Itsenäisyys Ja Suuret Kardinaalit

Sisällysluettelo:

Itsenäisyys Ja Suuret Kardinaalit
Itsenäisyys Ja Suuret Kardinaalit

Video: Itsenäisyys Ja Suuret Kardinaalit

Video: Itsenäisyys Ja Suuret Kardinaalit
Video: Ajatuksia sotaveteraaneista ja Suomen itsenäisyydestä 2024, Maaliskuu
Anonim

Maahantulon navigointi

  • Kilpailun sisältö
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Ystävät PDF-esikatselu
  • Kirjailija- ja viittaustiedot
  • Takaisin alkuun

Itsenäisyys ja suuret kardinaalit

Ensimmäinen julkaisu ti 20. huhtikuuta 2010

Riippumattomuus johtaa aritmeettiseen ja joukkoteoriaan johtaen matemaattisten järjestelmien leviämiseen. Yksi hyvin yleinen tapa tutkia mahdollisten matemaattisten järjestelmien tilaa on tulkittavuuden suhteessa. Tässä suhteessa mahdollisten matemaattisten järjestelmien tila muodostaa monimutkaisen hierarkian yhä vahvemmille järjestelmille. Suuret kardinaaliset aksioomat tarjoavat kanonisen keinon nousta hierarkiaan, ja niillä on keskeinen rooli vertaamalla järjestelmiä käsitteellisesti erillisistä alueista.

Tämä artikkeli on johdanto itsenäisyydelle, tulkittavuudelle, suurille kardinaaleille ja heidän keskinäisille suhteilleen. Luvussa 1 tarkastellaan klassisen riippumattomuuden tuloksia aritmeettisessa ja joukkoteoriassa. Osa 2 esittelee tulkittavuushierarkian ja kuvaa joitain sen peruspiirteistä. Luvussa 3 esitellään käsitys suuresta kardinaalisesta aksioomista ja käsitellään joitain keskeisiä esimerkkejä. Luvussa 4 yhdistetään aikaisemmat aiheet keskustelemalla tapaa, jolla suuret kardinaaliset aksioomat tarjoavat kanonisen keinon tulkitavuuden hierarkian nousuun ja toimivat välittäjänä vertaamalla järjestelmiä käsitteellisesti erillisistä alueista. Kohdassa 5 käsitellään lyhyesti joitain filosofisia näkökohtia.

  • 1. Itsenäisyys
  • 2. Tulkintahierarkia
  • 3. Suuret kardinaalin aksiomat
  • 4. Suuret kardinaalin aksiomat ja tulkintahierarkia
  • 5. Jotkut filosofiset näkökohdat
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Muut Internet-resurssit
  • Aiheeseen liittyvät merkinnät

1. Itsenäisyys

Aloitetaan käsitteellä aksioomijärjestelmä. Tämän ajatuksen motivoimiseksi mietitään tapaa, jolla perustelu tapahtuu perinteisesti matematiikassa. Perustellessaan tiettyä matematiikan alaa (tai itse asiassa mitä tahansa alaa) perusteluja koskevaa kysymystä työnnetään peräkkäin eteenpäin ja edelleen, kunnes lopulta saavutetaan periaatteet, jotka eivät hyväksy perusteellisempia perusteluja. Tämän päätevaiheen lausunnot valitaan aksioomiksi ja kohde organisoidaan sitten johdettavuuden suhteen aksioomien pohjasta. Aritmeettisessa tapauksessa tämä johti aksioomijärjestelmään PA (Peano-aritmeettinen) ja joukkoteorian tapauksessa se johti aksioomijärjestelmään ZFC (Zermelo-Frankel -sarja-teoria valitun aksiomin kanssa).

Kaksi luonnollista kysymystä nousee esiin: (1) Jos aksioomit eivät myönnä perusteellisempia perusteluja, miten niitä perustellaan? (2) Onko aksioomien perusta riittävän rikas, jotta jokainen lause voidaan ratkaista tällä perusteella?

Aksiomien epistemologista tilaa on kaksi perinteistä näkemystä. Ensinnäkin aksioomat eivät hyväksy lisäperusteita, koska ne ovat itsestään selviä. Toisessa näkökulmassa aksioomat eivät hyväksy lisäperusteita, koska ne ovat lopulliset aiheeseen nähden. Jokainen näistä ensimmäisen kysymystämme koskevista näkemyksistään johtaa siihen liittyvään optimistiseen näkemykseen toisesta kysymyksestämme - ensimmäisen optimistisen näkemyksen mukaan kaikki matemaattiset totuudet ovat johdettavissa (ensimmäisen asteen logiikassa) itsestään selvyistä totuuksista, kun taas toisen optimistisen mukaan Kaikki matemaattiset totuudet ovat johdettavissa (ensimmäisen asteen logiikassa) lauseista, jotka ovat lopulliset aiheeseen. Jos jompikumpi näistä optimistisista näkemyksistä osoittautuu oikeiksi, matematiikan perusteluja koskeva kysymys tulisi erityisen yksinkertaiseen muotoon:Joko lausunto olisi aksiomi (tällöin se olisi itsestään selvä tai lopullinen aiheesta (tarkasteltavana olevasta näkemyksestä riippuen)) tai se olisi johdettavissa ensimmäisen kertaluvun logiikasta joistakin sellaisista lausumista.

Valitettavasti nämä optimistiset näkemykset joutuivat kyseenalaistamaan vuonna 1931 Gödelin epätäydellisyyslauseet. Tässä on yksi versio toisesta epätäydellisyyden lauseesta:

Lause 1.1 (Gödel, 1931). Oletetaan, että PA on johdonmukainen. Sitten PA ei todista Con (PA).

Tässä Con (PA) on laskutoimitus, joka ilmaisee epävirallisen lausunnon, että PA on johdonmukainen. [1] Hieman vahvemmissa oletuksissa (esimerkiksi, että PA on Σ01-ääni [2]) voidaan päätelmää vahvistaa lisäämällä, että PA ei osoita ¬Con (PA); toisin sanoen, tämän vahvemman oletuksen mukaan Con (PA) on riippumaton PA: sta. Siksi meillä on tässä tapaus laskutoimituksesta (ja itse asiassa hyvin yksinkertaisesta), jota ei voida ratkaista vakioaksioomien perusteella. Lisäksi lause on täysin yleinen - se ei koske vain PA: tä, vaan mitä tahansa riittävän vahvaa muodollista järjestelmää T.

Tämä asettaa haasteen kahdelle edellä mainitulle optimistiselle näkemykselle, jotka koskevat matemaattisen totuuden luonnetta. Aluksi se osoittaa, että emme voi työskennellä kiinteän aksioomijärjestelmän T kanssa. Meidän on aina otettava käyttöön uusia aksioomeja. Vielä tärkeämpää on, että se herättää kysymyksen siitä, kuinka näitä uusia aksioomeja on perusteltava, sillä kun yhä enemmän lisääntyy vahvempia ja vahvempia aksioomeja, väite, että ne ovat joko itsestään selviä tai aiheeseen liittyviä lopullisia, kasvaa yhä vaikeammin.

Gödel huomautti jo vuonna 1931 luonnollisen tavan perustella uudet aksioomat. Hän huomautti, että jos joku siirtyy luonnollisten lukujen ulkopuolelle ja nousee tyyppien hierarkiaan (luonnollisten lukujen joukot, luonnollisten numeroiden joukot jne.), Saapuu aksioomiin (toisen kertaluvun aritmeettisen PA 2: n aksioomit), kolmannen kertaluvun aritmeettisen PA 3: n aksioomat jne.), jotka ratkaisevat hänen löytämänsä päättämättömät lausunnot. Toisen tason aksioomijärjestelmä, PA 2, ratkaisee lausunnon, joka jätetään ratkaisematta ensimmäiselle tasolle, nimittäin Con (PA); itse asiassa PA 2 todistaa Con (PA): n, mikä on haluttu tulos. Mutta nyt meillä on ongelma toisella tasolla. Toisesta epätäydellisyydestä lause osoittaa, että (samanlaisilla taustaoletuksilla kuin yllä) PA2 ei laske Con (PA 2). Onneksi kolmannen tason, aksioomijärjestelmä, PA 3, ratkaisee lausunnon, joka jätetään ratkaisematta toisella tasolla, nimittäin Con (PA 2). Tämä malli jatkuu. Jokaiselle ongelmalle on ratkaisu ja jokaisella on uusi ongelma. Tällä tavoin kiipeämällä tyyppihierarkiaan saadaan järjestelmiä, jotka ratkaisevat peräkkäin matkan varrella ilmenevät johdonmukaisuuslausekkeet.

Yllä oleva tyyppihierarkia voidaan laatia uudelleen joukkoteorian yhtenäisessä asettelussa. Joukko-teoreettinen hierarkia määritetään induktiivisesti aloittamalla emptysetistä, ottamalla poweret seuraavissa vaiheissa α + 1 ja ottamalla unioni raja-arvoilla λ:

V 0 = ∅
V a + 1 = P (V a)
V X = ∪ α <λ V α

Sarjojen V maailmankaikkeus on kaikkien tällaisten vaiheiden liitto: V = ∪ α∈On V α, missä On on ordinaalien luokka. Ensimmäinen ääretön taso V ω koostuu kaikista perinnöllisesti äärellisistä joukoista [3] ja tämä taso täyttää ZFC-äärettömyyden. Tämän tason sarjat voidaan koodata luonnollisilla numeroilla ja tällä tavoin voidaan osoittaa, että PA ja ZFC-Infinity ovat tulkittavissa vastavuoroisesti. [4] Toinen ääretön taso V ω + 1 on olennaisesti P (ℕ) (tai vastaavasti ℝ) ja tämä taso täyttää (teorian, joka on tulkittavissa yhdessä) PA 2: n kanssa. Kolmas ääretön taso V ω + 2on olennaisesti P (P (ℕ)) (tai vastaavasti kuin reaalilukujen funktiojoukko) ja tämä taso täyttää (teorian, joka on tulkittavissa yhdessä) PA 3: n kanssa. Kolme ensimmäistä ääretöntä tasoa käsittävät siten aritmeettisen, analyysin ja funktionaalisen analyysin ja siten suurimman osan vakiomatematiikasta. Tällä tavalla joukkojen ja niihin liittyvien joukko-teoreettisten järjestelmien hierarkia käsittää vakiomatematiikan objektit ja järjestelmät.

Jos nyt osoittautuisi, että johdonmukaisuuslauseet (ja muut asiaan liittyvät lauseet, jotka Gödel löysi vuonna 1931) olivat ainoita esimerkkejä määrittelemättömistä lauseista, yllä olevan hierarkian järjestelmien jakso tarttuisi kaikkiin esiin nouseviin ongelmiin.. Ja vaikka meillä ei koskaan olisi yhtä järjestelmää, joka antoi meille matemaattisen totuuden täydellisen aksiomaation, meillä olisi sarja järjestelmiä, jotka kattaisivat yhdessä kaikki matemaattiset totuudet.

Valitettavasti asioiden ei pitänyt olla niin yksinkertaisia. Ongelmana on, että kun kiivetä sarjojen hierarkiasta tällä tavoin, käytettävissä olevat suuremmat ilmaisevat resurssit johtavat entistä vaikeampiin määrityskelvottomiin lauseisiin, ja tämä on totta jo toisella ja kolmannella äärettömällä tasolla. Esimerkiksi, toisella äärettömällä tasolla voidaan muotoilla lause PM (että kaikki projektiiviset joukot ovat Lebesgue-mitattavissa) ja kolmannella äärettömällä tasolla voidaan formuloida CH (Cantorin jatkuvuushypoteesi). [5] Näitä lausuntoja tutkittiin intensiivisesti joukkoteorian varhaiskaudella, mutta edistystä ei tapahtunut. Selityksen tarjosi lopulta Gödelin ja Cohenin myöhemmät itsenäisyystekniikat.

Gödel keksi (vuonna 1938) sisämallien menetelmän määrittelemällä pienin sisämalli L. Tämä malli on määritelty samalla tavalla kuin V on määritelty paitsi, että seuraavissa vaiheissa edellisen vaiheen täyden voimajoukon ottamisen sijasta otetaan edellisen vaiheen määriteltävä voimajoukko, jossa tietylle joukolle X X: n määritelty voimajoukko Def (X) on joukko kaikkia X: n alajoukkoja, jotka voidaan määritellä X: llä parametreilla X: stä:

L 0 = ∅
L a + 1 = Def (L α)
L X = ∪ α <λ L α

Sisäinen malli L on kaikkien tällaisten vaiheiden liitto: L = ∪ α∈On L α. Gödel osoitti, että L tyydyttää (mielivaltaisesti suuria fragmentteja) ZFC: tä yhdessä CH: n kanssa. Tästä seuraa, että ZFC ei voi kumota CH: tä. Cohen täydensi tätä tulosta keksimällä (vuonna 1963) pakotusmenetelmä (tai ulkoiset mallit). Saatuaan täydellisen Boolen algebra B hän määritteli mallin V B ja osoitti, että ¬CH pitää paikkansa V B: ssä. [6] Tämän seurauksena ZFC ei pystynyt osoittamaan CH: tä. Siksi nämä tulokset yhdessä osoittivat, että CH on riippumaton ZFC: stä. Samanlaiset tulokset pätevät PM: lle ja joukolle muita joukkoteorian kysymyksiä.

Nämä itsenäisyystapaukset ovat paremmin hallittavissa, koska tyyppien hierarkian yksinkertainen toisto ei johda niiden ratkaisuun. Ne johtivat perusteellisempaan uusien aksioomien etsimiseen.

Gödel tarjosi jälleen ensimmäiset askeleet uusien aksioomien etsinnässä. Vuonna 1946 hän ehdotti uusina aksioomina suuria kardinaliaksioomeja - äärettömyyden aksioomeja, jotka väittävät, että tyyppien hierarkialla on erittäin suuret tasot - ja hän meni niin pitkälle, että harjoitti yleistä täydellisyyslausetta tällaisille aksiomeille, joiden mukaan kaikki joukkoteoria voitaisiin ratkaista sellaisilla aksioomilla (Gödel 1946, 151).

Tämän artikkelin loppuosan tarkoituksena on kuvailla riippumattomuuden luonnetta (yhdessä tulkittavuuden hierarkian kanssa) sekä riippumattomuuden ja suurten kardinaalin aksioomien välistä yhteyttä.

Lisälukema: Lisätietoja epätäydellisyyslauseista on Smoryński (1977), Buss (1998a) ja Lindström (2003). Katso lisätietoja joukkoteorian itsenäisyystekniikoista Jechiltä (2003) ja Kunenilta (1980).

2. Tulkintahierarkia

Tavoitteenamme on tutkia matemaattisten teorioiden tilaa (tulkittu rekursiivisesti lueteltaviksi aksioomijärjestelmiksi). Järjestys sellaisten teorioiden tilalle, joita tarkastelemme, on tulkittavuus. Epävirallinen käsitys tulkittavuudesta on kaikkialla matematiikassa; esimerkiksi Poincaré antoi tulkinnan kaksiulotteisesta hyperbolisesta geometriasta yksikköympyrän Euklidisella geometrialla; Dedekind tarjosi tulkinnan analyysista set-teoriassa; ja Gödel tarjosi tulkinnan muodollisen syntaksin teoriasta aritmeettisessa muodossa.

Käytämme tätä epävirallista käsitystä tarkalla muodollisella tavalla. Olkoot T 1 ja T 2 rekursiivisesti lueteltavat aksioomijärjestelmät. Me sanomme, että T 1 on tulkittavissa T 2 (T 1 ≤ t 2), kun karkeasti ottaen on käännös τ kielestä T 1 kieleen T 2 sellaista, että jokaisen lauseen φ kielestä T 1, jos T 1 ⊢φ, niin T 2 ⊢τ (φ). [7] Me kirjoitamme T 1 <T 2, kun T 1 ≤ T 2 ja T 2≰ T 1 ja kirjoitamme T 1 ≡ T 2, kun sekä T 1 ≤ T 2 että T 2 ≤ T 1. Jälkimmäisessä tapauksessa, T 1 ja T 2 sanotaan olevan keskenään tulkittavissa. Kaikkien T: n kanssa tulkittavien teorioiden ekvivalenssiluokkaa kutsutaan T: n tulkittavuusasteeksi.

Esityksen helpottamiseksi teemme kolme yksinkertaistavaa olettamusta käsiteltävistä teorioista. Ensinnäkin oletetaan, että kaikki teoriamme ovat sohvat asetetun teorian kielellä. Tässä oletuksessa ei menetetä yleisyyttä, koska jokainen teoria voidaan tulkita vastavuoroisesti tämän kielen teorian kanssa. Esimerkiksi, kuten aikaisemmin todettiin, PA ja ZFC-Infinity ovat tulkittavissa vastavuoroisesti. Toiseksi, oletamme, että kaikki teoriamme sisältävät ZFC-äärettömyyden. Kolmanneksi, oletamme, että kaikki teoriamme ovat Σ01-ääniä.

Tulkintahierarkia on kaikkien teorioiden (jotka täyttävät kolme yksinkertaistavaa olettamusta) kokoelma suhteessa ≤. Siirrymme nyt keskusteluun tämän hierarkian rakenteesta.

Aluksi on hyödyllinen karakterisointi suhteelle ≤. Kirjoita nyt T 1Π01 T 2 osoittaaksesi, että jokainen T 1: ssä todistettava Π01-lause on todistettavissa myös T 2: ssa. Keskeinen tulos tulkittavuuden teoriassa on, että (yksinkertaistavien oletusten myöntäminen) T 1 ≤ T 2, jos T 1Π01 T 2. Tästä karakterisoinnista ja toisesta epätäydellisyyttä koskevasta lauseesta seuraa, että minkä tahansa teorian T osalta teoria T + Con (T) on ehdottomasti vahvempi kuin T, ts. T <T + Con (T). Lisäksi aritmetoidusta täydellisyyttä koskevasta lauseesta seuraa, että teoria T + ¬Con (T) on tulkittavissa T: ssä, joten T ≡ T + ¬Con (T).

Tulkittavuuden kannalta on olemassa kolme mahdollista tapaa, joilla lausunto φ voi olla riippumaton teoriasta T.

  1. Yksi hyppy. Vain yksi φ: stä tai ¬φ: sta johtaa voimakkuuden hyppäämiseen, ts.

    T + φ> T ja T + ¬φ ≡ T

    (tai samoin φ: n ja ¬φ: n kanssa).

  2. Ei hyppyä. Kumpikaan φ tai ¬φ ei johda vahvuushyppyyn, toisin sanoen

    T + φ ≡ T ja T + ¬φ ≡ T.

  3. Tuplahyppy. Sekä φ että ¬φ johtavat vahvuushyppyyn, toisin sanoen

    T + φ> T ja T + ¬φ> T.

Osoittautuu, että jokainen näistä mahdollisuuksista on toteutettu. Ensimmäisenä riittää, kun otetaan Π01-lause Con (T). Toisen kerran on helppo nähdä, ettei ole esimerkkiä, joka olisi Π01; sellaisen lauseen yksinkertaisin mahdollinen monimutkaisuus on A02 ja osoittautuu, että sellaisia esimerkkejä on; esimerkkejä tämän tyyppisestä itsenäisyydestä kutsutaan Oreyn lauseiksi. Kolmannen tyyppiselle riippumattomuudelle on Π01 tapausta. (Tämä on seurausta Lemma 14: sta Lindströmin (2003) sivuilla 128–129.)

Nämä ovat kaikki metamatmaattisia esimerkkejä, sellaista esimerkkiä, jonka vain logiikka rakentaisi. On luonnollista kysyä, onko olemassa "luonnollisia" esimerkkejä, suunnilleen sellaisia esimerkkejä, joita esiintyy normaalissa matematiikan kurssissa. Asetetussa teoreettisessa tapauksessa tällaisia esimerkkejä on runsaasti kahdessa ensimmäisessä tapauksessa. Esimerkiksi, PM on esimerkki ensimmäisestä riippumattomuuden tyypistä ja CH on esimerkki toisen tyyppisestä riippumattomuudesta. Kolmannen tyyppisestä itsenäisyydestä ei ole tunnettuja "luonnollisia" esimerkkejä. Aritmeettisessa tapauksessa tällaiset esimerkit ovat harvinaisia. Ensimmäisen tyyppisestä itsenäisyydestä on esimerkkejä (joista tunnetuin on klassinen esimerkki Pariisin ja Harringtonin ansiosta), mutta ei toisen tai kolmannen tyyppistä itsenäisyyttä.

Huomaa, että kolmannen esimerkin tapauksessa kaksi T: n yläpuolella olevaa teoriaa eivät ole vertailukelpoisia tulkittavuusjärjestyksessä. Tällaisten Π01-lauseiden parin konstruoimiseksi käytetään diagonaalisen lemman vastakkaista muotoa kahden another01-lauseen muodostamiseen, jotka viittaavat toisiinsa. Tällaisten tekniikoiden käyttö voi osoittaa, että tulkittavuusjärjestys on melko monimutkainen. Esimerkiksi mitkä tahansa kaksi teoriaa T 1 ja T 2 siten, että T 1 <t 2 on kolmasosa teoria T siten, että T 1 <t <T 2. Siksi tulkittavuusasteiden järjestystä ei ole lineaarisesti järjestetty eikä perusteltu. (Katso Feferman (1960).)

Huomattavana on, että kun rajoitutaan vain "luonnossa" esiintyviin teorioihin, tulkittavuusjärjestys on melko yksinkertainen: Laskevia ketjuja ei ole ja vertailukelvottomia elementtejä ei ole - luonnossa syntyvien teorioiden tulkittavuusjärjestys on wellordering. Erityisesti, vaikka ensimmäisen ja toisen tyyppisestä riippumattomuudesta on luonnollisia esimerkkejä (esim. Vastaavasti PM ja CH, jota palaamme alla), kolmannesta riippumattomuuden tyypistä ei ole tunnettuja luonnollisia esimerkkejä.

Joten teoksille, jotka "syntyvät luonnossa", meillä on hyvin järjestetty hierarkia tulkittavuusjärjestyksen alla. Tilauksen perustalla on tutkinto, jota edustaa minimiteoriamme ZFC-Infinity, ja on vain yksi tapa edetä, nimittäin ylöspäin lujuuden suhteen.

Olemme jo nähneet yhden tavan siirtyä tulkittavuusasteiden hierarkiaan, nimittäin lisäämällä johdonmukaisuuslausekkeita. Tällä lähestymistavalla on kaksi haittaa. Ensinnäkin, jos alkaa teoriasta, joka "syntyy luonnossa" ja lisää johdonmukaisuuslausekkeen, laskeutuu asteeseen, jolla ei ole tunnettua edustajaa, joka "syntyy luonnossa". Toiseksi johdonmukaisuuslauseke ei vie yhtä kaukana hierarkiaa. Molemmat näistä haitoista korjataan hyvin luonnollisella aksioomiluokalla - suurilla kardinaalisilla aksioomeilla.

Lisälukema: Lisätietoja tulkittavuushierarkian rakenteesta on Lindströmin (2003) luvuissa 6–8.

3. Suuret kardinaalin aksiomat

Olkoon Z 0 teoria ZFC-äärettömyyden korvaaminen. (Tämä teoria on loogisesti ekvivalentti perustoteoriamme ZFC-Infinity kanssa.) Vahvistamme peräkkäin Z 0 lisäämällä heijastavasti aksioomeja, jotka väittävät, että joukkojen maailmankaikkeuden tietyillä tasoilla on olemassa.

Z 0: n vakiomalli on V ω. Äärettömyyden aksioma (yhdessä formulaatiossa) vain väittää, että tämä joukko on olemassa. Joten, kun lisäämme Axiom Infinity, tuloksena teoria Z 1 (tunnetaan Zermelo joukko-opin Choice) ei ainoastaan osoittaa yhdenmukaisuutta Z 0; se osoittaa, että Z 0: lla on vakiomalli. Nyt Z 1: n vakiomalli on V ω + ω. Korvauksen aksioma tarkoittaa, että tämä joukko on olemassa. Joten, kun lisäämme Axiom ja vaihto, tuloksena teoria Z 2 (tunnetaan ZFC), ei ainoastaan osoittaa yhdenmukaisuutta Z 1; se todistaa, että Z 1: llä on vakiomalli.

Standardi malli Z 2 on V-muoto κ jossa κ on säännöllinen kardinaali siten, että kaikille α <κ, 2 α <κ. Tällaista kardinaalia kutsutaan (voimakkaasti) saavuttamattomaksi kardinaliksi. Seuraava tarkasteltavan hierarkian aksiooma on lausunto, jossa väitetään, että tällainen kardinaali on olemassa. Tuloksena oleva teoria ZFC + “On vahvasti tavoittamaton kardinaali” todistaa, että on olemassa universumin taso, joka tyydyttää ZFC: n. Jatkaen tällä tavalla saadaan aikaan vahvempia ja vahvempia aksioomeja, jotka väittävät, että joukkojen maailmankaikkeudessa on yhä suurempia tasoja. Ennen kuin jatkamme tällaisten aksioomien ääriviivat, luotakaamme ensin yhteys tulkittavuuden hierarkiaan.

Muista luokittelu kolmeen riippumattomuuden tyyppiin. Huomasimme, että kolmannesta riippumattomuuden tyypistä ei ole tunnettuja luonnollisia esimerkkejä, mutta ensimmäisen ja toisen tyyppisestä riippumattomuudesta on luonnollisia esimerkkejä.

Luonnollisia esimerkkejä toisen tyyppisestä riippumattomuudesta saadaan sisä- ja ulkomallien kaksoismenetelmällä. Esimerkiksi nämä menetelmät osoittavat, että teoriat ZFC + CH ja ZFC + ¬CH ovat tulkittavissa molemminpuolisesti ZFC: n kanssa, toisin sanoen kaikki kolme teoriaa ovat samassa asteessa. Toisin sanoen, CH on Orey-lause ZFC: n suhteen. Entä se toinen lause, jonka otimme käyttöön: PM?

Sisämallien menetelmällä Gödel osoitti, että ¬PM pysyy L: ssä. Tästä seuraa, että ZFC + ¬PM on tulkittavissa molemminpuolisesti ZFC: n kanssa. Mutta entä PM? Osoittaakseen, että ZFC + PM on tulkittavissa ZFC: n kanssa, luonnollinen lähestymistapa olisi seurata CH: hen käytettyä lähestymistapaa ja rakentaa ZFC: n ulkoinen malli, joka tyydyttää PM: n. On kuitenkin tiedossa, että tätä ei voida tehdä aloittamalla pelkästään ZFC: ltä. Sillä osoittautuu (Shelahin (1984) tuloksena), että ZFC + PM merkitsee ZFC: n johdonmukaisuutta ja tämä tarkoittaa toisessa puutteellisuuslauseessa, että ZFC + PM: tä ei voida tulkita ZFC: ssä. Tietyssä mielessä meillä on tässä tapauksessa itsenäisyys. Tarkemmin sanoen, vaikka oletetaankin, että ZFC on johdonmukainen, emme voi (toisin kuin CH: n tapauksessa) osoittaa, että PM on riippumaton ZFC: stä. PM: n riippumattomuuden määrittämiseksi ZFC: sta on otettava huomioon vahvemman teorian, nimittäin ZFC +: n, johdonmukaisuus.”On vahvasti tavoittamaton kardinaali”. Sillä käy ilmi, että ZFC + PM ei ole ZFC: n tulkittavuusaste, vaan pikemminkin ZFC +: n tulkittavuusaste”On vahvasti tavoittamaton kardinaali”. Yhteenvetona: Vaikka CH on tapaus toisen tyyppisestä riippumattomuudesta, PM on tapaus ensimmäisen tyypin riippumattomuudesta; se on samanlainen kuin Con (ZFC) siinä mielessä, että se on lause φ sellainen, että vain yksi lauseista φ tai ¬φ johtaa voimakkuuden hyppäämiseen, vasta nyt on kaksi eroa; hypätä laskeutuu paljon voimakkaammassa asteessa ja sitä edustaa luonnollinen teoria. Sillä käy ilmi, että ZFC + PM ei ole ZFC: n tulkittavuusaste, vaan pikemminkin ZFC +: n tulkittavuusaste”On vahvasti tavoittamaton kardinaali”. Yhteenvetona: Vaikka CH on tapaus toisen tyyppisestä riippumattomuudesta, PM on tapaus ensimmäisen tyypin riippumattomuudesta; se on samanlainen kuin Con (ZFC) siinä mielessä, että se on lause φ sellainen, että vain yksi lauseista φ tai ¬φ johtaa voimakkuuden hyppäämiseen, vasta nyt on kaksi eroa; hypätä laskeutuu paljon voimakkaammassa asteessa ja sitä edustaa luonnollinen teoria. Sillä käy ilmi, että ZFC + PM ei ole ZFC: n tulkittavuusaste, vaan pikemminkin ZFC +: n tulkittavuusaste”On vahvasti tavoittamaton kardinaali”. Yhteenvetona: Vaikka CH on tapaus toisen tyyppisestä riippumattomuudesta, PM on tapaus ensimmäisen tyypin riippumattomuudesta; se on samanlainen kuin Con (ZFC) siinä mielessä, että se on lause φ sellainen, että vain yksi lauseista φ tai ¬φ johtaa voimakkuuden hyppäämiseen, vasta nyt on kaksi eroa; hypätä laskeutuu paljon voimakkaammassa asteessa ja sitä edustaa luonnollinen teoria.hypätä laskeutuu paljon voimakkaammassa asteessa ja sitä edustaa luonnollinen teoria.hypätä laskeutuu paljon voimakkaammassa asteessa ja sitä edustaa luonnollinen teoria.

Yleensä joukon teorian (tunnetut) lauseet ovat joko CH tai PM. Jotkut ovat kuin CH siinä mielessä, että sekä ZFC + φ että ZFC + ¬φ sijaitsevat ZFC-asteessa. Toiset ovat kuin PM siinä mielessä, että yksi ZFC + φ: sta ja ZFC + ¬φ: stä on ZFC: n aste, kun taas toinen on ZFC: n laajenemisasteesta suuren kardinaalin aksiooman kautta.

Palatkaamme nyt katsaukseen suuriin kardinaaleihin. Vahvasti saavuttamattomien kardinaalien jälkeen on Mahlo-kardinaaleja, sanoinkuvaamattomia kardinaaleja ja käyttökelvottomia kardinaaleja. Kaikki nämä suuret kardinaaliset aksioomat voidaan johtaa yhtenäisellä tavalla käyttämällä perinteistä heijastusperiaatteiden monimuotoisuutta (ks. Tait 2005), mutta on olemassa rajoituksia, kuinka kauan tämä heijastusperiaatteiden monimuotoisuus voi viedä yhden. Sillä tällaisten periaatteiden hyvin yleisessä karakterisoinnissa tiedetään, että ne eivät voi tuottaa Erdős-kardinaalia κ (ω). Katso Koellner (2009).

Tähän mennessä pidetyt suuret kardinaalit (mukaan lukien κ (ω)) tunnetaan pieninä suurina kardinaaleina. Suuri kardinaali on pieni, jos siihen liittyvä suuri kardinaalin aksioomi mahtuu Gödelin rakennettavissa olevaan universumiin L, ts. Jos “V ⊨ κ on inal kardinaali” on johdonmukainen, niin “L ⊨ κ on φ kardinaali” on johdonmukainen. Muuten suuri kardinaali on suuri.

(Yksittäisten) suurten kardinaalien aksioomien muotoilua varten on olemassa yksinkertainen malli, joka liittyy alkuaineiden upotuksiin. Yleensä tällainen aksiooma väittää, että on olemassa transitiivinen luokka M ja ei-triviaalinen alkeis upotus

j: V → M.

Sanoa, että upottaminen ei ole triviaalia, on vain sanoa, että identiteettiä ei ole, jolloin on siirrettävä vähiten ordinaalia. Tätä ordinaalia kutsutaan j: n kriittiseksi pisteeksi ja merkitään crit (j). Kriittinen kohta on (tyypillisesti) upotukseen liittyvä suuri kardinaali. Kardinaalin κ sanotaan olevan mitattavissa, jos se on tällaisen upotuksen kriittinen kohta. [8]

On helppo nähdä, että sellaiselle upotukselle V κ + 1 ⊆ M, missä κ = crit (j). Tämä määrä sopimusta antaa mahdollisuuden osoittaa, että κ on vaikea saavuttaa, Mahlo, käsittämätön, käyttökelvoton jne. Tämän havainnollistamiseksi oletetaan, että olemme osoittaneet, että κ on voimakkaasti saavuttamaton, ja osoittakaamme, että κ: llä on paljon vahvempia suuria kardinaaliominaisuuksia. Koska κ ei ole voimakkaasti saavutettavissa V: ssä ja koska (V κ + 1) M = V κ + 1, M ajattelee myös, että κ ei ole päästä käsiksi. Erityisesti M: n mielestä j: n (κ) alapuolella on vahvasti tavoittamaton kardinaali (nimittäin κ). Mutta sitten j: n elementaarisuuden perusteella V: n on ajateltava samaa asiaa j: n (κ) ennakkokuvasta, nimittäin, κ, ts. V: n on ajateltava, että κ: n alapuolelle on voimakkaasti saavuttamaton. Joten κ ei voi olla vähiten tavoittamaton kardinaali. Jatkamalla tällä tavalla voidaan osoittaa, että kb: n alapuolella on monia voimakkaasti esteettömiä ja että itse asiassa, että κ on Mahlo, sanoin kuvaamaton, määrittelemätön jne. Joten mitattavissa olevat kardinaalit alittavat pienet suuret kardinaalit.

Itse asiassa Scott osoitti, että (toisin kuin pienet suuret kardinaalit) mitattavia kardinaaleja ei voi olla Gödelin rakennettavassa universumissa. Olkaamme täsmällisiä tästä. Olkoon V = L lause, joka väittää, että kaikki sarjat ovat rakennettavissa. Sitten jokaiselle pienelle suurelle kardinaaliselle aksioomille φ (tarkkaan edellä luetellut), jos teoria ZFC + φ on yhdenmukainen, niin on teoria ZFC + φ + V = L. Sitä vastoin teoria ZFC +”On mitattavissa oleva kardinaali” todistaa ¬ V = L. Tämä voi tuntua jonkin verran virheetöntä, koska L sisältää kaikki ordinaalit ja joten jos κ on mitattavissa oleva kardinaali, niin κ on ordinaali L: ssä. Asia on, että L ei voi "tunnistaa", että κ on mitattavissa oleva kardinaali, koska se on liian "ohut" sisältämään ultra-suodatin, joka todistaa κ: n mitattavuuden.

Yksi tapa vahvistaa suurta kardinaaliaksioomia yllä olevan mallin perusteella on vaatia suurempaa sopimusta M: n ja V: n välillä. Esimerkiksi, jos vaaditaan, että V κ + 2 ⊆ M, M voi tunnistaa sen tosiasian, että κ on mitattavissa (P (κ): n osajoukon todistama). Ja niin, täsmälleen samalla väitteellä, jota käytimme yllä, on κ: n alapuolella oltava mitattavissa oleva kardinaali.

Tämä johtaa yhä vahvempien suurten kardinaalisten aksioomien etenemiseen. On hyödyllistä keskustella joistakin tämän hierarkian tärkeimmistä vaiheista.

Jos κ on kardinaali ja η> κ on ordinaali, niin κ on η- vahva, jos on olemassa transitiivinen luokka M ja ei-triviaalinen alkio, joka upottaa j: V → M siten, että krit (j) = κ, j (κ) > η ja V η ⊆ M. Kardinaali κ on vahva, jos se on η-vahva kaikille η> κ. Voidaan myös vaatia, että upottaminen säilyttää tietyt luokat: Jos A on luokka, κ on kardinaali ja η> κ on ordinaali, niin κ on η-A - vahva, jos olemassa aj: V → M, joka todistaa, että κ on η-vahva ja jolla on lisäominaisuus, että j (A ∩ V κ) ∩ V η = A ∩ V η. Seuraavalla suurella kardinalikäsityksellä on keskeinen rooli uusien aksioomien etsinnässä.

Määritelmä 3.1. Kardinaali κ on Woodin-kardinaali, jos κ ei ole voimakkaasti saavutettavissa ja kaikille A ⊆ V κ on kardinaali κ A <κ,

κ A on η- A-vahva,

jokaiselle η: lle siten, että κ A <η <κ. [9]

Voidaan saada vahvempia suuria kardinaaliaksioomeja luomalla linkki upotuksen j ja samankaltaisuuden määrän välillä M ja V. Esimerkiksi kardinaali κ on ylimääräinen, jos on olemassa transitiivinen luokka M ja ei-triviaalinen alkio upotettu j: V → M siten, että krit (j) = κ ja V j (κ) ⊆ M. Jos κ on superstrong, niin κ on Woodin-kardinaali ja κ: n alapuolella on mielivaltaisesti suuria Woodin-kardinoleja.

Voidaan saada myös vahvoja suuria kardinaaliaksioomeja asettamalla sulkemisolosuhteet kohdemalliin M. Esimerkiksi, antamalla γ ≥ kardinaalin κ on γ-superkompakti, jos on olemassa transitiivinen luokka M ja ei-triviaalinen alkio upotettu j: V → M siten, että krit (j) = κ ja γ M ⊆ M, ts. M on suljettu y-sekvenssien alla. (On suoraviivaista nähdä, että jos M on suljettu y-sekvenssien alla, niin H (γ +) ⊆ M; joten tämä lähestymistapa korvaa edellisen lähestymistavan.) Kardinaali κ on superkompakti, jos se on γ-superkompakti kaikille γ ≥ κ. Nyt, kuten edellisessä lähestymistavassa, näitä aksioomeja voidaan vahvistaa luomalla linkki upotuksen j ja kohdemallin sulkemisolosuhteiden välille. Kardinaali κ on n-valtava, jos on olemassa transitiivinen luokka M ja ei-triviaalinen alkio, joka upottaa j: V → M siten, että j   n (κ) M ⊆ M, missä κ = crit (j) ja j   i +1 (κ) on määritelty j (j   i (κ)).

Voidaan jatkaa tällä tavoin vaatien parempaa sopimusta M: n ja V: n välillä. Viimeinen aksioomi tähän suuntaan edellyttäisi tietysti, että M = V. Reinhardt ehdotti tätä aksioomia, ja Kunen osoitti pian sen jälkeen epäjohdonmukaisuuden (ZFC: ssä). Itse asiassa Kunen osoitti, että olettaen, että ZFC, voi olla transitiivinen luokka M ja ei-triviaalinen alkio upotettu j: V → M siten, että j '' λ ∈ M, missä λ = sup n <ω   j   n (κ). ja K = krit (j). Erityisesti ei voi olla sellaista M: tä ja j: tä, että V λ + 1 ⊆ M. Tämä asetti rajan kohdemallin sulkemiselle (suhteessa upotukseen). [10]

Siitä huolimatta, yllä olevan ylärajan alapuolella on paljon tilaa. Esimerkiksi erittäin vahva aksioomi on lausunto, että on olemassa ei-triviaalinen elementtisulake j: V λ + 1 → V λ + 1. Vahvin suuri kardinaali-aksioomi nykyisessä kirjallisuudessa on aksioomi, joka väittää, että on olemassa ei-triviaalinen alkio upotus j: L (V λ + 1) → L (V λ + 1) siten, että krit (j) <λ. Viimeaikaisessa työssä Woodin on löytänyt aksioomat paljon vahvempia.

Lisälukema: Lisätietoja suurista kardinaalisista aksioomeista, katso Kanamori (2003).

4. Suuret kardinaalin aksiomat ja tulkintahierarkia

Edellä käsitellyt suuret kardinaalin aksioomat ovat lujuuden suhteen luonnollisesti hyvin järjestetyt. [11] Tämä on luonnollinen tapa siirtyä tulkittavuuden hierarkiaan. Aloitamme pohjalta ZFC-Infinity-teorialta ja kiipeämme sitten ZFC: lle ja ylöspäin ZFC + Φ: n kautta useille suurille kardinaalisille aksioomeille Φ. Huomaa, että kahdelle suurelle kardinaaliselle aksioomille Φ ja Ψ, jos Ψ on vahvempi kuin Φ, Ψ tarkoittaa, että a: lle on olemassa vakiomalli ja siten meillä on luonnollinen tulkinta ZFC + Φ: sta ZFC + Ψ: ssa.

Olemme jo todenneet, että ZFC + ¬PM on tulkittavissa molemminpuolisesti ZFC + LC: n kanssa, jossa LC on suuri kardinaaliaksioomi “On vahvasti tavoittamaton kardinaali” ja että tämä esitetään käyttämällä sisäisen ja ulkoisen malliteorian kaksoismenetelmiä. On huomattava empiirinen tosiasia, että jokaiselle”luonnolliselle” lausumalle asetetun teorian kielellä generally voidaan yleensä löytää suuri kardinaaliaksioomi Φ sellainen, että ZFC + φ ja ZFC + Φ ovat tulkittavissa vastavuoroisesti. Tämäkin vahvistetaan käyttämällä sisäisen ja ulkoisen malliteorian kaksoismenetelmiä, vain nyt suuret kardinaalit tulevat sekoitukseen. Sen määrittämiseksi, että ZFC + Φ tulkitsee ZFC + φ, alkaa yleensä ZFC + Φ -malli ja käytetään pakottamalla rakentamaan ZFC + φ -malli. Monissa tapauksissa pakottava rakentaminen käsittää Φ: ään liittyvän suuren kardinaalin "romahtamisen" ja romahtamisen järjestämisen siten, että φ pysyy "rauniossa". Toiseen suuntaan yksi alkaa yleensä mallilla ZFC + model ja konstruoi sitten sisämallin (malli, joka muistuttaa L: tä, mutta joka kykenee mukautumaan suuriin kardinaaliaksioihin), joka sisältää suuren kardinaalin, jonka väitetään olevan olemassa Φ: lla. Sisäisenä malliteoriana tunnettu joukkoteorian haara on omistettu tällaisten "L-kaltaisten" mallien rakentamiselle vahvemmille ja vahvemmille suurille kardinaaleille. Sisäisenä malliteoriana tunnettu joukkoteorian haara on omistettu tällaisten "L-kaltaisten" mallien rakentamiselle vahvemmille ja vahvemmille suurille kardinaaleille. Sisäisenä malliteoriana tunnettu joukkoteorian haara on omistettu tällaisten "L-kaltaisten" mallien rakentamiselle vahvemmille ja vahvemmille suurille kardinaaleille.

Tällä tavoin ZFC + LC -muodon teoriat, joissa LC on suuri kardinaaliaksioomi, tarjoavat mittapuun teorioiden lujuuden mittaamiseen. Ne toimivat myös välittäjinä käsitteellisesti erillisten alueiden teorioiden vertailussa: Kun otetaan huomioon ZFC + φ ja ZFC + ψ, löytyy suuria kardinaaliaksioomeja Φ ja Ψ siten, että (sisäisen ja ulkoisen mallin menetelmiä käyttämällä) ZFC + φ ja ZFC + Φ ovat keskinäisesti tulkittavissa ja ZFC + ψ ja ZFC + Ψ ovat tulkintakelpoisia. Sitten verrataan ZFC + φ ja ZFC + ψ (tulkittavuuden kannalta) välittämällä ZFC + Z: n ja ZFC + Ψ: n luonnollisen tulkittavuuden suhteen. Niin suuret kardinaaliset aksioomat (yhdessä sisäisen ja ulkoisen mallin kaksoismenetelmän kanssa) ovat merkittävän empiirisen tosiasian ytimessä, että täysin erillisten alueiden luonnollisia teorioita voidaan verrata tulkittavuuden kannalta.

5. Jotkut filosofiset näkökohdat

Tärkein itsenäisyystulosten valossa nouseva kysymys on, voidaanko perustella uusia aksioomeja, jotka ratkaisevat lausunnot, jotka ovat jättäneet standardiaksioomien ratkaisematta. Näkemyksiä on kaksi. Ensimmäisessä mielessä vastauksen katsotaan olevan kielteinen, ja yksi käsittää moniarvoisuuden radikaalin muodon, jossa yhdellä joukolla on yhtä laillisia vakioaksioomien laajennuksia. Toisessa näkymässä vastauksen katsotaan olevan (ainakin osittain) myöntävä, ja tulokset osoittavat yksinkertaisesti, että ZFC on liian heikko matemaattisten totuuksien kaappaamiseksi. Tämä aihe on varsin kiinnostunut ja jää tämän artikkelin ulkopuolelle.

Mutta on myös muita filosofisia kysymyksiä, jotka liittyvät suoraan tämän artikkelin aiheisiin. Ensinnäkin, mikä merkitys on empiirisellä tosiasialla, että suuret kardinaaliset aksioomat näyttävät olevan järjestetty tulkittavissa? Toiseksi, mikä merkitys on empiirisellä tosiasialla, että suurilla kardinaaleilla aksioomeilla on keskeinen rooli vertaamalla monia teorioita käsitteellisesti erillisistä alueista? Tarkastellaan näitä kahta kysymystä vuorotellen.

Voidaan yrittää väittää, että se, että suuret kardinaaliset aksioomat järjestetään hyvin tulkittavissa, on heidän hyväkseen otettava huomioon. Tämä olisi kuitenkin heikko argumentti. Sillä, kuten olemme edellä todenneet, kaikki "luonnolliset" teoriat näyttävät olevan järjestetty tulkittavissa ja tämä sisältää teorioita, jotka eivät ole keskenään yhteensopivia. Esimerkiksi on suoraviivaista valita”luonnolliset” teoriat korkeamman ja ylemmän tason teorioista hyvin järjestetyssä järjestyksessä, jotka eivät ole keskenään yhteensopivia. Tästä seuraa, että tulkittavuuden kannalta hyvin järjestetty piirre, vaikka se onkin merkittävä, ei voi olla totuuden puolustamiskohta.

Mutta suurilla kardinaalisilla aksioomeilla on lisäominaisuuksia, jotka erottavat ne luonnon teorioiden luokasta hyvin järjestetyssä astejärjestyksessä. Aluksi ne tarjoavat luonnollisimman tavan tulkita tulkittavuuden hierarkiaan - ne ovat yksinkertaisin ja luonnollisin esimerkki puhtaasta matemaattisesta vahvuudesta. Tärkeämpää on kuitenkin edellä mainittu toinen komponentti, nimittäin suuret kardinaaliset aksioomat toimivat välittäjinä vertaamalla teorioita käsitteellisesti erillisistä alueista. Tämän toiminnan muistuttamiseksi: Kun otetaan huomioon ZFC + φ ja ZFC + ψ, löytyy suuria kardinaaliaksioomeja Φ ja Ψ siten, että (sisä- ja ulkomallien menetelmiä käyttämällä) ZFC + φ ja ZFC + Φ ovat tulkittavissa keskenään ja ZFC + ψ ja ZFC + Ψ ovat keskinäisesti tulkittavissa. Sitten verrataan ZFC + φ ja ZFC + ψ (tulkittavuuden kannalta) välittämällä ZFC + Z: n ja ZFC + Ψ: n luonnollisen tulkittavuuden suhteen.

Osoittautuu, että monissa tapauksissa tämä on ainoa tunnettu tapa verrata ZFC + φ: ta ja ZFC + ψ: ta, ts. Monissa tapauksissa ei ole suoraa tulkintaa kumpaankaan suuntaan, sen sijaan on kuljettava suurten kardinaalin aksioomien läpi. Voidaanko tätä lisäominaisuutta käyttää tapauksen luomiseen suurille kardinaalisille aksioomeille? Vastaus on epäselvä. Selvää on kuitenkin suurten kardinaalisten aksioomien absoluuttinen keskittymä joukkoteoriassa.

bibliografia

  • Ackermann, Wilhelm, 1937,”Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre”, Mathematische Annalen, 114: 305–315.
  • Barwise, Jon K., 1977, matemaattisen logiikan käsikirja (logiikan opinnot ja matematiikan perusteet: 90), Amsterdam: Pohjois-Hollanti.
  • Buss, Samuel R., 1998a,”Aritmeettisen ensimmäisen asteen todisteteoria”, Buss 1998b, 79–147.
  • –––, 1998b, todisteteorian käsikirja (logiikan opinnot ja matematiikan perusteet: 137), Amsterdam: Pohjois-Hollanti.
  • Feferman, Solomon, 1960,”Metamatematiikan aritmetointi yleisessä ympäristössä”, Fundamenta Mathematicae, 49: 35–92.
  • Foreman, Matthew ja Kanamori, Akihiro, 2009, Set Theory Handbook, Berliini: Springer-Verlag.
  • Gödel, Kurt, 1946,”Huomautuksia ennen Princetonin kaksivuotiskonferenssia matematiikan ongelmista”, Gödel 1990, 150–153.
  • –––, 1986, Collected Works I: Julkaisut 1929–1936, S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay ja J. van Heijenoort (toim.), Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1990, Kerätyt teokset II: Julkaisut 1938–1974, S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay ja J. van Heijenoort (toim.), Oxford: Oxford University Press.
  • Jech, Thomas J., 2003, Set Theory (kolmas Millennium Edition, tarkistettu ja laajennettu), Berliini: Springer-Verlag.
  • Kanamori, Akihiro, 2003, Korkein ääretön: Suuret kardinaalit joukkoteoriassa niiden alusta (Springer-monografiat matematiikassa), 2. painos, Berliini: Springer.
  • Koellner, Peter, 2009,”Reflection Principles”, Annals of Pure and Applied Logic, 157: 206–219.
  • Kunen, Kenneth, 1980, joukkoteoria: Johdatus itsenäisyystodistuksiin (logiikan opinnot ja matematiikan perusteet: 102), Amsterdam: Pohjois-Hollanti.
  • Lindström, Per, 2003, epätäydellisyyden näkökohdat (logiikan muistiinpanot: 10), 2. painos, CITY: Symbolisen logiikan yhdistys.
  • Shelah, Saharon, 1984,”Voitteko viedä Solovayn tavoittamattomuuden pois?”, Israel Journal of Mathematics, 48 (1): 1–47.
  • Smoryński, Craig A., 1977,”epätäydellisyyslauseet”, Barwise 1977, 821–865.
  • Tait, William W., 2005a,”Kardinaalien rakentaminen alhaalta”, Tait 2005b, 133-154.
  • –––, 2005b, Puhtaan syyn esiintyminen: Esseitä matematiikan ja sen historian filosofiassa, Oxford: Oxford University Press.

Akateemiset työkalut

sep mies kuvake
sep mies kuvake
Kuinka mainita tämä merkintä.
sep mies kuvake
sep mies kuvake
Esikatsele tämän tekstin PDF-versio SEP-Ystävien ystävissä.
inpho-kuvake
inpho-kuvake
Katso tätä kirjoitusaihetta Internet Philosophy Ontology Projektista (InPhO).
phil paperit -kuvake
phil paperit -kuvake
Parannettu bibliografia tälle merkinnälle PhilPapersissa, linkkien avulla tietokantaan.

Muut Internet-resurssit

[Ota yhteyttä kirjoittajaan ehdotuksilla.]