Aksomaattiset Totuuden Teoriat

Sisällysluettelo:

Aksomaattiset Totuuden Teoriat
Aksomaattiset Totuuden Teoriat

Video: Aksomaattiset Totuuden Teoriat

Video: Aksomaattiset Totuuden Teoriat
Video: Вот почему Шестая ПРЕДАЛА Моно! МАЛЕНЬКИЕ КОШМАРЫ 2 в РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ! 2024, Maaliskuu
Anonim

Maahantulon navigointi

  • Kilpailun sisältö
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Ystävät PDF-esikatselu
  • Kirjailija- ja viittaustiedot
  • Takaisin alkuun

Aksomaattiset totuuden teoriat

Ensimmäinen julkaistu maanantaina 26. joulukuuta 2005; aineellinen versio to 18.1.2018

Aksiomaattinen totuusteoria on deduktiivinen totuuden teoria primitiivisenä määrittelemättömänä predikaattina. Valehtelijoiden ja muiden paradoksien takia aksioomat ja säännöt on valittava huolellisesti epäjohdonmukaisuuden välttämiseksi. Kirjallisuudessa on käsitelty monia totuuden ennusteen aksioomijärjestelmiä ja analysoitu niiden vastaavia ominaisuuksia. Useat filosofit, mukaan lukien monet deflaation ajattelijat, ovat hyväksyneet totuuden aksomaattiset teoriat kirjanpidossaan totuudesta. Muodollisten teorioiden loogiset ominaisuudet ovat merkityksellisiä useille filosofisille kysymyksille, kuten esimerkiksi ominaisuuksien ontologista tilaa koskeville kysymyksille, Gödelin lauseille, totuusteoreettiselle deflaationismille, semanttisten käsitteiden eliminoitavuudelle ja merkitysteorialle.

  • 1. Motivaatiot

    • 1.1 Totuus, ominaisuudet ja joukot
    • 1.2 Totuus ja pohdintaa
    • 1.3 Totuusteoreettinen deflaationismi
  • 2. Perusteoria

    • 2.1 Perusteorian valinta
    • 2.2 Merkintätavat
  • 3. Tyypitetyt totuuden teoriat

    • 3.1 Määriteltävä totuus prediikoi
    • 3.2 (T) - lauseet
    • 3.3 Koostumus totuus
    • 3.4 Hierarkkiset teoriat
  • 4. Tyyppitön totuus

    • 4.1 Type-free (T) - lauseet
    • 4.2 Kokoonpano
    • 4.3 Friedman – Sheard -teoria ja revision semantiikka
    • 4.4 Kripke – Feferman-teoria
    • 4.5 Pienimmän kiinteän pisteen kaappaaminen
    • 4.6 Kripken teorian aksiomaatiot yliarvioinneilla
  • 5. Ei-klassiset lähestymistavat itsensä viittaamiseen

    • 5.1 Totuuden lähtökohta intuitionistisessa logiikassa
    • 5.2 Kripken teorian aksiomatisointi
    • 5.3 Ehdollisen lisääminen
  • bibliografia
  • Akateemiset työkalut
  • Muut Internet-resurssit
  • Aiheeseen liittyvät merkinnät

1. Motivaatiot

Totuutta on yritetty määritellä kirjeenvaihdon, johdonmukaisuuden tai muiden käsitysten perusteella. Ei kuitenkaan ole kaukana selvästä seikasta, että totuus on määriteltävä käsite. Tietyt luonnolliset olosuhteet täyttävissä muodollisissa olosuhteissa Tarskin lause totuuden predikaatin määrittelemättömyydestä osoittaa, että totuuden predikaatin määritelmä vaatii resursseja, jotka ylittävät muodollisen kielen resurssit, joille totuus on tarkoitus määritellä. Näissä tapauksissa totuuden määrittelevien lähestymistapojen on epäonnistuttava. Sitä vastoin aksiomaattinen lähestymistapa ei edellytä totuuden määrittelemistä. Sen sijaan muodollista kieltä laajennetaan uudella totuuden tai tyytyväisyyden primitiivisella predikaatilla, ja sitten määritetään aksioomat tuolle predikaatille. Tämä lähestymistapa itsessään ei sulje pois mahdollisuutta, että totuuden lähtökohta on määritettävissä,vaikka monissa tapauksissa voidaan osoittaa, että totuuden lähtökohta ei ole määritettävissä.

Sitä vastoin semanttisissa totuusteorioissa (esim. Tarski 1935, Kripke 1975) kielelle, ns. Objektikielelle, määritetään totuuden ennuste. Tämä määritelmä suoritetaan metatielisessä tai metatoriassa, johon tyypillisesti sisältyy joukkoteoria tai ainakin toinen vahva teoria tai ilmeisesti rikas tulkittu kieli. Tarskin lause totuuden ennusteen määrittelemättömyydestä osoittaa, että tiettyjen yleisten oletusten vuoksi meta-kielen tai metatorian resurssien on ylitettävä objektikielen resurssit. Joten semanttiset lähestymistavat edellyttävät yleensä metaanikielen käyttöä, joka on tehokkaampi kuin objektikieli, jota varten semantiikka tarjoaa.

Kuten muissakin muodollisissa deduktiivisissa järjestelmissä, totuuden axiomaattiset teoriat voidaan esittää hyvin heikoissa loogisissa puitteissa. Nämä puitteet vaativat hyvin vähän resursseja, ja erityisesti niillä vältetään vahvan metakielen ja metatorian tarve.

Aksiaalisten totuusteorioiden muodollinen työ on auttanut valaisemaan totuuden semanttisia teorioita. Se on esimerkiksi antanut tietoja siitä, mitä metaanikieltä vaaditaan, mikä riittää totuuden ennusteen määrittelemiseen. Totuuden semanttiset teoriat puolestaan tarjoavat teoreettisia työkaluja totuuden axiomaattisten teorioiden mallien tutkimiseksi ja motivaatioita tietyille aksiomaattisille teorioille. Siksi aksiomaattiset ja semanttiset lähestymistavat totuuteen ovat kietoutuneet toisiinsa.

Tässä artikkelissa hahmotellaan totuuden suosituimpia aksiomaattisia teorioita ja mainitaan joitain niitä koskevista muodollisista tuloksista. Annamme vain vinkkejä heidän filosofisiin sovelluksiinsa.

1.1 Totuus, ominaisuudet ja joukot

Totuuden ja ennusteen teoriat liittyvät läheisesti ominaisuuksien ja omaisuuden omistajien teorioihin. Sanoa, että avoin kaava (phi (x)) on totta yksilöltä (a), näyttää vastaavan (tietyssä mielessä) väitteelle, että (a): n ominaisuus on sellainen, että (a) phi) (tätä ominaisuutta merkitsee avoin kaava). Voidaan esimerkiksi sanoa, että '(x) on huono filosofi on totta Tomille sen sijaan, että Tomilla olisi ominaisuus olla huono filosofi. Määriteltävissä olevien ominaisuuksien kvantifiointi voidaan sitten jäljitellä kielellä, jolla on totuuden ennuste, kvantifioimalla kaavat. Sen sijaan, että sanottaisiin esimerkiksi, että (a) ja (b) on täsmälleen samat ominaisuudet, sanotaan, että täsmälleen samat kaavat ovat totta (a) ja (b). Ominaisuuksien pelkistyminen totuudeksi toimii jossain määrin myös yksilöryhmillä.

Toisessa suunnassa on myös pelkistyksiä: Tarski (1935) on osoittanut, että tiettyjä toisen asteen olemassaolon oletuksia (esim. Ymmärtämisen aksioomit) voidaan käyttää totuuden määrittelemiseen (katso Tarskin totuuden määritelmän kohta). Totuuden ja toisen asteen järjestelmien aksiomaattisten teorioiden matemaattinen analyysi on osoittanut monia vastaavuuksia näiden toisen kertaluvun olemassaolo-oletusten ja totuusteoreettisten oletusten välillä.

Nämä tulokset osoittavat tarkalleen, mitä tiettyjen aksioomien tyydyttävän totuuspredikaatin määrittelemiseen tarvitaan, mikä terävöittää Tarskin näkemyksiä totuuden määriteltävyydestä. Erityisesti jäljempänä osassa 3.3 kuvatut todisteteoreettiset vastaavuudet tekevät selväksi, missä määrin metakielen (tai pikemminkin metatorian) on oltava rikkaampaa kuin objektikieli, jotta totuuden ennuste voidaan määritellä.

Toisen kertaluvun teorioiden ja totuusteorioiden vastaavuudella on vaikutusta myös perinteisiin metafyysisiin aiheisiin. Toisen kertaluvun teorioiden (ts. Ominaisuusteorioiden tai joukkojen teorioiden) pelkistykset aksomaattisiksi totuuden teorioiksi voidaan ajatella reduktiivisen nimellisyyden muodoissa, sillä ne korvaavat joukkojen tai ominaisuuksien olemassaolo-olettamukset (esim. Ymmärtämisen aksioomat) ontologisesti vaarattomilla oletuksilla, esillä olevassa asiassa oletuksilla totuuden predikaatin käyttäytymisestä.

1.2 Totuus ja pohdintaa

Gödelin epätäydellisyyslauseiden mukaan lausuntoa siitä, että Peano Arithmetic (PA) on johdonmukainen, sen varjolla numeroteoreettisena lauseena (ottaen huomioon Gödelin numerointitekniikka), ei voida johtaa PA: sta itsessään. PA: ta voidaan kuitenkin vahvistaa lisäämällä tämä johdonmukaisuuslauseke tai vahvistamalla aksioomeja. Erityisesti voidaan lisätä aksioomeja, jotka ilmaisevat osittain PA: n vakauden. Näitä kutsutaan heijastusperiaatteiksi. Esimerkki PA: n pohdintaperiaatteesta olisi lausekkeet (Bew_ {PA} (ulcorner / phi / urcorner) rightarrow / phi) missä (phi) on aritmeettisen kielen kaava, (ulcorner / phi / urcorner) nimi (phi) ja (Bew_ {PA} (x)) on PA: n tavallinen todettavuuden ennuste ('(Bew)' on ottanut käyttöön Gödel ja on lyhenne saksan sanasta 'beweisbar', toisin sanoen 'todistettavissa').

Heijastusperiaatteiden lisäämisprosessi voidaan toistaa: voidaan lisätä esimerkiksi heijastusperiaate R PA: lle PA: lle; tämä johtaa uuteen teoriaan PA + R. Sitten lisätään järjestelmän PA + R heijastusperiaate teoriaan PA + R. Tätä prosessia voidaan jatkaa rajaksi (katso Feferman 1962 ja Franzén 2004).

Heijastusperiaatteet ilmaisevat - ainakin osittain - järjestelmän vakauden. Järjestelmän vakauden luonnollisimpaan ja täydelliseen ilmaisuun sisältyy totuuden ennuste ja se tunnetaan nimellä Global Reflection Principle (ks. Kreisel ja Lévy 1968). Muodollisen järjestelmän S globaalin heijastusperiaatteen mukaan kaikki lauseessa S todistettavat lauseet ovat totta:

) jatkaa x (Bew_S (x) oikea nuoli Tx))

(Bew_S (x)) ilmaisee tässä lauseiden todennettavuuden järjestelmässä S (jättämme tässä keskustelun (Bew_S (x))) määrittelyongelmista. Totuuden ennustajan on täytettävä tietyt periaatteet; muuten globaali pohdintaperiaate olisi tyhjä. Siksi ei tarvitse lisätä vain globaalia pohdintaperiaatetta, vaan myös totuuden aksioomia. Jos kuitenkin lisätään alla oleva totuuden luonnollinen teoria, kuten T (PA), ei ole enää tarpeen postuloida globaalia pohdintaperiaatetta nimenomaisesti, koska teoriat kuten T (PA) todistavat jo PA: n globaalin pohdintaperiaatteen. Siksi voidaan katsoa totuusteorioita heijastusperiaatteiksi, koska ne todistavat terveellisyyden toteamukset ja lisäävät resursseja näiden lausuntojen ilmaisemiseen.

Täten täysin aritmeettisella kielellä muotoiltujen heijastusperiaatteiden sijasta voidaan lisätä iteroimalla uusia totuuden predikteja ja vastaavasti uusia aksioomeja uusille totuuden predikaateille. Tällöin voidaan toivoa, että tehdään selväksi kaikki oletukset, jotka implisiittisesti hyväksyvät sellaisen teorian kuin PA. Tuloksena olevaa teoriaa kutsutaan alkuperäisen teorian heijastavaksi sulkeutumiseksi. Feferman (1991) on ehdottanut yhden totuuden ennusteen ja yhden teorian (KF) käyttämistä predikattien ja teorioiden hierarkian sijasta PA: n ja muiden teorioiden heijastavan sulkeutumisen selittämiseksi. (KF: stä keskustellaan tarkemmin jäljempänä kohdassa 4.4.)

Totuusteorioiden ja (iteroitujen) pohdintaperiaatteiden suhde tuli näkyvästi esiin myös totuusteoreettisessa deflaationismisessa (ks. Tennant 2002 ja jatkokeskustelu).

1.3 Totuusteoreettinen deflaationismi

Monet deflationististen totuusteorioiden kannattajat ovat päättäneet käsitellä totuutta primitiivisenä käsitteenä ja aksiomatoida sen, käyttäen aksioomina usein jotakin (T) - lauseiden versiota. (T) - lauseet ovat muodon (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) ekvivalentteja, missä (T) on totuuden ennuste, (phi) on lause ja (ulcorner / phi / urcorner) on lauseen (phi) nimi. (Deflaationistit ovat keskustelleet myös hienostuneimmista aksioomista.) Ainakin ensi silmäyksellä axiomaattinen lähestymistapa vaikuttaa paljon vähemmän deflatoivalta kuin perinteisemmät teoriat, jotka tukeutuvat totuuden määritelmään kirjeenvaihdon tai vastaavan suhteen. Jos totuus voidaan määritellä nimenomaisesti, se voidaan eliminoida, kun taas aksiomaattinen käsitys totuudesta voi ja usein liittyy sitoumuksiin, jotka ylittävät perusteorian.

Jos totuudella ei ole selittävää voimaa, kuten jotkut deflaatiolaisteet väittävät, totuuden aksioomien ei pitäisi antaa meidän todistaa mitään uusia lauseita, joihin ei liity totuuden ennustetta. Vastaavasti Horsten (1995), Shapiro (1998) ja Ketland (1999) ovat ehdottaneet, että totuuden deflaatiotaksioomaation tulisi olla ainakin konservatiivinen. Uudet totuuden aksioomat ovat konservatiivisia, jos ne eivät merkitse ylimääräisiä lauseita (ilman totuuden predikaatin esiintymiä), joita ei voida jo todistaa ilman totuusaksioomeja. Siten epäkonservatiivinen totuusteoria lisää teoriaan uutta ei-semanttista sisältöä ja sillä on todellinen selittävä voima, toisin kuin monet deflaationistiset näkemykset. Tietyt totuuden luonnolliset teoriat eivät kuitenkaan ole konservatiivisia (katso jatkokeskustelua kohta 3.3 jäljempänä, kenttä 1999 ja Shapiro 2002).

Monien deflationistien mukaan totuus palvelee vain tarkoitusta ilmaista äärettömiä konjunktioita. On selvää, että kaikkia äärettömiä konjunktioita ei voida ilmaista, koska laskettavan kielen yli on äärettömästi monia (ei-ekvivalentteja) äärettömiä konjunktioita. Koska kielellä, johon on lisätty totuuden predikaatti, on vain laskettavan paljon kaavoja, ei jokaista ääretöntä konjunktiota voi ilmaista erilaisella äärellisellä kaavalla. Totuuden aksioomaattisten teorioiden muodollinen työ on auttanut tarkentamaan, mitkä äärettömät konjunktiot voidaan ilmaista totuuden ennusteella. Feferman (1991) tarjoaa todisteteoreettisen analyysin melko vahvasta järjestelmästä. (Tämä selitetään jälleen KF: ää koskevassa keskustelussa jäljempänä kohdassa 4.4.)

2. Perusteoria

2.1 Perusteorian valinta

Useimmissa aksomaattisissa teorioissa totuus pidetään esineiden predikaattina. Objektiluokasta, johon totuus pätee, käydään laajaa filosofista keskustelua: ehdotuksia, jotka on ajateltu esineistä, jotka ovat riippumattomia mistä tahansa kielestä, lauseiden tyypeistä ja merkeistä ja lausunnoista, ajatuksista ja monista muista esineistä, on ehdotettu. Koska tyyppinä pidettävien lauseiden rakenne on suhteellisen selkeä, lauseetyyppejä on usein käytetty objekteiksi, jotka voivat olla totta. Monissa tapauksissa ei tarvitse tehdä erityisiä metafyysisiä sitoumuksia, koska näiden objektien rakenteeseen vaaditaan vain tietyt vaatimattomat oletukset riippumatta siitä, pidetäänkö ne lopulta syntaktisia objekteja, ehdotuksia vai vielä jotain muuta. Teoriaa, joka kuvaa niiden objektien ominaisuuksia, joille totuus voidaan osoittaa, kutsutaan perusteoriumiksi. Perusteorian muotoilu ei sisällä totuuden ennustetta tai mitään erityisiä totuusteoreettisia oletuksia. Perusteoria voisi kuvailla lauseiden, ehdotusten ja vastaavien rakennetta, jotta sellaisia käsitteitä kuin tällaisen esineen kieltämistä voidaan sitten käyttää totuusteoreettisten aksioomien muotoilussa.

Monissa aksomaattisissa totuusteorioissa totuutta pidetään predikaattina, jota sovelletaan Gödel-lauseiden määrään. Peano-aritmeettinen tekniikka on osoittautunut monipuoliseksi teoriaksi kohteista, joihin totuutta sovelletaan, lähinnä siksi, että totuusteoreettisten aksioomien lisääminen Peano-aritmeettiseen tuottaa mielenkiintoisia järjestelmiä ja koska Peano-aritmeettinen arvo vastaa monia suoraviivaisia syntaksiteorioita ja jopa ehdotusten teorioita. Myös muita perusteorioita on kuitenkin harkittu, mukaan lukien muodolliset syntaksiteoriat ja asetetut teoriat.

Tietenkin, voimme tutkia myös teorioita, jotka johtavat lisäämällä totuusteoreettiset aksioomat paljon vahvempiin teorioihin, kuten joukkoteoriaan. Yleensä ei ole mitään mahdollisuutta todistaa joukkoteorian johdonmukaisuutta ja muita totuusteoreettisia aksioomeja, koska itse joukkoteorian johdonmukaisuutta ei voida vahvistaa ilman oletuksia, jotka ylittävät joukkoteorian. Monissa tapauksissa edes suhteellisen johdonmukaisuuden todisteet eivät ole toteutettavissa. Kuitenkin, jos tiettyjen totuusteoreettisten aksioomien lisääminen PA: hen tuottaa johdonmukaisen teorian, vaikuttaa ainakin todennäköiseltä, että analogisten aksioomien lisääminen teorian asettamiseen ei johda epäjohdonmukaisuuteen. Siksi toivon, että totuuden teorioiden tutkiminen PA: n suhteen antaa jonkin verran tietoa siitä, mitä tapahtuu, kun laajennamme vahvempia teorioita aksioomilla totuuden ennusteelle. Kuitenkin,Fujimoto (2012) on osoittanut, että eräät aksomaattiset totuusteoriat asetetun teorian kohdalla eroavat toisistaan Peano-aritmeettisen tekniikan vastaavista.

2.2 Merkintätavat

Selvyyden vuoksi oletamme, että aritmeettisella kielellä on tarkalleen (neg, / kiila) ja (vee) yhdistysosina ja (forall) ja (olemassa) kvantisoijina. Sillä on yksittäisinä vakioina vain symboli 0 nollalle; sen ainoa funktiosymboli on yksiarvoinen seuraajasymboli (S); summaus ja kertolasku ilmaistaan predikaattisymboleilla. Siksi aritmeettisen kielen ainoat suljetut termit ovat numerot (0, S) (0), (S (S) (0)), (S (S (S) (0))),….

Aritmeettisessa kielessä ei ole yksiarvoista predikaattisymbolia (T), joten olkoon (mathcal {L} _T) aritmeettisen kielen, jota on täydennetty uudella unaryarisella predikaattisymbolilla (T) totuuden suhteen. Jos (phi) on lause (mathcal {L} _T, / ulcorner / phi / urcorner) on (phi) nimi kielellä (mathcal {L} _T); muodollisesti ottaen se on Gödel-numeron numero (phi). Kreikkalaiset kirjaimet, kuten (phi) ja (psi), ovat yleensä metakielen muuttujia, toisin sanoen totuuden teorioista puhumiseen käytettävä kieli ja tämän kirjoituksen kieli (ts. Englanti) rikastettu joillakin symboleilla). (phi) ja (psi) ovat muodollisen kielen kaavojen välillä (matemaattinen {L} _T).

Seuraavaksi käytämme pieniä, isoilla kursivoituilla kirjaimilla, kuten ({ scriptsize A}, { scriptsize B}, / ldots) muuttujina kohdassa (matemaattinen {L} _T), jotka vaihtelevat lauseiden (tai niiden Gödel-numerot, tarkkaan). Siten (forall { scriptsize A} (ldots { scriptsize A} ldots)) tarkoittaa (forall x (Sent_T (x) rightarrow / ldots x / ldots)), missä (Sent_T (x)) ilmaisee aritmeettisella kielellä, että (x) on lause aritmeettisesta kielestä, jota jatketaan predikaattisymbolilla (T). Kahden lauseen yhdistelmän muodostavat syntaktiset operaatiot ja vastaavat operaatiot voidaan ilmaista aritmeettisella kielellä. Koska aritmeettinen kieli ei sisällä toimintasymbolia seuraajan symbolin lisäksi, nämä operaatiot on ilmaistava salattavissa predikaatteilla. Siten kielellä (mathcal {L} _T) voidaan sanoa, että lauseen (mathcal {L} _T) kieltäminen on totta vain silloin, kun lause itse ei ole totta. Me kirjoittaisimme tämän nimellä

) forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A}).)

Hakasulkeet osoittavat, että ({ käsikirjoituksen koko A}) -negaation muodostamisoperaatio ilmaistaan aritmeettisella kielellä. Koska aritmeettisessa kielessä ei ole funktiosymbolia, joka edustaa funktiota, joka lähettää lauseita niiden kielteisiin, on annettava asianmukaiset lauseet, jotka sisältävät predikatit.

Siten esimerkiksi lauseke

) forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} kiila { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} kiila T { scriptsize B})))

on kielen (mathcal {L} _T) yksi lause, joka sanoo, että (mathcal {L} _T) lauseiden yhdistelmä on totta vain ja vain jos molemmat lauseet ovat totta. Verrattuna, [T / ulcorner / phi / wedge / psi / urcorner / leftrightarrow (T / ulcorner / phi / urcorner / kiila T / ulcorner / phi / urcorner))

on vain kaavio. Toisin sanoen se tarkoittaa kaikkia lauseita, jotka saadaan yllä olevasta lausekkeesta korvaamalla kreikkalaisilla kirjaimilla (phi) ja (psi) lauseilla (mathcal {L} _T). Yksittäinen lause (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} kiila { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} kiila T { scriptsize B}))) tarkoittaa kaikkia lauseita, jotka ovat skeeman esimerkkejä, mutta kaavan esiintymät eivät tarkoita yhtä yleisesti määrällistä lausetta. Yleensä kvantisoidut versiot ovat vahvempia kuin vastaavat kaaviot.

3. Tyypitetyt totuuden teoriat

Tyypitetyissä totuusteorioissa on todistettavissa vain sellaisten lauseiden totuus, jotka eivät sisällä samaa totuuspredikaattia, jolloin vältetään paradoksit tarkkailemalla Tarskin eroa esineen ja metakielen välillä.

3.1 Määriteltävä totuus prediikoi

Tietyt totuuden predikaatit voidaan määritellä aritmeettisella kielellä. Aritmeettisten kielien alikielellä totuuden predikateiksi sopivat ennusteet voidaan määritellä aritmeettisella kielellä, kunhan alikielen kaavojen kvantitatiivinen monimutkaisuus on rajoitettu. Erityisesti on olemassa kaava (Tr_0 (x)), joka ilmaisee, että (x) on aritmeettisen kielen todellinen atomilause, toisin sanoen muodon (n = k) lause, missä (k) ja (n) ovat identtisiä numeroita. Lisätietoja osittaisista totuuden predikaateista, katso esimerkiksi Hájek ja Pudlak (1993), Kaye (1991) ja Takeuti (1987).

Määritettävät totuuden predikaatit ovat todella tarpeettomia, koska ne ovat ilmaistavissa PA: ssä; siksi niitä ei ole tarpeen esitellä aksiomaattisesti. Kaikki seuraavissa olevat totuuden predikaatit eivät ole määriteltävissä aritmeettisella kielellä, ja siksi ne eivät ole tarpeettomia ainakaan siinä mielessä, että niitä ei voida määritellä.

3.2 (T) - lauseet

Typitetyt (T) - lauseet ovat kaikki muodon (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) ekvivalentteja, missä (phi) on lause, joka ei sisällä totuuden ennustetta. Tarski (1935) kutsui kaikkia näitä vastaavuuksia todistavia teorioita "aineellisesti riittäviksi". Tarski (1935) kritisoi totuuden aksiomatizisaatiota vedoten vain (T) - lauseisiin, ei siksi, että hän pyrkii määritelmään eikä totuuden axiomatizationiin, vaan siksi, että tällainen teoria näytti liian heikolta. Näin ollen vaikka teoria on aineellisesti riittävä, Tarski katsoi, että (T) - lauseet ovat deduktiivisesti liian heikkoja. Hän huomautti erityisesti, että (T) - lauseet eivät todista täydellisyyden periaatetta, ts.lause (forall { scriptsize A} (T { scriptsize A} vee T) neg { scriptsize A})]), jossa kvantifikaattori (forall { scriptsize A}) on rajoitettu lauseet, jotka eivät sisällä T.

(T) - lauseisiin perustuvat totuusteoriat ja niiden muodolliset ominaisuudet ovat myös viime aikoina olleet kiinnostavia kohteita ns. Totuuden deflaatioteorioiden yhteydessä. (T) - lauseet (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) (missä (phi) ei sisällä (T)) eivät ole konservatiivisia identiteetin kanssa ensimmäisen kertaluvun logiikan suhteen., eli ne todistavat lauseen, joka ei sisällä (T), joka ei ole loogisesti kelvollinen. Lauseille (T) - lauseet todistavat, että lauseet (0 = 0) ja (neg 0 = 0) ovat erilaisia ja että siksi ainakin kaksi objektia on olemassa. Toisin sanoen, (T) - lauseet eivät ole konservatiivisia tyhjän tukiteorian suhteen. Jos (T) - lauseet lisätään PA: hen, tuloksena oleva teoria on konservatiivinen PA: n suhteen. Tämä tarkoittaa, että teoria ei todista (T) ilmaisia lauseita, joita ei vielä voida todistaa PA: lla. Tämä tulos pätee jopa, jos (T) - lauseiden lisäksi lisätään myös kaikki induktioaksioomat, jotka sisältävät totuuden predikaatin. Tämä voidaan osoittaa vetoamalla kompaktiuslauseeseen.

Yllä esitetyssä muodossa T-lauseet ilmaisevat vastaavuuden (T / ulcorner / phi / urcorner) ja (phi) välillä vain, kun (phi) on lause. Ominaisuuksien vastaavuuden kaapamiseksi ((x): lla on ominaisuus P, jos 'P' on totta (x)), T-lauseet on yleistettävä. Tulokseen viitataan yleensä yhtenäisinä T-seeneinä ja ne muodostetaan vastaavuuksilla (forall x (T / ulcorner / phi (alleviivaus {x}) urcorner / leftrightarrow / phi (x))) kullekin avaa kaava (phi (v)) ja enintään (v) ilmaiseksi (phi) -sovelluksessa. Muuttujan alleviivaus osoittaa, että se on sidottu ulkopuolelta. Tarkemmin sanottuna (ulcorner / phi (alleviivattu {x}) urcorner) tarkoittaa tulosta, joka korvataan muuttuja (v) (ulcorner / phi (v) urcorner) numerolla / (x).

3.3 Koostumus totuus

Kuten Tarski (1935) jo havaitsi, tietyt toivotut yleistykset eivät johdu T-lauseista. Esimerkiksi, yhdessä kohtuullisten perusteorioiden kanssa, ne eivät tarkoita, että konjunktio on totta, jos molemmat konjungit ovat totta.

Jotta saataisiin järjestelmiä, jotka todistavat myös yleisesti kvantifioidut totuusteoreettiset periaatteet, voidaan kääntää Tarskin totuuden määritelmän induktiiviset lauseet aksiomiksi. Seuraavissa aksioomeissa (AtomSent_ {PA} (ulcorner { scriptsize A} urcorner)) ilmaisee, että ({ scriptsize A}) on aritmeettisen kielen atomilause, (Lähetetty_ {PA } (ulcorner { scriptsize A} urcorner)) ilmaisee, että ({ scriptsize A}) on lause aritmeettisesta kielestä.

  1. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T { scriptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptsize A})))
  2. (forall { scriptsize A} (Lähetetty_ {PA} ({ scriptsize A}) oikea nuoli (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})))
  3. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (Lähetetty_ {PA} ({ scriptsize A}) kiila Lähetetty_ {PA} ({ scriptsize B}) oikea nuoli (T [{ scriptsize A } kiila { komentosarjan koko B}] vasemmanpuoleinen nuoli (T { komentosarjan koko}} kiila T { komentosarjan koko B}))))
  4. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (Lähetetty_ {PA} ({ scriptsize A}) kiila Lähetetty_ {PA} ({ scriptsize B}) oikea nuoli (T [{ scriptsize A } vee { komentosarjan koko B}] vasemmanpuoleinen nuoli (T { komentosarjan koko}} vee T { komentosarjan koko B}))))
  5. (forall { scriptsize A} (v) (Lähetetty_ {PA} (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ komentosarjan koko A} (alleviivaus {x}))]))
  6. (forall { scriptsize A} (v) (Lähetetty_ {PA} (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) olemassa v { scriptsize A} (v)] vasemmanpuoleinen nuoli / olemassa xT [{ komentosarjan koko A} (alleviivaus {x}))]))

Kohdassa 1 sanotaan, että Peano-aritmeettisen kielen atomilause on totta vain ja vain jos se on totta tämän kielen aritmeettisen totuuden mukaan ((Tr_0) määritettiin osassa 3.1). Aksioomat 2–6 väittävät, että totuus liikkuu kaikkien liittimien ja kvantifioijien kanssa. Axiom 5 sanoo, että aritmeettisten kielten yleisesti ilmaistu määrä on totta vain ja vain jos kaikki sen numeeriset esiintymät ovat totta. (Lähetetty_ {PA} (forall v { scriptsize A})) sanoo, että ({ scriptsize A} (v)) on kaava, jossa korkeintaan (v) on vapaa (koska (forall v { komentosarjan koko A} (v)) on lause).

Jos nämä aksioomit on tarkoitus muotoilla sellaiselle kielelle kuin joukkoteoria, jolla ei ole nimet kaikille objekteille, niin aksioomit 5 ja 6 vaativat tyytyväisyyssuhteen käyttämistä kuin yhtenäisen totuuspredikaatin.

Edellä 1-6-tyylisillä aksioomilla oli keskeinen rooli Donald Davidsonin merkitysteoriassa ja useissa deflaationistisissa lähestymistavoissa totuuteen.

PA: n ja aksioomien 1–6 kaikkien aksioomien antama teoria, mutta induktiolla vain (T) -vapaille kaavoille, on konservatiivinen PA: n suhteen, ts. Se ei todista mitään uusia (T) - vapaita lauseita, jotka ei ole jo todistettavissa PA: lla. Kaikkia PA-malleja ei kuitenkaan voida laajentaa PA + -aksioomien 1–6 malleihin. Tämä johtuu tuloksesta, joka johtuu Lachlanista (1981). Kotlarski, Krajewski ja Lachlan (1981) osoittivat konservatiivisuuden hyvin samanlaisena kuin PA + -aksiaalit 1–6 malliteoreettisin keinoin. Vaikka useat kirjoittajat väittivät, että tämä tulos on myös lopullisesti todistettavissa, tällaista näyttöä ei ollut saatavilla ennen kuin Enayat & Visser (2015) ja Leigh (2015). Lisäksi PA + -aksiaalien 1–6 antama teoria on suhteellisen tulkittavissa PA: ssa. Tämä tulos on kuitenkin herkkä perusteorian valinnalle: se epäonnistuu lopullisesti aksiisoituneissa teorioissa (Heck 2015, Nicolai 2016). Näitä todisteteoreettisia tuloksia on käytetty laajasti keskusteluissa totuusteoreettisesta deflaatiosta (ks. Cieśliński 2017).

Tietenkin PA + -aksiaalit 1–6 ovat rajoittavia, koska ne eivät sisällä induktion aksioomeja kielessä totuuden predikaatin kanssa. Järjestelmälle on olemassa erilaisia merkintöjä, jotka saadaan lisäämällä kaikki induktioaksioomat, joihin liittyy totuuden ennuste, järjestelmän PA + aksioomiin 1–6: T (PA), CT, PA (S) tai PA + ', on täysin induktiivinen tyytyväisyys luokka. Tämä teoria ei ole enää konservatiivinen sen perusteorian PA: n suhteen. Esimerkiksi voidaan muotoilla PA: n äänenvoimakkuuslause tai globaali heijastusperiaate, toisin sanoen väite, että kaikki PA: ssä todistettavat lauseet ovat totta. PA: n globaali pohdintaperiaate puolestaan merkitsee PA: n johdonmukaisuutta, jota ei voida osoittaa puhtaassa PA: ssa Gödelin toisessa puutteellisuuslauseessa. Siten T (PA) ei ole konservatiivinen PA: n suhteen. T (PA) on paljon vahvempi kuin pelkkä PA: n johdonmukaisuuslause:T (PA) vastaa aritmeettisen ymmärtämisen toisen asteen järjestelmää ACA (katso Takeuti 1987 ja Feferman 1991). Tarkemmin sanottuna T (PA) ja ACA ovat käännettävissä siten, että kaikki aritmeettiset lauseet säilytetään. ACA: n antavat PA: n aksioomat täydellä induktiolla toisen asteen kielellä ja seuraavalla ymmärtämisperiaatteella:

) olemassa X / forall y (y / X / leftrightarrow / phi (x)))

missä (phi (x)) on mikä tahansa kaava (jossa (x) voi olla vapaa), joka ei sisällä toisen kertaluvun kvantitaattoreita, mutta mahdollisesti ilmaisia toisen asteen muuttujia. T (PA): ssa joukkojen kvantifiointi voidaan määritellä kvantifioimiseksi kaavoilla, joissa on yksi vapaa muuttuja, ja jäsenyyteen kaavan totuuden, jota sovelletaan numeroon.

Koska globaaliin heijastusperiaatteeseen liittyy muodollista johdonmukaisuutta, PA + -aksiaalien 1–6 konservatiivisuuden tulos merkitsee, että Peano-aritmeettisen tekniikan globaalia heijastusperiaatetta ei voida johtaa tyypilliseen koostumusteoriaan laajentamatta induktiotaksioita. Itse asiassa tämä teoria ei todista lausunnosta, että kaikki loogiset pätevyydet ovat totta (maailmanlaajuinen heijastus puhdasta ensimmäisen asteen logiikkaa varten), eikä siitä, että kaikki aritmeettisen Peano-aksioomat ovat totta. Ehkä yllättäen, näistä kahdesta todistamattomasta lausunnosta vahvempi on entinen. Jälkimmäinen voidaan lisätä aksioomina ja teoria on edelleen konservatiivinen PA: n suhteen (Enayat ja Visser 2015, Leigh 2015). Sen sijaan PA + -aksiaalien 1–6 kohdalla ensimmäisen kertaluvun logiikan globaali heijastusperiaate vastaa Peano-aritmeettisten tekijöiden globaalia heijastusta (Cieśliński 2010),ja näillä kahdella teorialla on samat aritmeettiset vaikutukset kuin induktion aksiooman lisäämisellä rajatuille ((Delta_0)) kaavoille, jotka sisältävät totuuden ennusteen (Wcisło ja Łełyk 2017).

Siirtyminen PA: stä T: hen (PA) voidaan kuvitella heijastavan PA: n (mathcal {L}) - lauseiden totuutta. Samoin vaihe vaihe tyypitetyistä (T) - lauseista kompositioaksioomiin on sidottu myös heijastusperiaatteeseen, erityisesti yhdenmukaiseen heijastusperiaatteeseen tyypitettyjen yhdenmukaisten ((T)) lauseiden suhteen. Tämä on lausekokoelma (forall x \, Bew_S (ulcorner / phi (alleviivaus {x}) urcorner)) rightarrow / phi) (x) missä (phi) ulottuu kaavojen yli (mathcal {L} _T) yhdellä vapaalla muuttujalla ja S on yhtenäisten T-lauseiden teoria. Yhdenmukainen heijastus kaappaa tarkasti ero näiden kahden teorian välillä: heijastusperiaate on johdettavissa T (PA): ssä ja riittää johdattamaan kuusi koostumuksen aksioomaa (Halbach 2001). Lisäksi vastaavuus ulottuu yhdenmukaisen heijastuksen iteraatioihin,siinä, että kaikille ordinaalisille (alfa, 1 + / alpha) yhdenmukaisen heijastuksen iteraatioille tyypitetyillä (T) - lauseilla sattuu T (PA), jota jatketaan äärellisellä induktiolla ordinaaliseen (varepsilon _ { alpha}), eli (alpha) - kolmas ordinaali ominaisuuden kanssa, joka (omega ^ { alpha} = / alpha) (Leigh 2016).

Paljon voimakkaampia toisen kertaluvun aritmeettisia fragmentteja voidaan tulkita tyyppittömillä totuusjärjestelmillä, toisin sanoen totuusteorioilla, jotka todistavat paitsi aritmeettisten lauseiden totuuden myös kielen lauseiden totuuden (mathcal {L} _T) totuuden ennustajan kanssa; katso kohta 4 alla.

3.4 Hierarkkiset teoriat

Edellä mainitut totuuden teoriat voidaan toistaa ottamalla käyttöön indeksoidut totuuden predikaatit. Yksi lisää PA: n totuuden predikaattien kieleen, jota ordinaalit (tai ordinaaliset merkinnät) indeksoivat, tai toinen, binaarisen totuuden predikaatin, joka pätee ordinaarisiin merkintöihin ja lauseisiin. Tässä suhteessa hierarkkinen lähestymistapa ei sovi osiossa 2 esitettyihin puitteisiin, koska kielellä ei ole yhtä lauseisiin sovellettavaa yhtenäistä totuuden predikaattia, vaan pikemminkin monia yhdenmukaisia totuuden predikaatioita tai yhtä binaarista totuuden predikaattia (tai jopa yhtä unary totuuden predikaattia) sovellettaessa parin järjestysmerkintöjen ja lauseiden pariin).

Tällaisella kielellä voidaan muotoilla Tarskin totuuden predikaattien hierarkian aksiomaattinen muoto. Todisteoreettisella puolella iteroivat totuusteoriat T (PA) -tyylissä vastaavat iteraavaa alkeisymmärrystä, toisin sanoen iteraavaa ACA: ta. Toistettujen totuusteorioiden järjestelmä vastaa ramifioidun analyysin järjestelmää (katso Feferman 1991).

Visser (1989) on tutkinut perusteettomia kielihierarkioita ja niiden aksiomaatiota. Jos lisätään (T) - lauseet (T_n / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi) aritmeettiselle kielelle, missä (phi) sisältää vain totuuden predikatteja (T_k) (k / gt n) PA: hen, saadaan teoria, jolla ei ole vakio ((omega) -) -mallia.

4. Tyyppitön totuus

Luonnollisten kielten predikaateissa ei ole minkäänlaisia avoimia tyyppirajoituksia. Siksi tyypillisten totuusteorioiden (aksomaattisten ja semanttisten teorioiden) on ajateltu olevan riittämättömiä luonnollisen kielen totuuspredikaatin analysoimiseksi, vaikka viime aikoina Glanzberg (tuleva) ja muut ovat kannataneet hierarkkisia teorioita. Tämä on yksi motiivi tutkia tyyppittömiä totuusteorioita, toisin sanoen totuusjärjestelmiä, joiden avulla voidaan todistaa lauseiden totuus, joihin totuuden ennuste kuuluu. Joillakin tyyppittömillä totuusteorioilla on paljon suurempi ilmaisuvoima kuin edellisessä osassa tutkituilla tyypillisillä teorioilla (ainakin niin kauan kuin indeksoituja totuuden predikaatioita vältetään). Siksi tyyppitön totuusteoria on paljon tehokkaampi työkalu muiden teorioiden (esimerkiksi toisen asteen) vähentämiseen.

4.1 Type-free (T) - lauseet

Kaikkien (T) - lauseiden joukko (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), missä (phi) on kielen mikä tahansa lause (matemaattinen {L} _T), ts. missä (phi) voi sisältää (T), on ristiriidassa PA: n (tai minkä tahansa diagonaalista lemmaa todistavan teorian) kanssa valehtelijaparadoksin vuoksi. Siksi voidaan yrittää pudottaa kaikkien (T) - lauseiden joukosta vain ne, jotka johtavat epäjohdonmukaisuuteen. Toisin sanoen voidaan harkita (T) - lauseiden maksimaalisia yhdenmukaisia sarjoja. McGee (1992) osoitti, että on olemassa äärettömästi monia (T) - lauseiden maksimaalisia joukkoja, jotka ovat yhdenmukaisia PA: n kanssa. Joten strategia ei johda yhteen teoriaan. Vielä pahempaa, kun otetaan huomioon aritmeettinen lause (eli lause, joka ei sisällä (T)), jota ei voida todistaa eikä kiistää PA: ssa, voidaan löytää johdonmukainen (T) - lause, joka päättää tämän lauseen (McGee 1992). Tämä tarkoittaa, että monet yhdenmukaiset (T) - lauseiden sarjat todistavat väärät aritmeettiset lausumat. Siksi strategia pudottaa vain epäjohdonmukaisuuksia tuottavat (T) - lauseet on tuomittu.

Joukko (T) - lauseita, jotka eivät merkitse vääriä aritmeettisia lausumia, voidaan saada sallimalla vain ne (phi) lauseessa (T) - lauseet (T / ulcorner / phi / urcorner / leftrightarrow / phi), jotka sisältävät (T) vain positiivisesti, ts. parillisen määrän negatiivisymboleita. Kuten osiossa 3.2 kirjoitettu teoria, tämä teoria ei todista tiettyjä yleistyksiä, mutta todistaa samat T-vapaat lauseet kuin alla oleva vahva tyyppivapaa koostumuksellinen Kripke-Feferman-teoria (Halbach 2009). Schindler (2015) sai deduktiivisesti erittäin vahvan totuusteorian, joka perustuu ositettuihin diskotaatioperiaatteisiin.

4.2 Kokoonpano

Totuuden diskotinatiivisen piirteen lisäksi haluaisi kaapata totuuden koostumukselliset piirteet ja yleistää tyypitetyn koostumuksen totuuden aksioomat tyyppivapaalle tapaukselle. Tätä tarkoitusta varten on lisättävä atomilauseiden totuutta koskevat aksioomit tai säännöt totuuden predikaatin kanssa ja rajoitus koostumuksen aksioomien (T) -vapaille lauseille on poistettava. Totuuden käsittelemiseksi kuten muutkin predikaatit lisätään aksioomi (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) (where (forall { scriptsize A}) vaihtelee kaikkien lauseiden välillä). Jos kielteisen tyypillisen koostumisaksioomin tyyppirajoitus poistetaan, aksiooma (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A}) on saatu.

Aksioomat (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) ja (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) ovat epäjohdonmukaisia heikkojen syntaksiteorioiden suhteen, joten yhdestä niistä on luovuttava. Jos (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) säilyy, on löydettävä heikommat aksioomit tai säännöt totuuden toistolle, mutta totuus on edelleen klassinen käsite siinä mielessä, että (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) merkitsee syrjäytyneen keskiosan lakia (minkä tahansa lauseen kohdalla joko itse lause tai sen kieltäytyminen on totta) ja ristiriitojen noudattamatta jättämistä koskeva laki (ei missään lauseessa lause itse ja sen kieltäminen ovat totta). Jos sitä vastoin(forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) hylätään ja (forall { scriptsize A} (T [T { komentosarjan koko A}] vasemmanpuoleinen nuoli T { käsikirjoituksen koko A})) säilytetään, silloin tulee todistettavaksi, että joko jotkut lauseet ovat totta yhdessä niiden kielteisten kanssa tai että joillekin lauseille eivät ne tai niiden kielteiset ole totta, ja siten ei-klassinen totuus saadaan, vaikka itse järjestelmät ovat edelleen muotoiltu klassiseen logiikkaan. Seuraavissa kahdessa osassa esittelemme kunkin lajin näkyvimmän järjestelmän.silloin tulee todistettavaksi, että joko jotkut lauseet ovat totta yhdessä niiden kielteisten kanssa tai että joillekin lauseissa eivät ne eikä niiden kielteiset ole totta, ja siten saadaan ei-klassisen totuuden järjestelmät, vaikka itse järjestelmät ovat edelleen muotoiltu klassiseen logiikkaan. Seuraavissa kahdessa osassa esittelemme kunkin lajin näkyvimmän järjestelmän.silloin tulee todistettavaksi, että joko jotkut lauseet ovat totta yhdessä niiden kielteisten kanssa tai että joillekin lauseissa eivät ne eikä niiden kielteiset ole totta, ja siten saadaan ei-klassisen totuuden järjestelmät, vaikka itse järjestelmät ovat edelleen muotoiltu klassiseen logiikkaan. Seuraavissa kahdessa osassa esittelemme kunkin lajin näkyvimmän järjestelmän.

4.3 Friedman – Sheard -teoria ja revision semantiikka

Friedmanin ja Sheardin (1987) nimeämä FS-järjestelmä säilyttää kieltäytymisakselion (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})). Lisäkoostumuksen aksioomat saadaan nostamalla tyyppirajoitus tyydyttämättömiin vastineisiinsa:

  1. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T { scriptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptsize A})))
  2. (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A}))
  3. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} kiila { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} kiila T { scriptsize B})))
  4. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B})))
  5. (forall { scriptsize A} (v) (Lähetetty (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptsize A} (alleviivaus {x}))])
  6. (forall { scriptsize A} (v) (Lähetetty (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) olemassa v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / Olemassa xT [{ scriptsize A} (alleviivaus {x}))]))

Nämä aksioomit lisätään PA: lle, joka on muotoiltu kielellä (mathcal {L} _T). Koska totuus iteraatiotaksioomi (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})) on epäjohdonmukainen, vain seuraavat kaksi sääntöä lisätään:

Jos (phi) on lause, voidaan päätellä (T / ulcorner / phi / urcorner), ja päinvastoin, jos (T / ulcorner / phi / urcorner) on lause, voidaan päätellä (Phi).

McGee: n (1985) tuloksista seuraa, että FS on (omega) - epäjohdonmukainen, eli FS todistaa (olemassa x / neg / phi (x)), mutta todistaa myös (phi) (0), (phi) (1), (phi) (2), … joillekin kaavalle (phi (x)) muodossa (matemaattinen {L} _T). FS: n aritmeettiset lauseet ovat kuitenkin kaikki oikeita.

FS: ssä voidaan määritellä kaikki klassisen Tarskian hierarkian äärelliset tasot, mutta FS ei ole tarpeeksi vahva, jotta joku voi palauttaa minkä tahansa rajatyön tasoistaan. Itse asiassa Halbach (1994) määritti todisteteoreettisen vahvuutensa täsmälleen ramifioidun totuuden teorialle kaikille äärellisille tasoille (ts. Äärellisesti iteroidulle T (PA); katso kohta 3.4) tai vastaavasti ramified analyysin teorialle kaikki äärelliset tasot. Jos jompikumpi säännön suunta hylätään, mutta toinen pidetään, FS säilyttää todisteteoreettisen lujuutensa (Sheard 2001).

FS: n hyve on, että se on täysin klassinen: Se on muotoiltu klassiseen logiikkaan; jos lause on todistettavasti totta FS: ssä, itse lause on todistettavissa FS: ssä; ja päinvastoin, jos lause on todistettavissa, niin se on myös todistettavasti totta. Sen haittana on sen (omega) - epäjohdonmukaisuus. FS: ää voidaan pitää revision säännön semantiikan aksiomaationa kaikilla äärellisillä tasoilla (katso totuuden revisiointiteorian kohta).

4.4 Kripke – Feferman-teoria

Kripke – Feferman-teoriassa säilytetään totuus iteraatiotaksiooma (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A})), mutta totuuden käsitettä ei enää ole klassinen, koska kieltäytymisaksioomi (forall { scriptsize A} (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg T { scriptsize A})) hylätään.

Tämän teorian sieppaama semanttinen rakenne on yleistys T (PA): n vangitsemalle Tarskian tyypilliselle induktiiviselle määritelmälle totuudesta. Yleistetyssä määritelmässä yksi alkaa aritmeettisen kielen todellisella atomilauseella ja sitten julistetaan tosi kompleksiset lauseet sen mukaan, ovatko sen komponentit totta vai eivät. Esimerkiksi, kuten kirjoitetussa tapauksessa, jos (phi) ja (psi) ovat totta, niiden yhdistelmä (phi / kiila / psi) on totta. Määrällisesti ilmaistujen lauseiden tapauksessa niiden totuusarvo määräytyy niiden esiintymien totuusarvojen perusteella (kvantifiointilausekkeista voitaisiin tehdä puhtaasti koostumuksellisia tyydyttämispredikaatin avulla); esimerkiksi yleisesti määrätty lause julistetaan totta vain ja vain jos kaikki sen esiintymät ovat totta. Nyt voidaan laajentaa tätä induktiivista totuuden määritelmää kielelle (matemaattinen {L} _T) julistamalla lauseen muoto (T / ulcorner / phi / urcorner) totta, jos (phi) on jo totta. Lisäksi julistetaan (neg T / ulcorner / phi / urcorner) totta, jos (neg / phi) on totta. Tarkentamalla tätä ajatusta saadaan variantti Kripken (1975) totuusteoriasta ns. Strong Kleene -arviointijärjestelmällä (katso moniarvoisen logiikan kohta). Aksiomaattisen se johtaa seuraavaan järjestelmään, joka tunnetaan nimellä KF ('Kripke – Feferman'), josta kirjallisuudessa esiintyy useita variantteja:saadaan variantti Kripken (1975) totuusteoriasta ns. Strong Kleene -arviointijärjestelmällä (katso moniarvoisen logiikan kohta). Aksiomaattisen se johtaa seuraavaan järjestelmään, joka tunnetaan nimellä KF ('Kripke – Feferman'), josta kirjallisuudessa esiintyy useita variantteja:saadaan variantti Kripken (1975) totuusteoriasta ns. Strong Kleene -arviointijärjestelmällä (katso moniarvoisen logiikan kohta). Aksiomaattisen se johtaa seuraavaan järjestelmään, joka tunnetaan nimellä KF ('Kripke – Feferman'), josta kirjallisuudessa esiintyy useita variantteja:

  1. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T { scriptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptsize A})))
  2. (forall { scriptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptsize A}) rightarrow (T) neg { scriptsize A}] leftrightarrow / neg Tr_0 ({ scriptsize A})))
  3. (forall { scriptsize A} (T [T { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A}))
  4. (forall { scriptsize A} (T) neg T { scriptsize A}] vasemmanpuoleinen nuoli T) neg { scriptsize A})])
  5. (forall { scriptsize A} (T) neg / neg { scriptsize A}] leftrightarrow T { scriptsize A}))
  6. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} kiila { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} kiila T { scriptsize B})))
  7. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T) neg ({ scriptsize A} kiila { scriptsize B})] vasemmansuuntainen nuoli (T) neg { scriptsize A}] vee T) neg { komentosarjan koko B})]))
  8. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B})))
  9. (forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T) neg ({ scriptsize A} vee { scriptsize B})] leftrightarrow (T) neg { scriptsize A}] kiila T) neg { komentosarjan koko B})]))
  10. (forall { scriptsize A} (v) (Lähetetty (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT [{ scriptsize A} (alleviivaus {x}))])
  11. (forall { scriptsize A} (v) (Lähetetty (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) neg / forall v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / eksistē xT) neg { komentosarjan koko A} (alleviivaus {x}))])
  12. (forall { scriptsize A} (v) (Lähetetty (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) olemassa v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / Olemassa xT [{ scriptsize A} (alleviivaus {x}))]))
  13. (forall { scriptsize A} (v) (Lähetetty (forall v { scriptsize A}) rightarrow (T) neg / on olemassa v { scriptsize A} (v)] leftrightarrow / forall xT) neg { komentosarjan koko A} (alleviivaus {x}))]))

Totuusteoreettisten aksioomien lisäksi KF käsittää kaikki PA: n aksioomat ja kaikki induktion aksioomat, joihin totuuden ennuste kuuluu. Järjestelmä hyvitetään Fefermanille kahden Symbolisen logiikan yhdistykselle pitämän luennon perusteella, toinen vuonna 1979 ja toinen vuonna 1983, sekä myöhemmät käsikirjoitukset. Feferman julkaisi järjestelmäversionsa Ref (PA) -merkillä ('PA: n heijastava heijastava sulkeminen') vasta vuonna 1991, sen jälkeen kun useita muita KF-versioita oli jo ilmestynyt painettuina (esim. Reinhardt 1986, Cantini 1989, jotka molemmat viittaavat tähän Fefermanin julkaisemattomaan teokseen).

Itse KF on muotoiltu klassiseen logiikkaan, mutta se kuvaa ei-klassista käsitettä totuudesta. Esimerkiksi voidaan todistaa (T / ulcorner L / urcorner / leftrightarrow T / ulcorner / neg L / urcorner), jos (L) on valehtelija. Siten KF todistaa, että joko valehtelumalki ja sen kieltäytyminen ovat totta tai että kumpikaan ei ole totta. Joten joko totuuden käsite on parakonsistentti (lause on totta yhdessä sen kieltämisen kanssa) tai epätäydellinen (kumpikaan ei ole totta). Jotkut kirjoittajat ovat lisänneet KF: tä aksiomilla, joka sulkee pois totuuden ja arvon välit, mikä tekee KF: stä äänen Kripken mallirakenteelle, koska Kripke oli sulkenut pois totuuden arvon muutokset.

Feferman (1991) osoitti, että KF on todiste-teoreettisesti sama kuin lopullisen analyysin teoria kaikilla tasoilla alla (varepsilon_0), sekvenssin rajan (omega, / omega ^ { omega}, / omega ^ { omega ^ { omega}}, / ldots) tai teoria ramified totuudesta samojen ordinals. Tämä tulos osoittaa, että KF: ssä tarkalleen (varepsilon_0) monet klassisen Tarskian hierarkian tasot aksiomatoidussa muodossaan voidaan palauttaa. Siten KF on paljon vahvempi kuin FS, puhumattakaan T (PA). Feferman (1991) suunnitteli myös KF: n vahvistamista, joka on yhtä vahva kuin täydellinen prediktiivinen analyysi, ts. Rakentunut analyysi tai totuus ordinaaliseen (Gamma_0) asti.

Aivan kuten kirjoitetun totuuspredikaatin kanssa, teoria KF (tarkemmin sanottuna sen yleinen variantti) voidaan saada heijastamalla tyypittämättömien (T) lauseiden järjestelmää. Kyseisten (T) - lauseiden järjestelmä on alkeellisen vääriä predikaatteja sisältävien yhdenmukaisten positiivisten tyyppimättömien (T) lauseiden jatke, ts. Teoriassa on kaksi yksisuuntaista predikattia (T) ja (F) ja aksioomat

) aloita {kohdista *} & / forall x (T / ulcorner / phi (alleviivaus {x}) urcorner / leftrightarrow / phi (x)) & / forall x (F / ulcorner / phi (alleviivattu) {x}) urcorner / leftrightarrow / phi '(x)) end {kohdista *})

jokaiselle kaavalle (phi (v)) positiivinen sekä (T) että (F), missä (phi ') edustaa (phi) De Morgan-duaalia (vaihtamalla (T) (F) ja päinvastoin). Yhdenmukaisen pohdinnan soveltamisella tähän diskotaatioon perustuvaan teoriaan KF: n vastaavan kahden predikaattiversion totuusaksomat ovat johdettavissa (Horsten ja Leigh, 2016). Vastakkaisuus pätee myös, samoin kuin yleistyminen äärellisiin ja rajallisiin heijastuskertauksiin (Leigh, 2017).

4.5 Pienimmän kiinteän pisteen kaappaaminen

Kuten yllä huomautettiin, jos KF osoittaa (T / ulcorner / phi / urcorner) joillekin lauseille (phi), niin (phi) pitää voimassa kaikissa Kripken kiinteiden pisteiden malleissa. Erityisesti on olemassa (2 ^ { aleph_0}) kiinteitä pisteitä, jotka muodostavat mallin KF: n sisäisestä teoriasta. Siten KF: n näkökulmasta vähiten kiinteää pistettä (josta Kripken teoria määritellään) ei eroteta. Burgess (tuleva) tarjoaa KF: n laajennuksen, nimeltään (mu) KF, joka yrittää kaapata minimaalisen Kripkean-kiinteän pisteen. KF: ää laajennetaan ylimääräisillä aksioomeilla, jotka ilmaisevat, että KF: n sisäinen teoria on pienin luokka, joka on suljettu Kripkean totuuden määrittelevien aksioomien alla. Tämä voidaan muotoilla yhdeksi aksioomikaaviona, joka ilmoittaa jokaiselle avoimelle kaavalle (phi)

Jos (phi) tyydyttää samat KF-aksioomat kuin predikaatissa (T), niin (phi) pitää jokaisesta tosi lauseesta.

Teoreettisesta näkökulmasta katsottuna (mu) KF on huomattavasti vahvempi kuin KF. Yhden aksioomin skeema, joka ilmaisee totuuden predikaatin minimaalisuuden, sallii upottaa (mu) KF: een yhden aritmeettisen induktiivisen määritelmän, impredikatiivisen teorian, järjestelmän ID: n (_ 1). Vaikka (mu) KF on intuitiivisesti uskottava, se kärsii samasta ilmeisestä epätäydellisyydestä kuin KF: Koska Kripkean-pisteen minimipiste muodostaa kokonaisen (Pi ^ {1} _1) -joukon ja (mu) KF pysyy rekursiivisesti lueteltavana, teoriassa on vakiomalleja, joissa totuuden predikaatin tulkinta ei oikeastaan ole vähimmäis kiinteä piste. Tällä hetkellä puuttuu perusteellinen analyysi (mu) KF-malleista.

4.6 Kripken teorian aksiomaatiot yliarvioinneilla

KF: n on tarkoitus olla Kripken (1975) semanttisen teorian axiomatization. Tämä teoria perustuu osittaiseen logiikkaan Strong Kleene -arviointijärjestelmällä. Vahvan Kleenen logiikassa jokainen lause (phi / vee / neg / phi) ei ole lause; erityisesti tämä disjunktio ei ole totta, jos (phi) puuttuu totuusarvo. Siksi (T / ulcorner L / vee / neg L / urcorner) (missä (L) on valehtelija) ei ole KF: n lause ja sen kieltäminen on jopa todistettavissa. Cantini (1990) on ehdottanut järjestelmää VF, joka on inspiroitu yliarvostelujärjestelmästä. VF: ssä kaikki klassiset tautologiat ovat todistettavasti totta ja (T / ulcorner L / vee / neg L / urcorner) on esimerkiksi lause VF. VF voidaan formuloida (matemaattinen {L} _T) ja käyttää klassista logiikkaa. Se ei ole enää totuuden koostumusteoria, koska seuraava ei ole lause VF:

) forall { scriptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptsize A} vee { scriptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptsize B})).)

Paitsi, että tämä periaate on ristiriidassa muiden VF-aksioomien kanssa, se ei sovellu supervaluationistiseen malliin, koska se tarkoittaa (T / ulcorner L / urcorner / vee T / ulcorner / neg L / urcorner), mikä ei tietenkään ole oikea koska suunnitellun semantiikan mukaan valehtelusankeella tai sen kieltämisellä ei ole totta: molemmilla ei ole totuusarvoa.

Laajentamalla tulosta Friedmanin ja Sheardin (1987) johdosta Cantini osoitti, että VF on paljon vahvempi kuin KF: VF on todiste-teoreettisesti ekvivalentti iteratiivisten induktiivisten määritelmien teorian ID (_ 1) kanssa, mikä ei ole predikatiivinen.

5. Ei-klassiset lähestymistavat itsensä viittaamiseen

Tähän mennessä käsitellyt totuusteoriat ovat aksiomaisoituneet klassiseen logiikkaan. Jotkut kirjoittajat ovat tutkineet myös epäklassiseen logiikkaan perustuvia aksomaattisia totuusteorioita (katso esimerkiksi Field 2008, Halbach ja Horsten 2006, Leigh ja Rathjen 2012). On olemassa monia syitä, miksi klassista logiikkaa heikompaa logiikkaa voidaan pitää parempana. Selvin on, että heikentämällä logiikkaa, jotkut totuuden aksioomikokoelmat, jotka olivat aikaisemmin epäjohdonmukaisia, muuttuvat johdonmukaisiksi. Toinen yleinen syy on se, että kyseisen aksioomaattisen teorian tarkoituksena on kaapata totuuden erityinen ei-klassinen semantiikka, jolle klassinen taustateoria voi osoittautua perusteettomaksi.

On myös suuri joukko lähestymistapoja, joissa käytetään parakonsistenssia tai alirakenteellista logiikkaa. Useimmissa tapauksissa näissä lähestymistavoissa ei käytetä aksiomaattista perusteoriaa, kuten Peano-aritmeettista, ja siksi ne poikkeavat tässä tarkasteltavana olevasta asetuksesta, vaikka parakonsistenssin tai alirakenteellisen logiikan soveltamisessa totuusteorioihin tällaisten perusteorioiden yhteydessä ei ole teknisiä esteitä. Tässä kattamme vain tilit, jotka ovat lähellä edellä mainittua asetusta. Lisätietoja alirakenteellisten ja parakonsistenssien logiikoiden soveltamisesta totuusteoreettisiin paradokseihin on asiaa koskevassa osassa valehtelijaparadoksia koskevassa merkinnässä.

5.1 Totuuden lähtökohta intuitionistisessa logiikassa

(T) - lauseiden epäjohdonmukaisuus ei perustu klassiseen päättelyyn. Se on epäjohdonmukainen myös paljon heikommissa logiikoissa, kuten minimaalinen logiikka ja osittainen logiikka. Klassisella logiikalla on kuitenkin rooli totuuden periaatteiden vapaan käytön rajoittamisessa. Esimerkiksi, klassisen perusteorian suhteen, implikaation koostumisaksioomi ((oikea nuoli)) vastaa täydellisyyden periaatetta, (forall { scriptsize A} (T [{ scriptsize A}] vee T) neg { scriptsize A})]). Jos totuuspredikaatin logiikka on klassista, täydellisyys vastaa disjunktion koostumusaksomia. Ilman syrjäytyneen keskiosan lakia FS voidaan formuloida täysin koostumusteoreeksi samalla kun se ei todista totuuden täydellisyyden periaatetta (Leigh & Rathjen 2012). Lisäksi,klassisella logiikalla on vaikutusta yrityksiin yhdistää totuuden koostumukselliset ja itse sovellettavat aksioomat. Jos esimerkiksi hylätään totuudenmukaisuuden aksioomi FS: stä (aksiooman 2 suunta vasemmalta oikealle luvussa 4.3) samoin kuin totuuden ennusteen ulkopuolelle jätetyn keskiosan laki, on mahdollista lisätä johdonmukaisesti totuus iteraation aksioomi (forall { scriptsize A} (T [{ scriptsize A}] rightarrow T [T { scriptsize A}])). Tuloksena oleva teoria muistuttaa edelleen voimakkaasti FS: ää, koska kaikille äärellisille tasoille tarkoitettu versiosääntösemantiikan rakentava versio tarjoaa luonnollisen mallin teoriasta, ja molemmilla teorioilla on sama (Pi ^ {0} _2) seuraukset (Leigh & Rathjen 2012; Leigh, 2013). Tätä tulosta tulisi verrata KF: lle, joka, jos se muotoillaan ilman syrjäytyneen keskiosan lakia,pysyy maksimaalisesti yhdenmukaisena valittujen totuusaksomien suhteen, mutta on Heytingin aritmeettisten yksiköiden konservatiivinen jatke.

5.2 Kripken teorian aksiomatisointi

Kripken (1975) teoria perustuu eri osiin logiikkaan. Klassisen logiikan teoriamallien saamiseksi osittaisessa mallissa käytetyn totuuden ennusteen jatkamista käytetään taas totuuden jatkeena klassisessa mallissa. Klassisessa mallissa väärät lauseet ja ne, joilla ei ole totta-arvoa osittaisessa mallissa, julistetaan totta. KF on vakaa suhteessa näihin klassisiin malleihin ja sisältää siten kaksi erillistä logiikkaa. Ensimmäinen on totuuden predikaatin mukaisten lausuntojen 'sisäinen' logiikka, ja se on muotoiltu vahvan Kleenen arvostusmallin avulla. Toinen on 'ulkoinen' logiikka, joka on täysin klassista logiikkaa. KF: n formuloinnin vaikutuksesta klassiseen logiikkaan on, että teoriaa ei voida jatkuvasti sulkea totuuden käyttöönoton säännön nojalla

Jos (phi) on KF: n lause, niin on myös (T / ulcorner / phi / urcorner).

Klassisen logiikan toinen vaikutus on valehtelijan lauseen ulkopuolelle jäävä lause. Ei valehtelijalauseella eikä sen kieltämisellä saa totuuden arvoa Kripken teoriassa, joten näiden kahden erottaminen ei ole pätevä. Tuloksena on, että KF ei ole terve sen suunnitellun semantiikan suhteen, jos sitä tarkastellaan Kripken teorian aksiomaationa. Tästä syystä Halbach ja Horsten (2006) ja Horsten (2011) tutkivat Kripken teorian aksiomaatiota osittaisella logiikalla sisäisenä ja ulkoisena logiikkana. Heidän ehdotuksensa, teoria, jolla on merkintä PKF ('osittainen KF'), voidaan aksiomatisoida Gentzen-tyylin kaksipuoleiseksi sekvenssiksi, joka perustuu Strong Kleene -logiikkaan (katso moniarvoisen logiikan kohta). PKF muodostuu lisäämällä tähän laskelmaan aritmeettisen aineiston Peano – Dedekind-aksioomat, mukaan lukien täysi induktio ja totuuden ennusteen koostumuksen ja totuuden iteraatiosäännöt, kuten Kripken teoria kieltää. Tuloksena on totuuden teoria, joka on vakaa suhteessa Kripken teoriaan.

Halbach ja Horsten osoittavat, että tämä Kripken teorian aksiomatizisointi on huomattavasti heikompaa kuin sen klassinen serkku KF. Tulos osoittaa, että logiikan rajoittaminen vain lauseille, joissa on totuuden predikaatti, voi myös estää totuudenmukaisten lauseiden johdannaista.

5.3 Ehdollisen lisääminen

Field (2008) ja muut kritisoivat osittaiselle logiikalle perustuvia teorioita”asianmukaisen” ehdollisen ja bi-ehdollisen puuttumisesta. Eri kirjoittajat ovat ehdottaneet ehdollisia ja kaksiosaisia ehtoja, joita ei voida määritellä suhteessa (neg, / vee) ja (kiila). Field (2008) pyrkii aksiomaattiseen totuuden teoriaan, joka ei ole samanlainen kuin PKF, mutta jolla on uusi ehdollisuus. Feferman (1984) esitteli myös kaksiedellytyksen ei-klassisen logiikan teoriaan. Toisin kuin Field ja hänen oma 1984 -teoriansa, Fefermanin (2008) teoria DT on muotoiltu klassiseen logiikkaan, mutta sen sisäinen logiikka on jälleen osittainen logiikka, jolla on vahva ehdollisuus.

bibliografia

  • Aczel, Peter, 1980,”Frege-rakenteet ja käsitys ehdotuksesta, totuudesta ja joukosta”, Kleene-symposium, Jon Barwise et al. (toimittajat), Amsterdam: Pohjois-Hollanti, 31–59.
  • Bealer, George, 1982, laatu ja konsepti, Oxford: Clarendon Press.
  • Burgess, John P., 2014, “Friedman ja Kripken totuusteorian axiomatization”, Foundational Adventures: Esseissä Harvey M. Friedmanin kunniaksi, toimittanut Neil Tennant, Lontoo: College Publications ja Templeton Press (online).
  • Cantini, Andrea, 1989,”Huomautuksia totuuden muodollisista teorioista”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 35: 97–130.
  • –––, 1990,”Muodollisen totuuden teoria, joka vastaa aritmeettisesti (mathrm {ID} _1)”, Journal of Symbolic Logic, 55: 244–59.
  • –––, 1996, Totuuden ja abstraktion loogiset puitteet: Aksiomaattinen tutkimus, logiikan opinnot ja matematiikan perusteet (nro 135), Amsterdam: Elsevier.
  • Cieśliński, Cezary, 2010,”Totuus, konservatiivisuus ja todistettavuus”, Mind, 119: 409–422.
  • –––, 2007,”Deflaationismi, konservatiivisuus ja maksimi- suus”, Journal of Philosophical Logic, 36: 695–705.
  • –––, 2017, Totuuden episteminen valoisuus: Deflaatio ja sen logiikka, Cambridge University.
  • Enayat, Ali ja Albert Visser, 2015,”Tyytyväisyysluokkien uudet rakenteet”, totuuden filosofian yhdistämisessä, T. Achourioti, H. Galinon, K. Fujimoto ja J. Martínez-Fernández (toim.), Dordrecht: Springer, 321–335.
  • Feferman, Solomon, 1962,”Aksomaattisten teorioiden rajallinen rekursiivinen eteneminen”, Journal of Symbolic Logic, 27: 259–316.
  • –––, 1984,”Kohti hyödyllisiä tyyppivapaita teorioita. I.” Journal of Symbolic Logic, 49: 75–111.
  • –––, 1991,”Heijastelee epätäydellisyyttä”, Journal of Symbolic Logic, 56: 1–49.
  • –––, 2008,”Aksioomat päättäväisyydestä ja totuudesta”, Review of Symbolic Logic, 1: 204–217.
  • Field, Hartry, 1999,”Deflatoiva konservatiivisuusväite”, Journal of Philosophy, 96: 533–40.
  • –––, 2003, “Kosto-immuuni ratkaisu semanttisiin paradokseihin”, Journal of Philosophical Logic, 32: 139–177.
  • ––– 2008, totuuden säästäminen Paradoxista, Oxford: Oxford University Press.
  • Franzén, Torkel, 2004, Ei ehtyvyys: ei-tyhjentävä hoito, Symbolisen logiikan yhdistys.
  • Friedman, Harvey ja Michael Sheard, 1987,”Aksiomaattinen lähestymistapa itsereferenssiseen totuuteen”, Annals of Pure and Applied Logic, 33: 1–21.
  • –––, 1988, “Totuuden aksiomaattisten järjestelmien hajoamis- ja olemassaoloominaisuudet”, Annals of Pure and Applied Logic, 40: 1–10.
  • Fujimoto, Kentaro 2012,”Tunnit ja totuudet joukkoteoriassa”, Annals of Pure and Appic Logic, 163: 1484–1523.
  • Glanzberg, Michael, 2015,”Monimutkaisuus ja hierarkia totuuden ennusteissa”, totuuden filosofian yhdistämisessä, T. Achourioti, H. Galinon, K. Fujimoto ja J. Martínez-Fernández (toim.), Dordrecht: Springer, 211 -243.
  • Halbach, Volker, 1994,”Järjestelmä täydellisestä ja johdonmukaisesta totuudesta”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 311–27.
  • –––, 2001, “Disquotational Truth and Analyticity”, Journal of Symbolic Logic, 66: 1959–1973.
  • –––, 2009, “Kompositiivisen totuuden vähentäminen”, Symbolic Logic -katsaus 2 (2009), 786–798.
  • –––, 2011, Totuuden aksiomaattiset teoriat, Cambridge University, uudistettu painos 2014.
  • Halbach, Volker ja Leon Horsten, 2006, “Axiomatizing Kripken teoria totuudesta”, Journal of Symbolic Logic, 71: 677–712.
  • Hájek, Petr ja Pavel Pudlak, 1993, ensimmäisen kertaluvun aritmeettisen aineen matematiikka, Berliini: Springer.
  • Heck, Richard, 2001,”Totuus ja keskustelu”, Synthese, 142: 317–352.
  • –––, 2015,”Johdonmukaisuus ja totuuden teoria”, Symbolisen logiikan katsaus, 8: 424–466.
  • Horsten, Leon, 1995,”Semanttiset paradoksidit, totuuden neutraalisuus ja totuuden minimalistisen teorian neutraalisuus”, realismin monissa ongelmissa (Tutkimukset yleisessä tiedefilosofiassa: osa 3), P. Cortois (toim..), Tilburg: Tilburg University Press, 173–87.
  • –––, 2011, Tarskian käännös. Deflaatio ja aksiomaattinen totuus, MIT Press.
  • Horsten, Leon ja Graham E. Leigh, 2017, “Totuus on yksinkertainen”, Mind, 126 (501): 195–232.
  • Kahle, Reinhard, 2001,”Totuus soveltuvissa teorioissa”, Studia Logica, 68: 103–128.
  • Kaye, Richard, 1991, mallit Peano Arithmeticista, Oxford Logic Guides, Oxford: Oxford University Press.
  • Ketland, Jeffrey, 1999,”Deflaatio ja Tarskin paratiisi” Mind, 108 (429): 69–94.
  • Kotlarski, Henryk ja Zygmunt Ratajczyk, 1990a,”Induktiiviset täydelliset tyytyväisyysluokat”, Annals of Pure and Applied Logic, 47: 199–223.
  • –––, 1990b,”Lisää kielten induktion tyydyttävyysluokasta”, Zeitschrift fürhematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 36: 441–54.
  • Kotlarski, Henryk, Stanislav Krajewski ja Alistair H. Lachlan, 1981,”Tyytyväisyysluokkien rakentaminen epästandardimallille”, Kanadan matemaattiset tiedotteet, 24: 283–93.
  • Kreisel, Georg ja Azriel Lévy, 1968,”Heijastusperiaatteet ja niiden käyttö aksiomaattisten järjestelmien monimutkaisuuden määrittämisessä”, Zeitschrift für matematiikkalogiikka ja Grundlagen der Mathematik, 14: 97–142.
  • Kremer, Michael, 1988,”Kripke ja totuuden logiikka”, Journal of Philosophical Logic, 17: 225–278.
  • Kripke, Saul, 1975,”Totuuden teorian kuvaus”, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
  • Lachlan, Alistair H., 1981,”Täydelliset tyytyväisyysluokat ja rekursiivinen kylläisyys”, Kanadan matemaattiset tiedotteet, 24: 295–97.
  • Leigh, Graham E., 2013,”Todisteoreettinen kuvaus klassisista totuuden periaatteista”. Annals of Pure and Applied Logic, 164: 1009–1024.
  • –––, 2015,”Säilövyys kompositiivisen totuuden teorioille leikkauksen eliminoinnin kautta.” Journal of Symbolic Logic, 80 (3): 845–865
  • –––, 2016, “Reflecting on Truth”, IfCoLog Journal of Logics and niiden Applications, 3 (4): 557–594.
  • Leigh, Graham E. ja Michael Rathjen, 2012, “Friedman-Sheard-ohjelma intuitionistisessa logiikassa”, Journal of Symbolic Logic, 77: 777–806.
  • –––, 2010,”Järjestysanalyysi itsereferenssisen totuuden teorioista”, Archive for Mathematical Logic, 49: 213–247.
  • Leitgeb, Hannes, 2001,”Totuusteoriat, joilla ei ole vakiomalleja”, Studia Logica, 68: 69–87.
  • Maudlin, Tim, 2004, totuus ja paradoksi. Arvoitusten ratkaiseminen, Oxford: Clarendon Press.
  • McGee, Vann, 1985, “Kuinka totuudenmukainen voi olla ennuste? Negatiivinen tulos”, Journal of Philosophical Logic, 14: 399–410.
  • –––, 1991, totuus, epämääräisyys ja paradoksi: Essee totuuden logiikasta, Indianapolis ja Cambridge: Hackett Publishing.
  • –––, 1992, “Tarskin skeeman (T) maksimaaliset yhdenmukaiset esiintymät”, Journal of Philosophical Logic, 21: 235–241.
  • Myhill, John, 1950,”Järjestelmä, joka voi määritellä oman totuuten”, Fundamenta Mathematicae, 37: 190–92.
  • Nicolai, Carlo, 2016,”Huomautus tyypillisestä totuudesta ja johdonmukaisuuden väittämistä”, Journal of Philosophical Logic, 45: 89–119.
  • Reinhardt, William N., 1986,”Joitakin huomautuksia teorioiden laajentamisesta ja tulkinnasta osittaisella ennusteella totuudelle”, Journal of Philosophical Logic, 15: 219–51.
  • Schindler, Thomas, 2015,”Vahvan totuuden diskotisoiva teoria (mathrm {Z} ^ {-} _ 2)”, Journal of Philosophical Logic, 44: 395–410.
  • Scott, Dana, 1975,”Yhdistäjät ja luokat”, julkaisussa (lambda) - laskenta- ja tietotekniikkateoria (Tietojenkäsittelytieteen luentomerkinnät: Osa 37), C. Böhm (toim.), Berliini: Springer, 1– 26.
  • Shapiro, Stewart, 1998,”Osoitus ja totuus: Paksujen ja ohuiden kautta”, Journal of Philosophy, 95 (10): 493–521.
  • –––, 2002,”Deflaatio ja suojelu”, totuuden periaatteet, Volker Halbach ja Leon Horsten (toim.), Frankfurt am Main: Dr. Hänsel-Hohenhausen, 103–128
  • Sheard, Michael, 1994,”Opas totuuden ennusteisiin nykyaikana”, Journal of Symbolic Logic, 59: 1032–54.
  • –––, 2001,”Heikot ja vahvat totuusteoriat”, Studia Logica, 68: 89–101.
  • –––, 2002,”Totuus, todennäköisyys ja naiivit kriteerit”, totuuden periaatteet, Volker Halbach ja Leon Horsten (toim.), Frankfurt am Main: Dr. Hänsel-Hohenhausen, 169–181.
  • Takeuti, Gaisi, 1987, todisteteoria (Opinnot logiikassa ja matematiikan perusteet: nro 81), Amsterdam: Pohjois-Hollanti, toinen painos.
  • Tarski, Alfred, 1935,”Totuuden käsite muodollisissa kielissä”, logiikassa, semantiikassa, metamatkailussa, Indianapolis: Hackett 1983, 2. painos, 152–278.
  • Tennant, Neil, 2002,”Deflaationismi ja Gödel-ilmiöt”, Mind, 111: 551–582.
  • Turner, Raymond, 1990, Totuus ja modaalisuus, Lontoo: Pitman.
  • Visser, Albert, 1989,”Semantics and valehtelullinen paradoksi”, Manual of Philosophical Logic, 4: 617–706.
  • Yablo, Stephen, 1993,”Paradoksi ilman itseviittausta”, analyysi, 53: 251–252.
  • Wcisło, Bartosz ja Mateusz Łełyk, 2017,”Huomautuksia rajoitetusta induktiosta koostumuksen totuuden ennusteelle”, Review of Symbolic Logic, 10: 455–480.

Akateemiset työkalut

sep mies kuvake
sep mies kuvake
Kuinka mainita tämä merkintä.
sep mies kuvake
sep mies kuvake
Esikatsele tämän tekstin PDF-versio SEP-Ystävien ystävissä.
inpho-kuvake
inpho-kuvake
Katso tätä kirjoitusaihetta Internet Philosophy Ontology Projektista (InPhO).
phil paperit -kuvake
phil paperit -kuvake
Parannettu bibliografia tälle merkinnälle PhilPapersissa, linkkien avulla tietokantaan.

Muut Internet-resurssit

[Ota yhteyttä kirjoittajaan ehdotuksilla.]

Suositeltava: