen. Jos ei, se ei ole yksi niistä luokista, jotka eivät ole itsensä jäseniä, ts. Se on itsensä jäsen. Näin ollen kahdesta hypoteesistä - että se on, ja että se ei ole itsensä jäsen - kukin merkitsee ristiriitaisuuttaan. Tämä on ristiriita. (1919, 136)

Tavanomaiset vastaukset paradoksiyritykseen rajoittaa jollain tavalla olosuhteita, joissa joukot muodostuvat. Tavoitteena on yleensä sekä eliminoida R (ja vastaavat ristiriitaiset ryhmät) ja samalla säilyttää kaikki muut matematiikan kannalta tarvittavat joukot. Tämä tehdään usein korvaamalla rajoittamaton ymmärtämisen axiomi rajoittavammalle erotteluaksialle, nimittäin aksioomille, joka antoi minkä tahansa (johdonmukaisen) joukon S ja minkä tahansa kaavan φ (x) x: llä vapaaksi, tulee joukko {x ∈ S: φ (x)}, joiden jäsenet ovat täsmälleen niitä S: n jäseniä, jotka täyttävät φ (x). Jos nyt annamme φ (x): n merkitä kaavaa x stand x, käy ilmi, että vastaava joukko {x ∈ S: x ∉ x} ei ole ristiriitainen, koska se koostuu vain S: n sisällä olevista jäsenistä, jotka eivät ole itsensä jäsenet. Siksi sarja ei sisälly itseään.

Erilaisista liittyvistä paradokseista keskustellaan Whiteheadin ja Russellin johdannon toisessa luvussa (1910, 2. painos 60-65), samoin kuin tämän tietosanakirjan kappaleessa paradokseista ja nykylogiikasta.

2. Paradoksin historia

Russell näyttää löytäneensä paradoksinsa myöhään keväällä 1901 työskennellessään matematiikan periaatteidensa (1903) parissa. Ei ole selvää, milloin löytö tapahtui. Russell toteaa aluksi, että hän törmäsi paradoksiin”kesäkuussa 1901” (1944, 13). Myöhemmin hän kertoi, että löytö tapahtui”keväällä 1901” (1959, 75). Vielä myöhemmin hän kertoi törmänneen paradoksiin, ei kesäkuussa, vaan saman vuoden toukokuussa (1969, 221). Giuseppe Peanon avustaja Cesare Burali-Forti oli löytänyt samanlaisen antinomian vuonna 1897, kun hän huomasi, että koska käskyjoukko on hyvin järjestetty, siinäkin on oltava ordinaali. Tämän ordinaalin on kuitenkin oltava sekä elementti kaikkien ordinalien joukossa että silti suurempi kuin jokainen tällainen elementti.

Toisin kuin Burali-Fortin paradoksi, Russellin paradoksissa ei ole käskyä ordinaaleihin tai kardinaaleihin, vaan vedotaan sen sijaan vain primitiivisiin käsityksiin joukosta ja joukosta sisällyttämisestä. Zermelo huomasi samanlaisen ristiriidan joskus vuosina 1897–1902, ennakoiden mahdollisesti Russellia joidenkin vuosien ajan (Ebbinghaus ja Peckhaus 2007, 43–48; Tappenden 2013, 336), vaikka Kanamori päättelee, että löytö olisi voinut helposti olla jo myöhässä kuin 1902 (Kanamori 2009, 411). Joka tapauksessa paradoksin katsottiin olevan vähäinen, kunnes ymmärrettiin, kuinka vahingollista se oli Gottlob Fregen matematiikan perusteille.

Russell kirjoitti Fregelle uutisilla paradoksistaan 16. kesäkuuta 1902. (Asiaa koskevasta kirjeenvaihdosta katso Russell (1902) ja Frege (1902) van Heijenoortissa (1967).) Paradoksilla oli merkitystä Fregen loogisessa työssä, koska, käytännössä se osoitti, että aksioomat, joita Frege käytti logiikansa formalisointiin, olivat epäjohdonmukaisia. Erityisesti Fregen Axiom V vaatii, että lauseketta, kuten φ (x), pidetään sekä argumentin x funktiona että argumentin φ funktiona. (Tarkemmin sanottuna Fregen laissa todetaan, että käsitteen f arvojen kurssi on identtinen käsitteen g arvojen kurssin kanssa vain silloin, kun f ja g sopivat jokaisen argumentin arvosta, ts. Jos ja vain jos jokaisella esineellä x, f (x) = g (x). Katso lisätietoja tästä tietosanakirjan kappaleesta Gottlob Frege -kohdan kohta 2.4.1.)juuri tämä epäselvyys antoi Russellille rakentaa R: n niin, että se voisi sekä olla että olla jäsen itsessään.

Russellin kirje saapui juuri kun Fregen Grundgesetze der Arithmetikin (aritmeettisen toiminnan peruslaki, 1893, 1903) toinen osa oli lehdistössä. Heti arvostellessaan paradoksin aiheuttamia vaikeuksia Frege lisäsi Grundgesetzelle kiireellisesti muodostetun liitteen, joka käsitteli Russellin löytöä. Frege huomauttaa liitteessä, että Russellin paradoksin seuraukset eivät ole välittömästi selviä. Esimerkiksi:”Onko aina sallittua puhua käsitteen, luokan laajentamisesta? Ja jos ei, miten tunnustamme poikkeustapaukset? Voimmeko aina päätellä yhden käsitteen laajennuksesta samanaikaisesti toisen käsitteen laajennuksen kanssa, että jokainen ensimmäisen käsitteen piiriin kuuluva esine kuuluu myös toisen käsitteen piiriin? Nämä ovat herra Russellin tiedonannon esille ottamat kysymykset,”Frege toteaa” (1903, 127). Näiden huolenaiheiden takiaLopulta Frege pakotettiin luopumaan monista logiikkaa ja matematiikkaa koskevista näkemyksistään.

Jopa niin, kuten Russell huomauttaa, Frege tapasi paradoksin uutisia huomattavalla vahvuudella:

Kun ajattelen koskemattomuuden ja armon tekoja, ymmärrän, että tiedossani ei ole mitään, mitä voitaisiin verrata Fregen omistautumiseen totuuteen. Hänen koko elämänsä oli valmistumisen partaalla, suurta osaa hänen työstään oli jätetty huomiotta äärettömän heikosti kykenevien ihmisten eduksi, hänen toinen volyymi oli tarkoitus julkaista, ja huomannut, että hänen perustavanlaatuinen olettamus oli virheellinen, hän vastasi henkinen nautinto selvästi upottaa kaikki henkilökohtaisen pettymyksen tunteet. Se oli melkein yli-inhimillistä ja kertoo siitä, minkä miehet kykenevät, jos heidän omistautumisensa on luovaa työtä ja tietämystä mieluummin hallitsemisen ja tuntemisen sijasta. (Siteerataan julkaisussa van Heijenoort (1967), 127)

Tietysti myös Russell oli huolissaan ristiriidan seurauksista. Saatuaan tietää, että Frege sopi hänen kanssaan tuloksen merkityksestä, hän aloitti heti liitteen kirjoittamisen omille pian julkaistaville matematiikan periaatteille. Liite, jonka otsikko on”Liite B: Tyyppioppi”, edustaa Russellin ensimmäistä yritystä tarjota periaatteellinen menetelmä välttääkseen pian piakkoin tullut tunnetuksi”Russellin paradoksi”.

3. Varhaiset vastaukset paradoksiin

Russellin paradoksin merkitys voidaan nähdä, kun on ymmärretty, että klassista logiikkaa käyttämällä kaikki lauseet seuraavat ristiriitaa. Esimerkiksi, jos oletetaan sekä P että ~ P, mikä tahansa mielivaltainen ehdotus Q voidaan osoittaa seuraavasti: P: stä saamme P ∨ Q lisäyssäännön avulla; sitten P ∨ Q: sta ja ~ P: stä saadaan Q disjunktiivisen syylologismin säännöllä. Koska joukkoteoria on kaikkien matematiikan alojen taustalla, monet ihmiset alkoivat pelätä siitä, että joukkoteorian epäjohdonmukaisuus tarkoittaisi sitä, että mikään matemaattinen todiste ei voisi olla täysin luotettava. Ainoastaan eliminoimalla Russellin paradoksi voisi koko matematiikka palauttaa johdonmukaisuuden.

Russellin paradoksi johtuu lopulta ideasta, että mitä tahansa ehtoa tai omaisuutta voidaan käyttää joukon määrittämiseen. Esimerkiksi ominaisuus, joka on jaettavissa tasaisesti vain itsestään, ja numero yksi erottaa alkulukujoukon kokonaislukujoukosta. Rintarauhasten ominaisuus erottaa nisäkkäät matelijoista, lintuista ja muista elävistä organismeista. Ominaisuus, joka on sekä neliö että ei neliö (tai mikä tahansa muu ristiriitaisten ominaisuuksien yhdistelmä), määrittää tyhjän ryhmän ja niin edelleen.

Yksi varhainen skeptikko, joka koski rajoittamatonta ymmärtämisen (tai abstraktion) aksioomia, oli modernin joukkoteorian perustaja Georg Cantor. Jo ennen Russellin löytöä Cantor oli hylännyt rajoittamattoman ymmärtämisen sen puolesta, mikä oli käytännössä ero ryhmien ja luokkien välillä, tunnustaen, että jotkut ominaisuudet (kuten ordinaalin ominaisuus) tuottivat kokoelmia, jotka olivat yksinkertaisesti liian suuria ollakseen asettaa, ja että mikä tahansa päinvastainen oletus johtaisi epäjohdonmukaisuuteen. (Yksityiskohdat löytyvät julkaisuista Moore (1982), Hallett (1984) ja Menzel (1984).)

Russellin oma vastaus paradoksiin tuli hänen osittain nimetyllä tyyppiteorialla. Uskoen, että itsesovellus oli paradoksin ydin, Russellin perusajatuksena oli, että voimme välttää sitoutumista R: hen (kaikkien joukkojen joukkoon, jotka eivät ole itsensä jäseniä) järjestämällä kaikki lauseet (tai tarkemmin sanottuna kaikki ehdotusfunktiot, funktiot, jotka antavat ehdotuksia arvoinaan) hierarkiaan. Tällöin on mahdollista viitata kaikkiin kohteisiin, joita tietty ehto (tai predikaatti) pitää, vain, jos ne ovat kaikki samalla tasolla tai saman tyyppisiä.

Tämä ratkaisu Russellin paradoksiin motivoi suurelta osin ns. Noidankehysperiaatteen omaksumista. Periaatteessa todetaan, että mitään funktionaalista funktiota ei voida määritellä ennen funktion soveltamisalan määrittelemistä. Toisin sanoen, ennen kuin funktio voidaan määritellä, on ensin määritettävä tarkalleen ne objektit, joihin funktiota sovelletaan (funktion toimialue). Esimerkiksi ennen predikaatin määrittämistä "on alkuluku", on ensin määritettävä objektien kokoelma, jotka saattavat tyydyttää tämän predikaatin, nimittäin luonnollisten lukujen joukon N.

Kuten Whitehead ja Russell selittävät,

Vältettävien paradoksien analyysi osoittaa, että ne kaikki johtuvat eräästä noidankehästä. Kyseiset noidankehät syntyvät olettamalla, että esinekokoelma voi sisältää jäseniä, jotka voidaan määritellä vain kokoelman avulla kokonaisuutena. Siksi esimerkiksi väittämien kokoelmassa on tarkoitus sisältää ehdotus, jonka mukaan "kaikki väitteet ovat joko tosi tai vääriä". Vaikuttaa kuitenkin siltä, että tällainen lausunto ei voisi olla laillinen, ellei”kaikki ehdotukset” viittaa jo olemassa olevaan tiettyyn kokoelmaan, jota se ei voi tehdä, jos uusia ehdotuksia luodaan lauseilla”kaikki ehdotukset”. Meidän on siksi sanottava, että väitteet kaikista väitteistä ovat merkityksettömiä. Periaate, jonka avulla voimme välttää laittomat kokonaisuudet, voidaan ilmaista seuraavasti:"Se, mitä kokoelmaan kuuluu, ei saa olla yksi kokoelmasta"; tai päinvastoin: "Jos sillä edellytyksellä, että tietyllä kokoelmalla olisi kokonaisuus, siinä olisi jäseniä, jotka voidaan määritellä vain kyseisen kokonaisuuden perusteella, kyseisellä kokoelmalla ei ole kokonaisuutta." Kutsumme tätä "noidankehysperiaatteeksi", koska se antaa meille mahdollisuuden välttää nohapiirit, jotka osallistuvat laittomien kokonaisuuksien olettamiseen. (1910, 2. toim. 37)

Jos Whitehead ja Russell ovat oikeassa, seuraa, että minkään toiminnon soveltamisala ei voi koskaan sisältää mitään objektia, jonka itse toiminto edellyttää. Seurauksena on, että ehdotustehtävät (ja vastaavat ehdotukset) lopulta järjestetään Russellin ehdottaman kaltaiseen hierarkiaan.

Vaikka Russell esitteli ensimmäisen tyyppiteoriansa vuonna 1903 antamassaan matematiikan periaatteessa, hän tunnusti heti, että lisätyötä oli tehtävä, koska hänen alkuperäisen tilinsä näytti ratkaisevan joitain, mutta ei kaikkia paradokseja. Hänen harkitsemiensa vaihtoehtojen joukossa oli ns. Korvausteoria (Galaugher 2013). Tämä puolestaan johti tyyppiteorian kypsämpään ilmaisuun viisi vuotta myöhemmin Russellin artikkelissa”Matemaattinen logiikka tyyppiteorian perusteella” ja monumentaaliteoksessa, jonka hän kirjoitti Alfred North Whiteheadin kanssa, Principia Mathematica (1910, 1912)., 1913). Russellin tyyppiteoria esiintyy siten kahdessa versiossa: vuoden 1903”yksinkertaisessa teoriassa” ja vuonna 1908.”Rauhoitetussa teoriassa”. Molempia versioita on arvosteltu siitä, että ne ovat liian tilapäisiä paradoksin onnistuneen poistamiseksi.

Vastauksena Russellin paradoksiin, David Hilbert laajensi myös ohjelmaansa rakentaa johdonmukaista, aksiomaattista perustaa matematiikalle siten, että se sisälsi aksiomaattisen perustan logiikalle ja joukkoteorialle (Peckhaus 2004). Tämän formalistisen lähestymistavan perustana oli ajatus sallia vain äärellisten, hyvin määriteltyjen ja rakennettavien esineiden käyttö yhdessä ehdottomasti varmennettujen päätelmissääntöjen kanssa.

Lopuksi Luitzen Brouwer kehitti intuitionismin, jonka perusajatuksena oli, että matemaattisen objektin olemassaoloa ei voida väittää, ellei voida määritellä menettelyä sen rakentamiseksi.

Yhdessä kaikki nämä vastaukset auttoivat keskittämään huomion logiikan, kielen ja matematiikan yhteyksiin. He auttoivat myös logiikkoja kehittämään nimenomaisen tietämyksen muodollisten järjestelmien luonteesta ja metalologisista ja metamatmaattisista tuloksista, jotka ovat osoittautuneet keskeisiksi tutkimuksiksi logiikan ja matematiikan perusteissa viimeisen sadan vuoden aikana.

4. Russellin paradoksi nykyajan logiikassa

Russellin paradoksi nähdään joskus negatiivisena kehityksenä - Fregen Grundgesetzen vähentämisessä ja yhtenä alkuperäisistä käsitteellisistä synneistä, jotka johtavat karkottamiseen Cantorin paratiisista. WV Quine kuvaa paradoksia "antinomiana", joka "pakkaa yllätyksen, jonka voi hyväksyä vain käsitteellisen perintömme hylkääminen" (1966, 11). Quine viittaa aiemmin mainittuun naiivin ymmärtämisen periaatteeseen. Symbolien kohdalla periaate toteaa tämän

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

missä A ei ole vapaa kaavassa φ. Tämä sanoo: "Joukkoon kohteisiin x on joukko A, x on elementti A: sta vain jos if: n ilmaisema ehto on." Russellin paradoksi syntyy ottamalla φ kaavaksi: x ∉ x.

Huolimatta Quinen kommentista on mahdollista nähdä Russellin paradoksi positiivisemmassa valossa. Ensinnäkin, vaikka asia on edelleen kiistanalainen, myöhemmät tutkimukset ovat paljastaneet, että paradoksi ei välttämättä oikosulje Fregen aritmeettisen johdannon pelkästään logiikasta. Fregen versio NC: stä (hänen Axiom V) voidaan yksinkertaisesti hylätä. (Katso lisätietoja Fregen lauseesta.) Toisaalta kirkko antaa tyylikkään muotoilun yksinkertaisesta tyyppiteoriasta, joka on osoittautunut hedelmälliseksi jopa alueilla, jotka on poistettu matematiikan perusteista. (Katso lisätietoja tyyppiteoriaa koskevasta kohdasta.) Lopuksiaksomaattisten (vastakohtana naiiville) asetettujen teorioiden kehittäminen, jotka esittävät erilaisia nerokkaita ja matemaattisesti ja filosofisesti merkittäviä tapoja käsitellä Russellin paradoksia, tasoitti tietä upealle tulokselle joukkoteorian metamathematicsissa. Tulokset ovat sisältäneet Gödelin ja Cohenin lauseet valitun aksiooman riippumattomuudesta ja Cantorin jatkuvuushypoteesin. Katsotaan siis karkeasti, kuinka jotkut näistä menetelmistä - erityisesti ns.”Tyyppimättömät” menetelmät - käsittelevät Russellin paradoksia.

Zermelo korvaa NC: n seuraavalla erotuksen (tai Aussonderungsaxiomin) aksioomikaaviolla:

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

Jälleen kiertävyyden välttämiseksi B ei voi olla vapaa φ: ssa. Tämä edellyttää, että pääsemiseksi B: hen x: n on oltava olemassa olevan joukon A jäsen. Kuten voi kuvitella, tämä vaatii joukon lisäjoukon olemassaoloaksioomeja, joita ei tarvita, jos NC olisi pitänyt kiinni.

Kuinka ZA välttää Russellin paradoksin? Aluksi voi ajatella, että ei. Loppujen lopuksi, jos annamme A: n V: n - koko joukon universumin - ja φ olla x ∉ x, ristiriita näyttää taas nousevan esiin. Mutta tässä tapauksessa kaikki ristiriidat osoittavat, että V ei ole joukko. Kaikki ristiriidat osoittavat, että “V” on tyhjä nimi (ts. Sillä ei ole viitettä, että V: tä ei ole), koska Zermelon järjestelmän ontologia koostuu yksinomaan joukoista.

Sama kohta voidaan tuoda esiin vielä toisella tavalla, mukaan lukien Russellin väitteen relativisoitu muoto. Olkoon B mikä tahansa joukko. ZA: n mukaan joukko R B = {x ∈ B: x ∉ x} on olemassa, mutta se ei voi olla B: n elementti. Sillä jos se on osa B, niin voimme kysyä, onko se on osa R B; ja vain jos ei ole. Näin jotain, nimittäin R B, on”puuttuu” kustakin joukon B. Joten taas, V ei ole joukko, koska V: stä ei voi puuttua mitään. Mutta huomaa seuraava hienous: toisin kuin aikaisempi argumentti, joka sisälsi Aussonderungsin suoran soveltamisen V: hen, tämä argumentti vihjaa ajatukseen, että vaikka V ei ole asetettu”V” ei ole tyhjä nimi. Seuraava strategia Russellin paradoksin käsittelemiseksi hyötyy tästä vihjeestä.

John von Neumannin (1925) tyypillinen menetelmä paradoksien ja erityisesti Russellin paradoksien käsittelemiseksi on yksinkertainen ja nerokas. Von Neumann esittelee eron jäsenyyden ja kuulumattomuuden välillä ja tekee tämän perusteella eron sarjojen ja luokkien välillä. Objekti on jäsen (yksinkertaistaja), jos se on jonkin luokan jäsen; ja se ei ole jäsen, jos se ei kuulu mihinkään luokkaan. (Itse asiassa von Neumann kehittää funktion teorian, jota pidetään primitiivisenä eikä luokkana), jossa jäsen- / ei-erottelua vastaavasti erotetaan esine, joka voi olla jonkin funktion argumentti, ja sellainen, joka ei voi. sen nykyaikainen muoto johtuu Bernaysin ja Gödelin ansiosta luokkien yksimuotoisesta teoriasta.)

Sarjat määritellään sitten jäseniksi, ja muut kuin jäsenet merkitään”oikeiksi luokiksi”. Joten esimerkiksi Russell-luokka R ei voi kuulua mihinkään luokkaan, joten sen on oltava oikea luokka. Jos R oletetaan olevan luokan A elementti, niin yhdestä von Neumannin aksioomista seuraa, että R ei vastaa V: tä. Mutta R vastaa V: tä, joten se ei ole A: n elementti. Siten, von Neumann menetelmä liittyy läheisesti tulos edellä asetetusta R B, mielivaltaisesti B. Gödelin ja Bernaysin kaltaisten ihailtujen von Neumannin menetelmä on viime vuosina aliarvioitu.

Quine (1937) ja (1967) tarjoavat samoin toisen tyyppimättömän tavan (kirjaimella, ellei hengessä) estää Russellin paradoksia, ja menetelmä, joka on täynnä mielenkiintoisia poikkeavuuksia. Quinen perusajatus on ottaa käyttöön ositettu ymmärtämisaksioomi. Itse asiassa aksioomi estää ympyrällisyyttä ottamalla käyttöön hierarkian (tai osittaisen), joka on tietyllä tavalla tyyppiteorian mukainen ja toisilla erilainen. (Yksityiskohtaiset tiedot löytyvät Quine's New Foundations -kohdassa.)

Toisin kuin Zermelon, von Neumannin ja Quinen strategiat, jotka ovat tietyssä mielessä puhtaasti teoreettisia, on myös yritetty välttää Russellin paradoksi muuttamalla taustalla olevaa logiikkaa. Tällaisia yrityksiä on ollut monia, emmekä tule tarkistamaan niitä kaikkia, mutta yksi on tällä hetkellä sekä radikaali että jonkin verran suosittu (vaikkakaan ei itsessään asetettujen teoreetikkojen kohdalla): tämä on parakonsistentti lähestymistapa, joka rajoittaa yleistä eristetyn ristiriidan vaikutus koko teoriaan. Klassinen logiikka edellyttää, että mikä tahansa ristiriita triviaalia teoriaa tekemällä teorian jokaisen lauseen todistettavissa. Tämä johtuu siitä, että klassisessa logiikassa seuraava on lause:

(Entinen Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Nyt käytännössä ainoa tapa välttää EFQ: ta on luopua disjunktiivisesta sylogismista, toisin sanoen, kun otetaan huomioon liitinten tavalliset määritelmät, modus ponens! Joten sententaalisen peruslogiikan muuttaminen tällä tavalla on todella radikaalia - mutta mahdollista. Valitettavasti edes EFQ: n luopuminen ei riitä pitämään NC: n vaikutelmaa. On myös luoputtava seuraavasta ylimääräisestä sentenssilogiikan lisälauseesta:

(Supistuminen) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Sitten voidaan väittää, että NC johtaa suoraan, ei pelkästään erilliseen ristiriitaan, vaan trivialiteettiin. (Katso väitteestä, että näin on, ks. Kohta Curryn paradoksista, kohta 2.2. Huomaa myös, että nimen "modus ponens" säilyttäminen ei riitä; itse sääntö muuttuu ei-perinteisessä logiikassa.) Siten näyttää siltä, että NC: n surut eivät rajoitu vain Russellin paradoksiin, vaan sisältävät myös Curryn aiheuttaman kielteettömän paradoksin.

Toinen ehdotus saattaa olla päätellä, että paradoksi riippuu esiintymisen ulkopuolelle jätetyn keskiosan periaatteesta, että joko R on R: n jäsen vai ei. Tämä on periaate, joka hylätään eräissä ei-klassisissa logiikan lähestymistavoissa, mukaan lukien intuitionismi. On kuitenkin mahdollista muotoilla paradoksi vetoamalla syrjäytyneeseen keskiosaan luottamalla sen sijaan vastakkaisuuden lakiin. Teemme niin seuraavasti: Kun otetaan huomioon R: n määritelmä, seuraa, että R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R). Joten R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Mutta tiedämme myös, että R ∈ R ⊃ R ∈ R. Joten R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Mutta ristiriitaisuuden lailla tiedämme sen ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Joten modus tollens -menetelmällä päätetään, että ~ (R ∈ R). Samalla tiedämme myös, että koska R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R), seuraa, että ~ (R ∈ R) ∈ R ∈ R, ja siten R ∈ R. Joten voimme päätellä sekä R ∈ R: n että sen kieltämisen käyttämällä vain intutionistisesti hyväksyttäviä menetelmiä.

Siksi näyttää siltä, että ei-klassisen logiikan kannattajat eivät voi väittää olevansa säilyttäneet NC: tä missään merkityksellisessä mielessä, paitsi periaatteen puhtaasti syntaktisen muodon säilyttämisessä, eikä intuitionismi tai parakonsekvenssi plus kontraktion luopuminen tarjoa etua verrattuna tyyppimättömät Zermelon, von Neumannin tai Quinen liuokset. (Lisäkeskustelu löytyy Meyeristä, Routley ja Dunnista (1979), Irvineista (1992), Priestistä (2006, luku 18), Weberistä (2010), Weberistä (2012) ja Curryn paradoksia koskevista merkinnöistä (sec. 2.2) ja parakonsistentti logiikka (kohta 2.3).)

On myös syytä huomata, että Russellin paradoksi ei ollut ainoa Russellia vaikeuttanut paradoksi eikä siten ainoa motiivi tyyppirajoituksille, joita Principia Mathematica löytää. Aikaisemmassa teoksessaan”Matematiikan periaatteet” Russell omistaa luvun”Ristiriidalle” (Russellin paradoksi) esittämällä sen useissa muodoissa ja hylkäämällä useita vastauksettomia vastauksia. Sitten hän ilmoittaa keskustelevansa”pian” tyyppiopesta. Tätä ei tapahdu useiden satojen sivujen osalta, ennen kuin olemme päässeet kirjan loppuun, liitteessä B! Siellä Russell esittelee alkavan, yksinkertaisen tyyppiteorian, ei Principia Mathematicasta löytyvän tyyppiteorian. Miksi myöhemmin teoriaa tarvittiin? Syynä on, että liitteessä B Russell esittää myös toisen paradoksin, jota hänen mielestään ei voida ratkaista tyyppien yksinkertaisen teorian avulla. Tämä uusi paradoksi koskee ehdotuksia, ei luokkia, ja se yhdessä semanttisten paradoksien kanssa johti Russellia muotoilemaan rakentuneen version tyyppiteoriasta.

Paradoksin uusi, ehdotuksellinen versio ei ole näkynyt näkyvästi logiikan ja joukkoteorian myöhemmässä kehityksessä, mutta se hämmentyi Russellia. Ensinnäkin se näyttää olevan ristiriidassa Cantorin lauseen kanssa. Russell kirjoittaa:”Emme voi myöntää, että alueita [ehdotusluokat] on enemmän kuin ehdotuksia” (1903, 527). Syynä on, että ehdotusluokkien ja ehdotusten välillä näyttää olevan helppoa, yksi-yhteen korrelaatioita. Esimerkiksi lauseiden luokka m voidaan korreloida väitteen kanssa, jonka mukaan jokainen lauseessa m on totta. Tämä yhdessä hienorakeisen yksilöinnin periaatteen kanssa ehdotuksille (väittäen yhdestä asiasta, että jos lauseiden m ja n eroavat toisistaan, niin mikä tahansa lause m: stä eroaa kaikista n: n lauseista) johtaa ristiriitaan.

Tästä paradoksista on keskusteltu suhteellisen vähän, vaikka sillä oli avainasemassa kirkon miele- ja merkityslogiikan kehittämisessä. Vaikka meillä on useita valittuja teorioita, meillä ei ole mitään hyvin kehitettyä venäläisten väitteiden teoriaa, vaikka tällaiset ehdotukset ovatkin keskeisiä milliläisten ja suoraviittausteoreetikkojen näkemyksissä. Voitaisiin ajatella, että tällaista teoriaa vaaditaan semantiikan perusteille, ellei matematiikan perusteille. Siksi, vaikka yksi Russellin paradokseista on johtanut matematiikan perusteiden hedelmälliseen kehitykseen, hänen”toisen” paradoksin on vielä johdettava kaikkeen etäisesti samanlaiseen semantiikan perusteissa. Olla varma,Church (1974a) ja Anderson (1989) ovat yrittäneet kehittää venäläistä intenssaalista logiikkaa, joka perustuu tyypilliseen rajattuun teoriaan, mutta voidaan väittää, että rajattu teoria on liian rajoittava toimiakseen luonnonkielen semantiikan perustana. Viime aikoina on myös yritetty saada aikaan venäläisen intenssaalisen logiikan alku, joka perustuu tyyppimättömiin joukkoteorioihin (Cantini 2004; Deutsch 2014). On melko ironista, että vaikka hienorakeiset venäläiset väitteet suosivat kielifilosofiaa, intensionaalisen logiikan muodollista kehitystä hallitsee Montague'n kielioppi sen kurssimaisella ehdotuksilla. Viime aikoina on myös yritetty saada aikaan venäläisen intenssaalisen logiikan alku, joka perustuu tyyppimättömiin joukkoteorioihin (Cantini 2004; Deutsch 2014). On melko ironista, että vaikka hienorakeiset venäläiset väitteet suosivat kielifilosofiaa, intensionaalisen logiikan muodollista kehitystä hallitsee Montague'n kielioppi sen kurssimaisella ehdotuksilla. Viime aikoina on myös yritetty saada aikaan venäläisen intenssaalisen logiikan alku, joka perustuu tyyppimättömiin joukkoteorioihin (Cantini 2004; Deutsch 2014). On melko ironista, että vaikka hienorakeiset venäläiset väitteet suosivat kielifilosofiaa, intensionaalisen logiikan muodollista kehitystä hallitsee Montague'n kielioppi sen kurssimaisella ehdotuksilla.

On myös syytä huomata, että monet näennäisesti puhtaasti teoreettiset periaatteet ovat tosiasiallisesti (sovellettuja) esimerkkejä puhtaan logiikan lauseista (ts. Ensimmäisen asteen kvantifiointiteoria identiteetin kanssa)! Näistä on (osittainen) luettelo Kalishissa, Montagueissa ja Marissa (2000). Russellin paradoksi on esimerkki T269: stä tässä luettelossa:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

Lukemalla dyadisen predikaatin kirjain “F” sanalla “on jäsen”, tämä sanoo, että ei ole totta, että on olemassa sellainen, että jokaiselle x: lle x on y: n jäsen, jos ja vain jos x ei ole jäsen x. Tarkoittaako tämä, että Russellin paradoksi pienenee T269: ksi?

T269-todiste varmasti tislaa Russellin väitteen ydin, sen päättelymalli. Mutta tämä malli vahvistaa myös loputtoman luettelon näennäisesti kevyiltä "paradokseilta", kuten kuuluisalta parturin paradoksilta, joka ajaa kaikkia ja vain niitä, jotka eivät ajella itseään, tai vastaavasti hyväntahtoisen, mutta tehokkaan Jumalan paradoksiin, joka auttaa kaikkia ja vain ne, jotka eivät auta itseään.

Kuinka nämä”pseudo-paradoksidit”, kuten niitä joskus kutsutaan, eroavat, jos ollenkaan, Russellin paradoksista? Päättelymalli on sama ja johtopäätös - että ei ole sellaista parturia, ei niin tehokasta Jumalaa, ei sellaista ei-itsensä jäsenten joukkoa - on sama: sellaisia asioita ei yksinkertaisesti ole. (Kuitenkin, kuten von Neumann osoitti, ei tarvitse mennä aivan näin pitkälle. Von Neumannin menetelmä ohjeistaa meitä olemaan, että sellaisia asioita kuin R ei ole olemassa, vaan vain sitä, ettemme voi sanoa niistä paljon, sikäli kuin R ja vastaavat eivät voi kuuluvat kaikkien luokkaan luokiteltavien predikaattien jatkeeseen.)

Tavanomainen vastaus tähän kysymykseen on, että ero on aiheessa. Quine kysyy: "miksi sitä [Russellin paradoksia] pidetään antinomiana ja parturin paradoksia ei?"; ja hän vastaa: "Syynä on, että ajattelutapoissamme on ollut ylivoimainen oletus siitä, että tällainen luokka on olemassa, mutta ei oletetta, että tällainen parturi olisi" (1966, 14). Silti psykologinen puhuminen”ajattelutavoista” ei ole erityisen valaiseva. Pysyvämmin, Russellin paradoksi herättää järkevästi kysymyksen siitä, mitä joukkoja siellä on; mutta on turhaa ihmetellä esimerkiksi T269: n perusteella mitä partureita tai jumalia on!

Tämä tuomio ei kuitenkaan ole aivan oikeudenmukainen parturin tai T269: n faneille. He vaativat, että T269: n esittämä kysymys ei ole mitä parturit tai jumalat ovat, vaan pikemminkin mitä ei-paradoksaalisia esineitä on. Tämä kysymys on käytännössä sama kuin Russellin paradoksi itse. Siksi tästä näkökulmasta Barberin ja Russellin paradoksin välinen suhde on paljon läheisempi kuin monet (Quinea seuraten) ovat halunneet sallia (Lohi 2013).

Toteamme, että on olemassa ensimmäisen asteen looginen kaava, joka kantaa samaa suhteessa periaatteeseen noin R B 's että T269 karhuja Russellin paradoksi. Se on seuraava:

(T273) ∀ z ∀ y (∀ x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ~ Fxx)] ⊃ ~ Fyz).

(Olemme ottaneet vapauden laajentaa Kalishissa, Montagueissa ja Marissa (2000) käytetty numerointi T273: een.) Mutta kaikki aseteoreettiset paradoksidit eivät liity samalla tavalla ensimmäisen asteen loogisiin lauseisiin. Burali-Forti-paradoksi on esimerkki, koska käsitys hyvin tilauksesta ei ole perusajatus; eli se ei ole ensimmäisen asteen määriteltävä.

Russellin paradoksi ei ole koskaan ollut ohimenevää, mutta viime aikoina matematiikan logiikan tutkimukseen ja modernin logiikan filosofisiin ja historiallisiin tutkimuksiin osallistuneiden tutkijoiden mielenkiinto on herättänyt sitä. Katsaus vuoden 2004 ns. "Sadon vuoden Russellin paradoksin" -julkaisun sisältöön osoittaa merkittäviä matemaattisia ja filosofisia logiikoita ja logiikan historioitsijoita kaataen paradoksin, ehdottaen uusia tapoja takaisin Cantorin paratiisiin tai muita tapoja ongelman ratkaisemiseksi. Heidän tutkimuksiinsa sisältyy radikaalisti uusia tapoja paradoksin aiheuttamasta dilemmasta, uudet tutkimukset tyyppiteorioista (yksinkertaiset ja rajatut ja niiden laajennukset), uudet tulkinnat Russellin paradoksista ja rakentavista teorioista, Russellin ehdotusten paradoksista ja omasta yritys tyyppimättömään teoriaan (korvausteoria) ja niin edelleen.

Kaikki tämä muistuttaa meitä siitä, että hedelmällistä työtä voi syntyä epätodennäköisimmistä havainnoista. Kuten Dana Scott on todennut,”On ymmärrettävä alusta alkaen, että Russellin paradoksia ei pidä pitää katastrofina. Se ja siihen liittyvät paradoksit osoittavat, että all-inclusive-kokoelmien naiivi käsitys on kestämätön. Se on mielenkiintoinen tulos, epäilemättä siitä”(1974, 207).

bibliografia

  • Anderson, C. Anthony, 1989.”Russellian Intensional Logic”, julkaisuissa Joseph Almog, John Perry ja Howard Wettstein (toim.), Teemat Kaplanista, Oxford: Oxford University Press, 67–103.
  • Barwise, Jon, 1975. Sallitut sarjat ja rakenteet, Berliini: Springer-Verlag.
  • ––– ja John Etchemendy, 1987. valehtelija: essee totuudesta ja kiertävyydestä, Oxford: Oxford University Press.
  • –– ja Lawrence Moss, 1996. Vicious Circles, Stanford: CSLI-julkaisut.
  • Bealer, George, 1982. Laatu ja konsepti, New York: Oxford University Press.
  • Beaney, Michael, 2003. “Russell ja Frege”, Nicholas Griffin (toim.), Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 128–170.
  • Cantini, Andrea, 2004.”Venäläisellä paradoksilla ehdotuksista ja totuudesta”, Godehard Link (toim.) (2004) Sata vuotta Russellin paradoksia, Berliini ja New York: Walter de Gruyter, 259–284.
  • –––, 2009. “Paradoksidit, omakohtainen viittaus ja totuus 1900-luvulla”, Dov M. Gabbay ja John Woods (toim.) (2009), logiikan historian käsikirja: Osa 5 - logiikka Russellista kirkkoon, Amsterdam: Elsevier / Pohjois-Hollanti, 875–1013.
  • Kirkko, Alonzo, 1974a.”Russellian Simple Type Theory”, American Philosophical Association -julkaisut ja osoitteet, 47: 21–33.
  • –––, 1974b.”Set Theory with Universal Set”, Tarski-symposiumin julkaisut, 297–308; repr. julkaisussa International Logic Review, 15: 11–23.
  • –––, 1978.”Vertaus semanttisten vastaominaisuuksien Russellin päätöslauselmaan Tarskin päätökseen”, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760; repr. julkaisussa AD Irvine, Bertrand Russell: Critical Assessment, voi. 2, New York ja Lontoo: Routledge, 1999, 96–112.
  • Coffa, Alberto, 1979.”Russellin paradoksin nöyrä alkuperä”, Russell, 33–34: 31–7.
  • Copi, Irving, 1971. Loogisten tyyppien teoria, Lontoo: Routledge ja Kegan Paul.
  • Demopoulos, William ja Peter Clark, 2005. “Fregen, Dedekindin ja Russellin logiikka”, Stewart Shapiro (toim.), Oxfordin matematiikan ja logiikan filosofian käsikirja, Oxford: Oxford University Press, 129–165.
  • Deutsch, Harry, 2014. “Ehdotusten joidenkin paradoksien ratkaiseminen”, analyysi, 74: 26-34.
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter ja Volker Peckhaus, 2007. Ernst Zermelo: lähestymistapa elämäänsä ja työhönsä, Berliini: Springer-Verlag.
  • Forster, TE, 1995. Set Theory with Universal Set, 2. edn, Oxford: Clarendon Press.
  • Frege, Gottlob, 1902.”Kirje Russellille”, Jean van Heijenoort (toim.), Fregestä Gödeliin, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 126–128.
  • –––, 1903.”Russell-paradoksi”, Gottlob Frege, Aritmeetian peruslakit, Berkeley: University of California Press, 1964, 127–143; lyhennetty ja repr. julkaisussa AD Irvine, Bertrand Russell: Critical Assessment, voi. 2, New York ja Lontoo: Routledge, 1999, 1–3.
  • Gabbay, Dov M. ja John Woods (toim.), 2009. Loogisen historian käsikirja: Osa 5 - logiikka Russellista kirkkoon, Amsterdam: Elsevier / Pohjois-Hollanti.
  • Galaugher, JB, 2013. “Substituution's ratkaisematon” Insolubilia”,” Russell, 33: 5–30.
  • Garciadiego, A., 1992. Bertrand Russell ja joukko-teoreettisten paradoksien alkuperä, Boston: Birkhäuser.
  • Grattan-Guinness, I., 1978.”Kuinka Bertrand Russell löysi paradoksinsa,” Historia Mathematica, 5: 127–37.
  • –––, 2000. Matemaattisten juurten haku: 1870–1940, Princeton ja Oxford: Princeton University Press.
  • Griffin, Nicholas (toim.), 2003. Cambridge-seuralainen Bertrand Russellille, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2004.”Russellin paradoksin esihistoria”, Godehard Link (toim.), Sata vuotta Russellin paradoksia, Berliini ja New York: Walter de Gruyter, 349–371.
  • ––– Bernard Linsky ja Kenneth Blackwell (toim.), 2011. Principia Mathematica 100, Hamilton, ON: Bertrand Russell Research Center; julkaistiin myös nimellä Russell, Special Issue, osa 31, numero 1.
  • Hallett, Michael, 1984. Kantorilainen joukkoteoria ja koon rajoittaminen, Oxford: Clarendon.
  • Halmos, Paul R., 1960. Naiivin joukon teoria, Princeton: D. van Nostrand.
  • Irvine, AD, 1992.”Aukot, häiriöt ja paradoksi”, Canadian Journal of Philosophy (lisäosa), 18: 273–299.
  • ––– (toim.), 2009. Matematiikan filosofia, Amsterdam: Elsevier / Pohjois-Hollanti.
  • Kanamori, Akihiro, 2004.”Zermelo and Set Theory”, Symbolisen logiikan tiedottaja, 10: 487–553.
  • –––, 2009. “Aseta teoria kantorista Cohenille”, AD Irvine (toim.), Matematiikan filosofia, Amsterdam: Elsevier / Pohjois-Hollanti, 395–459.
  • Kalish, Donald, Richard Montague ja Gary Mar, 2000. Logiikka: muodollisen päättelyn tekniikat, 2. toim., New York: Oxford University Press.
  • Klement, Kevin, 2005.”Russellin paradoksin alustavien toimintojen version alkuperä”, Russell, 24: 101–132.
  • –––, 2014, “Paradoksidit ja Russellin teoria epätäydellisistä symboleista”, Philosophical Studies, 169: 183–207.
  • Landini, Gregory, 2006. “Fregen tie ulospäin”, Philosophia Mathematica, 14: 1–25.
  • –––, 2013. “Zermelo” ja”Russell's Paradox: Onko olemassa universaalia settiä?” Philosophia Mathematica, 21: 180–199.
  • Levy, A., 1979. Basic Set Theory, Berliini: Springer-Verlag; New York: Heidelberg.
  • Link, Godehard (toim.), 2004. Sata vuotta Russellin paradoksia, Berliini ja New York: Walter de Gruyter.
  • Linsky, Bernard, 1990. "Olikiko reduktivoitavuuden aksioma logiikan periaate?" Russell, 10: 125–140; repr. julkaisussa AD Irvine (toim.) (1999) Bertrand Russell: Kriittiset arvioinnit, 4 osaa, Lontoo: Routledge, voi. 2, 150–264.
  • ––– 2002. “Russellin paradoksin ratkaisu Principia Mathematicalla”, Philosophical Perspectives, 16: 395–417.
  • Mares, Edwin, 2007. “Tosiasiallinen semantiikka rajatun tyyppiselle teorialle ja reduktivoitavuuden aksiomalle”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 48: 237–251.
  • Menzel, Christopher, 1984.”Kantori ja Burali-Forti-paradoksi”, Monist, 67: 92–107.
  • Meyer, Robert K., Richard Routley ja Michael Dunn, 1979.”Curry's Paradox”, analyysi, 39: 124–128.
  • Moore, Gregory H., 1982. Zermelon valinnan aksioma, New York: Springer.
  • ––– 1988. “Russellin paradoksin juuret”, Russell, 8: 46–56.
  • Murawski, Roman, 2011. “On Chwistekin matematiikan filosofia”, Nicholas Griffin, Bernard Linsky ja Kenneth Blackwell (toim.) (2011) Principia Mathematica 100, Russell (erikoisnumero), 31 (1): 121–130.
  • Peckhaus, Volker, 2004. “Paradoxes in Göttingen”, Godehard Link (toim.), Sata vuotta Russell's Paradoxia, Berliini ja New York: Walter de Gruyter, 501–515.
  • Priest, Graham, 2006. Vastakkaisesti, 2. toim., New York: Oxford University Press.
  • Quine, WVO, 1937.”Uudet perusteet matemaattiselle logiikalle”, American Mathematical Monthly, 44: 70–80; repr. julkaisussa WVO Quine, loogisesta näkökulmasta, Lontoo: Harper & Row, 1953.
  • –––, 1966. Paradoksin ja muiden esseiden tavat, New York: Random House.
  • –––, 1967. Aseta teoria ja sen logiikka, Harvard: Belknap Press.
  • Russell, Bertrand, 1902.”Kirje Fregelle”, Jean van Heijenoort (toim.), Fregestä Gödeliin, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 124–125.
  • –––, 1903. “Liite B: Tyyppiopetus”, julkaisussa Bertrand Russell, Matematiikan periaatteet, Cambridge: Cambridge University Press, 1903, 523–528.
  • –––, 1908.”Matemaattinen logiikka tyyppiteorian perusteella”, American Journal of Mathematics, 30: 222–262; repr. julkaisussa Bertrand Russell, Logic and Knowledge, Lontoo: Allen and Unwin, 1956, 59–102; ja repr. julkaisussa Jean van Heijenoort (toim.), Fregestä Gödeliin, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 152–182.
  • –––, 1919. Johdatus matemaattiseen filosofiaan, Lontoo: George Allen ja Unwin Ltd, ja New York: The Macmillan Co.
  • –––, 1944. “Minun henkinen kehitykseni”, Paul Arthur Schilpp (toim.), Bertrand Russellin filosofia, 3. toim., New York: Tudor, 1951, 3–20.
  • –––, 1959. Filosofinen kehitykseni, Lontoo: George Allen ja Unwin, ja New York: Simon & Schuster.
  • –––, 1967, 1968, 1969. Bertrand Russellin omaelämäkerta, 3 osaa, Lontoo: George Allen ja Unwin; Boston: Little Brown and Company (volyymit 1 ja 2), New York: Simon ja Schuster (osa 3).
  • Salmon, N., 2013. “Huomautus Kripken paradoksista ajasta ja ajattelusta”, Journal of Philosophy, 110: 213–220.
  • Scott, Dana, 1974.”Axiomatizing Set Theory”, julkaisussa TJ Jech (toim.), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (osa 13, osa 2), American Mathematical Society, 207–214.
  • Shapiro, Stewart (toim.), 2005. Oxfordin käsikirja matematiikan ja logiikan filosofiasta, Oxford: Oxford University Press.
  • Simmons, Keith, 2000. “Sarjat, luokat ja laajennukset: Singulaarisuusmalli Russellin paradoksiin”, Philosophical Studies, 100: 109–149.
  • –––, 2005.”Marja ja Russell ilman itseviittausta”, Philosophical Studies, 126: 253–261.
  • Sorensen, Roy A., 2002.”Loogisten paradoksien filosofiset vaikutukset”, Dale Jacquette (toim.), Avustaja filosofiselle logiikalle, New York: Oxford University Press, 131–142.
  • ––– 2003. “Russell's Set” lyhyessä historiassa paradoksista, New York: Oxford University Press, 316–332.
  • Stevens, Graham, 2004.”Russellin paradoksista tuomion teoriaan: Wittgenstein ja Russell ehdotuksen yhtenäisyydestä”, Theoria, 70: 28–61.
  • –––, 2005. Analyyttisen filosofian venäläiset alkuperät, Lontoo ja New York: Routlege.
  • Tappenden, Jamie, 2013.”Matemaattinen ja looginen tausta analyyttiselle filosofialle”, Michael Beaney (toim.) Oxfordin analyyttisen filosofian historian käsikirja, Oxford: Oxford University Press, 318–354.
  • Urquhart, Alasdair, 1988.”Russellin siksak-polku tyyppien rauhoitettuun teoriaan”, Russell, 8: 82–91.
  • –––, 2003. “Tyyppiteoria”, Nicholas Griffin (toim.), Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 286–309.
  • van Heijenoort, Jean (toim.), 1967. Fregestä Gödelille: Lähdekirja matemaattisessa logiikassa, 1879–1931, Cambridge ja Lontoo: Harvard University Press.
  • von Neumann, John, 1925.”Set the Theory Axiomatization of Set Theory”, Jean van Heijenoort (toim.), Fregestä Gödeliin, Cambridgeen ja Lontooseen: Harvard University Press, 1967, 393–413.
  • Wahl, Russell, 2011.”Reducibility Axiom”, Nicholas Griffin, Bernard Linsky ja Kenneth Blackwell (toim.) (2011) Principia Mathematica 100, Russell (erikoisnumero), 31 (1): 45–62.
  • Weber, Z. 2010. “Transfinite Numbers in Paraconsistent Set Theory”, Review of Symbolic Logic, 3: 71–92.
  • –––, 2012. “Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory,” Review of Symbolic Logic, 5: 269–293.
  • Whitehead, Alfred North ja Bertrand Russell, 1910, 1912, 1913. Principia Mathematica, 3 v, Cambridge: Cambridge University Press; toinen edn, 1925 (osa 1), 1927 (Vols 2, 3); lyhennetty nimellä Principia Mathematica arvoon * 56, Cambridge: Cambridge University Press, 1962.

Akateemiset työkalut

sep mies kuvake
sep mies kuvake
Kuinka mainita tämä merkintä.
sep mies kuvake
sep mies kuvake
Esikatsele tämän tekstin PDF-versio SEP-Ystävien ystävissä.
inpho-kuvake
inpho-kuvake
Katso tätä kirjoitusaihetta Internet Philosophy Ontology Projektista (InPhO).
phil paperit -kuvake
phil paperit -kuvake
Parannettu bibliografia tälle merkinnälle PhilPapersissa, linkkien avulla tietokantaan.

Muut Internet-resurssit

  • Bertrand Russell -arkisto
  • Bertrand Russellin tutkimuskeskus
  • Bertrand Russell -yhdistys
  • Principia Mathematica: Osa 1 (Michiganin yliopiston historiallinen matematiikan kokoelma)
  • Principia Mathematica: Osa 2 (Michiganin yliopiston historiallinen matematiikan kokoelma)
  • Principia Mathematica: Osa 3 (Michiganin yliopiston historiallinen matematiikan kokoelma)
  • Russell: Lehti Bertrand Russell Studies
  • Russellin antinomy (Wolfram MathWorld)

Suositeltava: