George Boole

Sisällysluettelo:

George Boole
George Boole

Video: George Boole

Video: George Boole
Video: The Genius of George Boole | RTÉ One 2024, Maaliskuu
Anonim

Tämä tiedosto on Stanfordin filosofian tietosanakirjan arkistossa.

George Boole

Ensimmäinen julkaistu ke 21. huhtikuuta 2010

George Boole (1815–1864) oli englantilainen matemaatikko ja logiikan algebrallisen perinteen perustaja. Hän työskenteli koulun päällikönä Englannissa ja vuodesta 1849 kuolemaansa asti matematiikan professorina Queenin yliopistossa, Cork, Irlanti. Hän mullisti logiikan soveltamalla menetelmiä silloin nousevalta symbolisen algebran kentältä logiikkaan. Kun perinteinen (aristotelilainen) logiikka perustui erilaisten yksinkertaisten muotojen voimassa olevien syglogistien luettelointiin, Boole-menetelmä tarjosi yleiset algoritmit algebrallisella kielellä, jota sovellettiin äärettömään joukkoon mielivaltaisen monimutkaisuuden perusteita. Nämä menetelmät hahmoteltiin kahdessa suuressa teoksessa, logiikan matemaattinen analyysi (1847) ja ajattelutapoja (1854).

  • 1. Elämä ja työ
  • 2. Boolen logiikan työn tausta ja tausta
  • 3. Matemaattinen logiikan analyysi (1847)
  • 4. Ajattelun lait (1854)
  • 5. Myöhemmät kehitykset

    • 5.1 Vastalauseet Boolen logiikan algebralle
    • 5.2. Boole-järjestelmän nykyaikainen jälleenrakentaminen
  • 6. Boolen menetelmät

    • 6.1 Boolen LT: n käyttämät kolme argumenttianalyysimenetelmää
    • 6.2. Boolen yleinen menetelmä primaariehdotuksille
    • 6.3. Boolen yleinen menetelmä toissijaisille ehdotuksille
  • bibliografia
  • Muut Internet-resurssit
  • Aiheeseen liittyvät merkinnät

1. Elämä ja työ

George Boole syntyi 2. marraskuuta 1815 Lincolnissa, Lincolnshiressä, Englannissa, vaatimaton perhe, isän kanssa, joka oli selvästi enemmän hyvä seuralainen kuin hyvä leipomo. Hänen isänsä oli suutari, jonka todellinen intohimo oli omistautunut dilettante tieteen ja tekniikan alalla, joka nautti osallistumisesta Lincoln Mechanics 'Institutioniin; tämä oli pohjimmiltaan yhteisön sosiaalinen kerho, joka edisti lukemista, keskusteluja ja luentoja tieteestä. Se perustettiin vuonna 1833, ja vuonna 1834 Boolen isästä tuli sen kirjaston kuraattori. Boole peri selvästi tämän oppimisrakkauden. Ilman eliittikoulutusta, mutta tukevalla perheellä ja pääsy erinomaisiin kirjoihin, etenkin Sir Edward Bromheadilta, FRS, joka asui vain muutaman mailin päässä Lincolnista,Boole pystyi lähinnä opettamaan itselleen vieraita kieliä ja syventävää matematiikkaa.

16-vuotiaana Boolen oli välttämätöntä löytää ansiotyötä, koska hänen isänsä ei enää pystynyt tarjoamaan perhettä. Kolmen vuoden kuluttua työskentelystä opettajina yksityisissä kouluissa, Boole päätti 19-vuotiaana avata oman pienen koulun Lincolnissa. Hänestä tulee koulun päällikkö seuraavan 15 vuoden ajan, vuoteen 1849 saakka, jolloin hänestä tuli professori vasta avatussa kuningattaren yliopistossa Corkissa, Irlannissa. Koska hänellä on raskaita velvollisuuksia vanhemmilleen ja siskoilleen, on huomattavaa, että hän kuitenkin löysi vuosien ajan koulumiehenä aikaa jatkaa omaa koulutustaan ja aloittaa tutkimusohjelma, joka kohdistui pääasiassa differentiaaliyhtälöihin ja laskelmiin variaatioiden laskemiseen. Laplace ja Lagrange (jotka hän opiskeli alkuperäisellä ranskaksi).

On yleistä uskoa, että Boole oli ensisijaisesti logistiikka - todellisuudessa hänestä tuli tunnustettu matemaatikko hyvissä ajoin ennen kuin hän oli lyönyt yhtä sanaa logiikasta, ajaessaan samalla yksityistä koulua hoitaakseen vanhempiaan ja sisaruksiaan. Boolen kyky lukea ranskaa, saksaa ja italiaa antoi hänelle hyvät mahdollisuudet aloittaa vakavat matemaattiset opinnot, kun hän 16-vuotiaana lukei Lacroixin Calcul Différentiel -tapahtuman, joka oli hänen ystävänsä, Reverend GS Dicksonin, lahja Lincolnista. Seitsemän vuotta myöhemmin, vuonna 1838, hän kirjoitti ensimmäisen matemaattisen tutkimuksensa (vaikkakaan ei ensimmäistä, joka julkaistaan)”Tietyistä variaatiolaskelman lauseista” keskittyen parantamaan tuloksia, jotka hän oli lukenut Lagrange'in Méchanique Analytique -lehdessä.

Alkuvuodesta 1839 Boole matkusti Cambridgeen tapaamaan nuorta matemaatikkoa Duncan F. Gregorya (1813–1844), joka oli Cambridge Mathematical Journal (CMJ) -Gregory-toimittaja. Hän oli perustanut tämän lehden vuonna 1837 ja toimittanut sitä, kunnes hänen terveytensä epäonnistui 1843 (hän kuoli vuoden 1844 alussa, 30-vuotiaana). Gregorysta, vaikka vain 2 vuotta tutkinnonsa jälkeen vuonna 1839, hänestä tuli tärkeä mentori Boolelle. Gregoryn tuella, joka sisälsi Boolen ohjaamisen matemaattisten kirjoitusten kirjoittamiseen, Boole tuli matemaattisten julkaisujen yleisölle vuonna 1841.

Boole: n matemaattiset julkaisut kattavat 24 vuotta 1841 - 1864, jolloin hän kuoli keuhkokuumeeseen. Jos jaamme nämä 24 vuotta kolmeen segmenttiin, ensimmäiset 6 vuotta (1841–1846), toiset 8 vuotta (1847–1854) ja viimeiset 10 vuotta (1855–1864), huomaamme, että hänen logiikkatyönsä oli täysin keskellä 8 vuotta.

Ensimmäisenä 6 uranvuotenaan Boole julkaisi 15 matemaattista paperia, kaikki paitsi kaksi CMJ: ssä ja sen 1846 seuraajassa, The Cambridge and Dublin Mathematical Journal. Hän kirjoitti matemaattisista aiheista, lähinnä differentiaaliyhtälöistä, integraatiosta ja variaatioiden laskennasta. Boole nautti varhaisesta menestyksestä käyttää uutta symbolista menetelmää analyysissä, menetelmässä, joka otti käyttöön differentiaaliyhtälön, sanoen:

d 2 y / dx 2 - dy / dx - 2 y = cos (x),

ja kirjoitti sen muodossa Operaattori (y) = cos (x). Tämä saavutettiin (muodollisesti) antamalla:

D = d / dx, D 2 = d 2 / dx 2 jne.

mikä johtaa differentiaaliyhtälön ilmaisuun seuraavasti:

(D 2 - D - 2) y = cos (x).

Nyt symbolinen algebra tuli peliin käsittelemällä operaattoria D 2 - D - 2 ikään kuin se olisi tavallinen polynomi algebrassa. Boole'n vuonna 1841 julkaisussa "Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden integroinnista vakiokertoimilla" annettiin hieno parannus Gregoryn menetelmälle tällaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, parannus, joka perustui algebran standardityökaluun, osittaismurtojen käyttö.

Vuonna 1841 Boole julkaisi myös ensimmäisen paperinsa muuttujista, paperin, joka vaikuttaisi voimakkaasti Eisensteiniin, Cayleyyn ja Sylvesteriin aiheen kehittämisessä. Arthur Cayley (1821–1895), tulevaisuuden sadlerialainen professori Cambridgessa ja yksi historian hedelmällisimmistä matemaatikoista, kirjoitti ensimmäisen kirjeen Boolelle vuonna 1844, kiittäen häntä erinomaisesta työstään invarianteilla. Hänestä tuli läheinen henkilökohtainen ystävä, joka meni Lincolniin käymään ja pysymään Boolessa vuosina ennen kuin Boole muutti Corkkiin, Irlantiin. Vuonna 1842 Boole aloitti kirjeenvaihdon Augustus De Morganin (1806–1871) kanssa, joka aloitti uuden elinajan ystävyyden.

Vuonna 1843 koulumestari Boole viimeisteli pitkän paperin differentiaaliyhtälöistä yhdistämällä eksponentiaalisen korvaamisen ja parametrien variaation symbolien erottelumenetelmällä. Paperi oli liian pitkä CMJ-Regioreille, ja myöhemmin De Morgan rohkaisi häntä toimittamaan sen kuninkaalliselle seuralle. Ensimmäinen erotuomari hylkäsi Boolen paperin, mutta toinen suositteli sitä kultamitaliksi parhaalle matemaattiselle paperille, joka on kirjoitettu vuosina 1841–1844, ja tämä suositus hyväksyttiin. Vuonna 1844 Royal Society julkaisi Boole-lehden ja myönsi hänelle kultamitalin - ensimmäisen kultamitalin, jonka yhdistys myönsi matemaatikolle. Ensi vuonna Boole lukee paperin Britannian tiedejärjestön vuosikokouksessa Cambridgessa kesäkuussa 1845. Tämä johti uusiin kontakteihin ja ystäviin,erityisesti William Thomson (1824–1907), tulevaisuuden lordi Kelvin.

Pian aloitettuaan julkaisujen julkaisemisen Boole oli innokas löytämään tavan liittyä korkeakouluun. Hän harkitsi Cambridgen yliopistoon osallistumista tutkinnon suorittamiseksi, mutta hänelle neuvottiin, että erilaisten vaatimusten täyttäminen todennäköisesti häiritsisi hänen tutkimusohjelmaansa puhumattakaan rahoituksen saamisen ongelmista. Lopuksi hän sai vuonna 1849 professuurin uudessa yliopiston avaamisessa Corkissa, Irlannissa. Vuosina hän oli professori Corkissa (1849–1864) ja kysyi toisinaan mahdollisuutta palata takaisin Englantiin.

Kahdeksan vuoden jakso 1847–1854 alkaa ja päättyy Boolen kahteen matemaattisen logiikan kirjaan. Lisäksi Boole julkaisi vielä 24 artikkelia perinteisestä matematiikasta tänä aikana, kun taas logiikasta kirjoitettiin vain yksi paperi, joka oli vuonna 1848. Hänelle myönnettiin kunniatohtori LL. D. Dublinin yliopiston vuonna 1851 suorittama tutkinnon suorittaminen, ja tätä nimikettä hän käytti nimensä vieressä 1854 tehtävässä logiikkakirjassaan. Boolen 1847 -kirjaan, matemaattinen logiikan analyysi, viitataan nimellä MAL; 1854-kirja, ajattelun lait, kuten LT.

Uransa viimeisen 10 vuoden aikana, vuosina 1855–1864, Boole julkaisi 17 matematiikkaa käsittelevää artikkelia ja kaksi matematiikan kirjaa, yhden differentiaaliyhtälöistä ja toisen eroyhtälöistä. Molempia kirjoja pidettiin uusimpana tekniikkana ja niitä käytettiin Cambridgessa opiskeluun. Tänä aikana tuli myös merkittäviä kunnianosoituksia:

1857 Kuninkaallisen seuran apuraha
1858 Cambridgen filosofisen seuran kunniajäsen
1859 Tutkinto DCL, kunnianosoitus Oxfordista

Valitettavasti hänen innokas velvollisuutensa johti hänen kävelemiseen myrskyn läpi vuoden 1864 lopulla, ja sitten luennoille märissä vaatteissa. Pian sen jälkeen, 8. joulukuuta 1864 Ballintemplessa, Corkin kreivikunnassa, Irlannissa, hän kuoli keuhkokuumeeseen 49-vuotiaana. Toinen matemaattiset asiakirjat ja tarkistettu kirja differentiaaliyhtälöistä, joissa kiinnitettiin huomattavaa huomiota yksittäisiin ratkaisuihin, julkaistiin postitse. mortem.

Lukijalle, joka on kiinnostunut erinomaisesta ja perusteellisesta selityksestä Boolen henkilökohtaisesta elämästä, viitataan Desmond MacHalen George Boole -sarjaan, hänen elämäänsä ja työhön, 1985, lähde, jolle tämä artikkeli on velkaa.

  • 1815 - Syntynyt Lincolnissa, Englannissa
  • 1830 - Hänen käännös kreikkalaisesta runosta, joka on painettu paikalliselle paperille
  • 1831 - lukee Lacroixin Calcul Différentiel
  • opettaja
  • 1834 - Avaa oman koulun
  • 1835 - Puheenvuoro Newtonin saavutuksista
  • 1838 - kirjoittaa ensimmäisen matematiikan tutkielman
  • 1839 - Vierailee Cambridgessä tapaamaan Cambridge Mathematical Journal (CMJ) -toimittajan Duncan Gregorya
  • 1841 - Neljä ensimmäistä matemaattista julkaisua (kaikki CMJ: ssä)
  • 1842 - Aloittaa kirjeenvaihdon Augustus De Morganin kanssa - heistä tulee elinikäisiä ystäviä
  • 1844 - Kirjeenvaihto Cayleyn kanssa alkaa (aloittanut Cayley) - heistä tulee elinikäisiä ystäviä
  • 1844 - Kuninkaallisen yhdistyksen kultamitali paperille differentiaaliyhtälöistä
  • 1845 - Puhuu Britannian tiedejärjestön vuosikokouksessa ja tapaa William Thompsonin (myöhemmin Lord Kelvin) - heistä tulee elinikäisiä ystäviä
  • 1847 - julkaisee logiikan matemaattisen analyysin
  • 1848 - julkaisee hänen ainoan kirjoituksensa logiikan algebrasta
  • Matematiikan professori
  • 1849 - Hyväksyy matematiikan professorina uuden kuningattaren yliopistossa Corkissa, Irlannissa
  • 1851 - kunniatohtori, LL. D., Trinity College, Dublin
  • 1854 - julkaisee ajattelutapoja
  • 1855 - Avioliitto Mary Everestin kanssa, Intian päämittarin George Everestin veljentytär, jonka jälkeen Mt. Everest on nimetty
  • 1856 - Mary Ellen Boole syntyi
  • 1857 - valittiin kuninkaalliseen seuraan
  • 1858 - Margaret Boole syntyi
  • 1859 - julkaisee differentiaaliyhtälöt; käytettiin oppikirjana Cambridgessä
  • 1860 - syntyi Alicia Boole, joka tulee rahan sanalle "polytope"
  • 1860 - julkaisee eroyhtälöt; käytettiin oppikirjana Cambridgessä
  • 1862 - Lucy Everest Boole syntyi
  • 1864 - syntyi tytär Ethel Lilian Boole, joka kirjoittaisi The Gadflyn, joka on Venäjällä poikkeuksellisen suosittu kirja 1917-vallankumouksen jälkeen
  • 1864 - kuolema keuhkokuumeesta, Cork, Irlanti

2. Boolen logiikan työn tausta ja tausta

Ymmärtääksesi kuinka Boole kehitti niin lyhyessä ajassa vaikuttavan logiikan algebransa, on hyödyllistä ymmärtää algebran perustaa koskevan työn laajat pääpiirteet, joita Cambridge Universityn sidoksissa olleet matemaatikot olivat ryhtyneet 1800-luvulla ennen Boolen matemaattisen julkaisuuran alku. Erinomainen viite jatkokäsittelyyn, joka liittyy tähän kohtaan, on Ewaldin (1996) huomautettu lähdekirja Kantista Hilbertiin.

19th century avattiin Englannissa matematiikan kanssa doldrums. Englantilaiset matemaatikot olivat keskustelleet mantereen matemaatikoiden kanssa ensisijaisista kysymyksistä laskennan kehittämisessä. Tuloksena olivat englantilaiset Newtonin merkinnän seurauksena ja mantereella Leibnizin jälkeen. Yksi esteistä, jotka on voitettava englanninkielisen matematiikan päivittämisessä, oli se, että algebran ja analyysin suuri kehitys oli rakennettu kyseenalaisille perusteille, ja siellä oli englantilaisia matemaatikoita, jotka olivat varsin äänekäs näistä puutteista. Tavallisessa algebrassa huolenaiheita aiheutti negatiivisten ja kuvitteellisten numeroiden käyttö. Englantilaisten keskuudessa ensimmäinen suuri yritys selvittää algebran peruskysymykset oli George Peacockin traktaatti Algebrossa, 1830 (toinen painos ilmestyi kahdessa osassa,1842/1845). Hän jakoi kohteen kahteen osaan, joista ensimmäinen osa oli aritmeettinen algebra, positiivisten lukujen algebra (mikä ei sallinut vähentämisen kaltaisia toimintoja tapauksissa, joissa vastaus ei olisi positiivinen luku). Toinen osa oli symbolista algebraa, jota ei säännelty erityisellä tulkinnalla, kuten aritmeettisen algebran tapauksessa, vaan laeilla. Symbolisessa algebralla ei ollut rajoituksia vähentämisen käytölle jne. Symbolisessa algebralla ei ollut rajoituksia vähentämisen käytölle jne. Symbolisessa algebralla ei ollut rajoituksia vähentämisen käytölle jne.

Algebran terminologia poikkesi 1800-luvulla hiukan nykyisestä. Erityisesti he eivät käyttäneet sanaa "muuttuja"; x-kirjainta ilmaisussa kuten 2 x + 5 kutsuttiin symboliksi, tästä nimestä”symbolinen algebra”. Tähän artikkeliin lisätään joskus etuliite, kuten numerosymbolina tai luokan symbolina, symbolin aiotun tulkinnan korostamiseksi.

Peacock uskoi, että jotta symbolinen algebra olisi hyödyllinen aihe, sen lakien oli oltava läheisessä suhteessa aritmeettisen algebran lakiin. Tätä tarkoitusta varten hän esitteli periaateen ekvivalenttimuotojen pysyvyydestä, periaatteen, joka yhdistää tulokset aritmeettiseen algebraan symbolisen algebrassa oleviin. Tällä periaatteella on kaksi osaa:

(1) Aritmeettisen algebran yleiset tulokset kuuluvat symbolisen algebran lakien kanssa.

(2) Aina kun symbolisen algebran tuloksen tulkinnalla on merkitystä aritmeettisen algebran asettamisessa, tulos antaisi oikean aritmeettisen tuloksen.

François-Joseph Servois (1776–1847) esitteli vuonna 1814 kiehtovan algebran käytön, kun hän käsitteli differentiaaliyhtälöitä erottamalla differentiaalioperaattoriosa aihepiirin funktion osasta, kuten yllä olevassa esimerkissä on kuvattu. Tämä algebran sovellus herätti Duncan Gregoryn kiinnostuksen, joka julkaisi useita artikkeleita symbolien erottamismenetelmästä, ts. Jakamisesta operaattoreiksi ja esineiksi, CMJ: ssä. Hän kirjoitti myös algebran perustalle, ja juuri Gregoryn säätiö hyväksyi Boolen melkein sanatarkasti. Gregory oli luopunut Peacockin periaatteesta vastaavien muotojen pysyvyydestä kahden yksinkertaisen lain puolesta. Valitettavasti nämä lait eivät kaukana siitä, mitä vaaditaan edes joidenkin algebran alkeellisimpien tulosten perustelemiseksi. Kohdassa “Algebran perusta”, 1839,Ensimmäinen De Morganin aiheesta käydyistä neljästä aiheesta käydystä aiheesta, joka ilmestyi Cambridge Philosophical Society -tapahtumassa, tuodaan tunnustusta algebran symbolien erotteluun, ja väite, jonka mukaan nykyaikaiset algebraistit pitävät yleensä symboleja operaattoreita osoittavina (esim. johdannaistoiminto) objektien, kuten numeroiden, sijasta. Alaviite:

Professori Peacock on mielestäni ensimmäinen, joka esitti selvästi eron sen välillä, jota olen kutsunut algebra-tekniikan ja loogisen haaran välillä.

arvostaa Peacockia siitä, että se on ensimmäinen, joka erotti algebran syntaktiset ja semanttiset näkökohdat (joita nyt kutsutaan). Toisessa säätiöasiakirjassa (vuonna 1841) De Morgan ehdotti, mitä hän piti täydelliseksi kahdeksan säännön muodostamiseksi symbolisen algebran kanssa työskentelemiseksi.

3. Matemaattinen logiikan analyysi (1847)

Boolen polku logiseen maineeseen alkoi uteliaalla tavalla. Alkuvuodesta 1847 häntä kannustettiin käynnistämään logiikan tutkimuksensa triviaalisella, mutta erittäin julkisella kiistalla De Morganin ja skotlantilaisen filosofin Sir William Hamiltonin välillä (ei pidä sekoittaa irlantilaisen matemaatikon Sir William Rowan Hamiltonin kanssa). Tämä kiista kääntyi sen ympärille, jotka ansaitsivat kunnianosoituksen ajatuksesta predikaatin kvantifioinnista (esim. “Kaikki A on kaikki B”, “Kaikki A on jotkut B” jne.). Muutaman kuukauden kuluessa Boole oli kirjoittanut 82-sivuisen monografiansa, matemaattinen logiikan analyysi, antaen algebralisen lähestymistavan aristotelilaiseen logiikkaan. (Jotkut sanovat, että tämä monografia ja De Morganin kirja Formal Logic ilmestyivät samana päivänä marraskuussa 1847.)

Johdanto-luku alkaa siitä, kun Boole tarkistaa symbolisen menetelmän. Toinen luku, Ensimmäiset periaatteet, antaa symbolin 1 edustaa maailmankaikkeutta, joka "ymmärtää jokaisen mahdollisen esineiden luokan, olipa olemassa tai ei". Isot kirjaimet X, Y, Z,… tarkoittivat luokkia. Sitten, epäilemättä voimakkaasti hänen erittäin menestyneestä työstään, joka käytti algebrallisia tekniikoita differentiaalioperaattoreilla, ja johdonmukaisena De Morganin vuonna 1839 antaman väitteen kanssa, jonka mukaan algebraistit mieluummin tulkitsivat symboleja operaattoreina, Boole esitteli luokkaa X vastaavan valinnaisen symbolin x, vastaavan valinnaisen symbolin y Y: ksi jne. Valittavat symbolit merkitsivät vaalioperaattoreita - esimerkiksi vaalioperaattori punainen luokkaan sovellettaessa valitsee (valitsee) luokan punaiset kohteet.(Valinnaiset symbolit voidaan yksinkertaisesti korvata vastaavilla luokan symboleilla ja tulkinnassa käytetään LT: n vuonna 1854.)

Sitten Boole esitteli ensimmäisen operaation, valittavien symbolien kertolaskun xy. Kertomuksen vakiomerkinnällä xy oli myös operaattoreille (esimerkiksi differentiaalioperaattoreille) vakiona oleva merkitys, nimittäin yksi kohdistettiin y objektiin ja sitten x lisättiin tulokseen. (Nykyaikaisessa terminologiassa tämä on kahden operaattorin kokoonpano.) Siten, kuten Hailperin (1986) huomautti, näyttää todennäköiseltä, että tämä vakiintunut notaatiomenetelmä antoi Boolelle hänen määritelmänsä valita valitut symbolit kertomalla operaattoreiden koostumukseksi. Kun siirrytään käyttämään luokkia valinnaisten operaattoreiden sijasta, kuten LT: ssä, kahden luokan vastaava kertolasku johtaa niiden leikkaukseen.

MAL: n ensimmäinen laki oli jakautumislaki x (u + v) = xu + xv, jossa Boole sanoi, että u + v vastasi luokan jakamista kahteen osaan. Tämä oli ensimmäinen maininta lisäyksestä. Sivulla s. 17 Boole lisäsi kommutatiivisen lain xy = yx ja idempotenttilakin x 2 = x (jota Boole kutsui indeksilakiksi). Kun nämä kaksi Gregoryn lakia oli turvattu, Boole uskoi, että hänellä oli oikeus käyttää täysimääräisesti aikaansa tavallista algebraa, ja todellakin nähdään Taylorin sarjat ja Lagrange-kertoimet MAL: ssa. Idempotenttiluokkamerkkien laki, x 2 = x, oli erilainen kuin symbolisen algebran kaksi peruslakia - se koski vain yksittäisiä valittavia symboleja, ei yleensä yhdistettyjä termejä, joita näistä symboleista voitaisiin rakentaa. Esimerkiksi yhdellä ei yleensä ole (x + y)2 = x + y Boole-järjestelmässä, koska tavallisessa algebrassa, jossa on idempotentteja luokan symboleja, tämä tarkoittaisi 2 xy = 0 ja sitten xy = 0, mikä pakottaisi x ja y edustamaan erillisiä luokkia. Mutta ei ole tilannetta, että jokainen luokkapari on irrallaan.

Boole keskittyi aristotelilaiseen logiikkaan MAL: ssa 4 tyyppisellä kategorisella ehdotuksella ja avoimella kokoelmalla hypoteettisia ehdotuksia. Lausekkeen ja tulkinnan luvussa Boole sanoi, että luokka not-X ilmaistaan välttämättä 1 x: llä. Tämä on ensimmäinen vähennyslasku. Sitten hän antoi yhtälöt kategoristen ehdotusten ilmaisemiseksi (ks. Kohta 6.2 alla). Ensimmäinen ilmaistava oli kaikki X on Y, jolle hän käytti xy = x, jonka hän sitten muutti x (1− y) = 0. Tämä oli ensimmäinen 0: n esiintyminen MAL: ssa - sitä ei otettu käyttöön symbolina tyhjälle luokalle. Itse asiassa tyhjä luokka ei ilmestynyt MAL: iin. Ilmeisesti yhtälö E = 0 suoritti predikaatin roolin MAL: ssa, väittäen, että E: n osoittamaa luokkaa ei yksinkertaisesti ollut. (LT: ssä tyhjä luokka merkitään nollalla.) Boole meni yli symbolisen algebran perustan, jota Gregory oli käyttänyt vuonna 1844 - hän lisäsi De Morganin 1841-päättelyn yhden säännön, jonka mukaan vastaaville kohteille suoritetut vastaavat operaatiot tuottavat vastaavat tulokset.

Tuloksia käsittelevässä luvussa, kuten muunnokset rajoituksin, kaikki X on Y, siksi jotkut Y ovat X-booleita, joten Aristotelian luokittelu oli viallinen siinä mielessä, että se ei käsitellyt täydentäviä aineita, kuten not-X, samaan pohjaan kuin nimetty luokat X, Y, Z, jne. Aristotelilaisen logiikan laajennetun version mielessä (antamatta X: lle yhtä suurta laskutusta) hän antoi (s. 30) joukon kolmea muunnossääntöä, jotka sallivat yhden rakentaa kaikki kelvolliset kaksiriviset kategoriset argumentit (edellyttäen, että hyväksyt kirjoittamattoman sopimuksen, että yksinkertaiset nimet, kuten X ja ei-X, merkitsivat tyhjiä luokkia).

Sylogismien suhteen Boole ei välittänyt aristotelilaisen luokittelusta hahmoihin ja mielialoihin, koska ne näyttivät melko mielivaltaisilta ja eivät erityisen sopivia algebralliseen asetukseen. Hänen ensimmäisenä huomautuksena oli, että syllogistinen päättely oli vain eliminointiharjoittelua, nimittäin keskipitkä termi poistettiin päätelmän tekemiseksi. Eliminaatio oli tunnettu tavanomaisessa algebrallisessa yhtälöteoriassa, joten Boole lainasi vain vakiotuloksen käytettäväksi logiikan algebrassa. Jos koulutusohjelman tiloihin kuului luokkia X, Y ja Z ja yksi halusi eliminoida y, niin Boole asetti kahden tilan yhtälöt muotoon:

ay + b = 0

a 'y + b' = 0.

Y: n eliminoinnin tulos tavallisessa algebrassa antoi yhtälön

ab '- a' b = 0,

ja tätä Boole käytti logiikan algebrassaan päätelmäyhtälön saamiseksi. Vaikka johtopäätös on todella oikea, valitettavasti tämä eliminaatiotulos olisi liian heikko hänen logiikan algebralle, jos hän käyttäisi vain ensisijaisia käännöksiä yhtälöiksi. Tapauksissa, joissa molemmat tilat käännettiin yhtälöiksi muodossa ay = 0, eliminointitulos osoittautui 0 = 0, vaikka aristotelilainen logiikka saattaisi vaatia ei-triviaalia johtopäätöstä. Tästä syystä Boole esitteli kategoristen ehdotusten vaihtoehtoiset yhtälölliset käännökset voidakseen johtaa kaikki voimassa olevat aristotelilaiset sylogismit (ks. S. 32). Tällä sopimuksella käytettiin tarvittaessa sekundaarisia käännöksiä ja osoittautui, että ainoat tapaukset, jotka johtivat arvoon 0 = 0, olivat tapaukset, joissa tilat eivät kuulu voimassa olevaan syllogismiin.

Boole korosti, että kun oletus X: stä ja Y: stä käännetään yhtälöksi, joka sisältää x: n, y: n ja v: n, ymmärrettiin, että v: tä oli tarkoitus käyttää ilmaisemaan”jotkut”, mutta vain siinä yhteydessä, jossa se esiintyi premissa. Esimerkiksi”Jotkut X on Y” on ensisijainen käännös v = xy, mikä viittaa sekundaariseen käännökseen vx = vy. Tätä voidaan lukea myös nimellä "Jotkut X on Y". Toinen seuraus v = xy: stä on v (1− x) = v (1− y). Tätä ei kuitenkaan voitu lukea sanoilla”Jotkut ei-X ei ole-Y”, koska v ei esiintynyt johdannossa 1− x. Boolen v: n käyttö lauseiden muuntamisessa yhtälöiksi, samoin kuin sen käyttö yhtälöiden ratkaisemisessa, on ollut pitkään kiistanalainen luu.

Boole analysoi seitsemää hypoteettisen syylologian muotoa, jotka olivat aristotelilaisessa logiikassa, disjunktiivisesta syylologismista kompleksiseen tuhoavaan dilemmaan ja huomautti, että olisi helppo luoda paljon enemmän sellaisia muotoja. MAL: n PostScript-julkaisussa Boole tunnusti, että ehdotuslogiikka käytti kaksiarvoista järjestelmää, mutta hän ei tarjonnut ehdotuslogiikkaa käsittelemään tätä.

Alusta luvusta Valinnaisten funktioiden ominaisuudet, Boole kehitti yleiset lauseet yhtälöiden käsittelemiseksi logiikan algebrassaan - Laajennuslause ja komponenttien ominaisuudet käsitellään tässä luvussa. Tähän saakka hänen ainoana painopisteensä oli osoittaa, että aristotelilaista logiikkaa voidaan käsitellä yksinkertaisilla algebrallisilla menetelmillä, pääasiassa tavallisesta algebrasta lainatun eliminaatiolauseen avulla.

Oli luonnollista, että Boole halusi ratkaista yhtälöt logiikkaalgebrassaan, koska tämä oli ollut tavallisen algebran päätavoite ja johtanut moniin vaikeisiin kysymyksiin (esim. Kuinka ratkaista viidennen asteen yhtälö). Onneksi Boolelle, tilanne hänen logiikan algebrassa oli paljon yksinkertaisempaa - hän pystyi aina ratkaisemaan yhtälön, ja ratkaisun löytäminen oli tärkeää hänen järjestelmänsä sovelluksille, johtopäätösten tekemiseksi logiikassa. Yhtälö ratkaistiin osittain käyttämällä laajennusta jakamisen suorittamisen jälkeen. Tämä ratkaisumenetelmä oli lopputulos, josta hän oli ylpein - se kuvasi kuinka ratkaista valittavan yhtälön yhdelle sen symboleista suhteessa muihin, ja juuri tämän Boole väitti (MAL: n johdanto-kappaleessa) tarjoavat”keinot täydelliseen analyysiin kaikista mahdollisista ehdotussarjoista,…”. LT: ssä Boole piti tätä työkalua edelleen työnsä kohokohtana.

Boolen viimeisessä esimerkissä (s. 78) MAL: ssa käytettiin tunnettua tekniikkaa rajoitusolosuhteiden käsittelemiseksi analyysissä nimeltään Lagrange Multiplers. Tätä menetelmää, kuten hänen Taylor-sarjansa käyttöä, pidettiin ilmeisesti ylenmääräisenä, ellei hieman epäilyttävänä, eikä ilmennyt LT (Taylor-sarja esiintyi LT: n alaviitteessä. -Boole ei ollut luopunut niistä kokonaan).

4. Ajattelun lait (1854)

Boolen toinen logiikkakirja, tutkimus ajattelutavoista, joille perustuvat logiikan ja todennäköisyyden matemaattiset teoriat, julkaistu vuonna 1854, oli pyrkimys oikaista ja täydentää hänen 1847-logiikkakirjaansa. Tämän 424-sivukokoelman toisella puoliskolla esitettiin todennäköisyysteoria erinomaisena aiheena havainnollistaa hänen logiikan algebransa voimaa. Boole keskusteli teoreettisesta mahdollisuudesta käyttää todennäköisyysteoriaa (jota logiikan algebransa avulla parannetaan) paljastaakseen yhteiskuntaa hallitsevat peruslait analysoimalla suuria määriä sosiaalista tietoa.

Boole kertoi käyttävänsä luokkien edustamiseen yksinkertaisia kirjaimia, kuten x, vaikka myöhemmin hän käyttäisi myös isoja kirjaimia, kuten V. Universumi oli luokka; ja siellä oli luokka, jolla kuvataan olevan "ei olentoja", jota kutsumme tyhjiksi luokiksi. Kertolaskun operaation määritettiin olevan leikkauspiste, ja tämä johti hänen ensimmäiseen lakiinsä, xy = yx. Seuraavaksi (joitain sivuja myöhemmin) hän antoi idempotentin lain x 2 = x. Lisäys otettiin käyttöön yhdistelmänä, kun luokat olivat erillään. Hän ilmoitti kommutatiivisen lain lisäykselle, x + y = y + x, ja jakautumislain z (x + y) = zx + zy. Sitten seurasi x - y = - y + x ja z (x - y) = zx - zy.

Voisi odottaa, että Boole rakensi kohti aksomaattista perustaa logiikan algebralle, aivan kuten MAL: issakin, ilmeisesti ymmärtäen, että MAL: n kolme lakia eivät riittäneet. Itse asiassa hän keskusteli päätelmissäännöistä, että yhtälöiden lisääminen tai vähentäminen yhtäläisistä antaa yhtä suuret, ja kun kerrotaan yhtä suuret yhtäläisillä, saadaan yhtä suuret. Mutta sitten aksioomaattisen lähestymistavan kehitys pysähtyi äkillisesti. Ei ollut keskustelua siitä, riittävätkö nämä aksioomat ja säännöt hänen logiikan algebransa rakentamiseksi. Sen sijaan hän yksinkertaisesti ja lyhyesti, huomattavan pienellä fanfaarilla, esitti radikaalisti uuden perustan logiikan algebralle.

Hän sanoi, että koska ainoat idempotentit luvut olivat 0 ja 1, tämä ehdotti, että oikea logiikkaan käytettävä algebra olisi tavallisten numeroiden yhteinen algebra, jota olisi muutettu rajoittamalla symbolit arvoihin 0 ja 1. Hän kertoi mitä tässä artikkeli, nimeltään sääntö 0 ja 1, että logiikassa pidetty laki tai argumentti, kun se on käännetty yhtälömuotoon, pidettiin yhteisessä algebrassa tällä symbolien mahdollisten tulkintojen (ts. arvojen) 0,1-rajoituksella. Boole käyttäisi tätä sääntöä perustellakseen päälauseitaan (laajennus, vähennys, eliminointi) eikä mihinkään muuhun tarkoitukseen. Päälauseet puolestaan tuottivat Boolen yleisen menetelmän ehdotustilanteiden seurausten analysoimiseksi.

Luvussa V hän keskusteli tulkitsemattomien roolista työssään; (osittaisena) perusteena selittämättömien vaiheiden käytölle symbolisessa algebrassa hän viittasi tunnetun √ − 1: n käyttöön. Seuraavissa luvuissa hän antoi laajennuslauseen, uuden täyden lujuuden eliminaatiolauseen, pelkistyslauseen ja jaon käytön yhtälön ratkaisemiseksi.

Monien esimerkkien ja tulosten jälkeen yhtälöiden ratkaisemista koskevissa erityistapauksissa Boole siirtyi aiheeseen loogisen funktion tulkittavuudesta. Boole oli jo todennut, että jokainen yhtälö on tulkittavissa (muuntamalla se osayhtälöiden kokoelmaksi). Termien ei kuitenkaan tarvitse olla tulkittavissa, esimerkiksi 1 + 1 ei ole tulkittavissa.

Boolen toissijaisia ehdotuksia koskeva luku oli pääosin sama kuin MAL: ssa, paitsi että hän muutti käytöstä "tapaukset, joissa X on totta", "aikoihin, jolloin X on totta". Luku XIII Boole valitsi Clarken ja Spinozan tunnetut väitteet iankaikkisen olennon luonteesta laittaa hänen logiikan algebransa suurennuslasin alle kommentista alkaen:

2. Tämän tutkimuksen tärkein käytännön vaikeus ei ole menetelmän soveltaminen kerran määritettyihin tiloihin, vaan sen selvittäminen, mitkä tilat ovat.

Yksi päätelmä oli:

19. Mielestäni ei ole mahdollista nousta Clarken ja Spinozan väitteiden tarkastelusta ilman syvää vakuutusta kaikkien pyrkimysten turhiin todistuksiin, joiden tarkoituksena on täysin a priori osoittaa äärettömän olennon olemassaolo, Hänen ominaisuudet ja Hänen suhde maailmankaikkeuteen.

Logiikan viimeisessä luvussa, luvussa XV, Boole esitti analyysinsä aristotelilaisen logiikan muunnoksista ja syllogismista. Hän piti tätä muinaista logiikkaa heikkona, hajanaisena yrityksenä loogiseen järjestelmään. Tämä paljon laiminlyöty luku on varsin mielenkiintoinen, koska se on ainoa luku, jossa hän analysoi tiettyjä ehdotuksia hyödyntäen olennaisesti ylimääräisiä kirjaimia, kuten “v” koodaamaan “jotkut”. Tämä on myös luku, jossa hän yksityiskohtaisesti (valitettavasti epätäydellisesti) "joidenkin" kanssa työskentelemistä koskevat säännöt.

Lyhyesti sanottuna, Boole antoi lukijalle yhteenvedon perinteisestä aristotelilaisesta kategorisesta logiikasta ja analysoi joitain yksinkertaisia esimerkkejä käyttämällä ad hoc -tekniikoita logiikan algebransa kanssa. Sitten hän aloitti todistaakseen kattavan tuloksen soveltamalla yleistä menetelmää yhtälöpariin:

vx = v 'y

w z = w' y,

panee merkille, että monien kategoristen syylologioiden lähtökohdat voidaan laittaa tähän muotoon. Hänen tavoitteenaan oli poistaa y ja löytää lausekkeet x: lle, x: lle ja vx: lle z: n, v: n, w: n, w ': n muodossa. Tämä johti kolmeen yhtälöön, joihin sisältyy suuria algebrallisia lausekkeita. Boole jätti melkein kaikki yksityiskohdat johdannaisestaan, mutta teki tulokset tiivistelmänä aristotelilaisen logiikan vakiintuneiden tulosten perusteella. Sitten hän totesi, että jäljellä olevat kategoriset sylogismit ovat sellaisia, että heidän tilansa voidaan laittaa muotoon:

vx = v 'y

wz = w '(1− y),

ja tämä johti toiseen kolminkertaiseen suureen yhtälöön.

5. Myöhemmät kehitykset

5.1 Vastalauseet Boolen logiikan algebralle

Boole-järjestelmää vastaan on julkaistu monia vastalauseita vuosien varrella; kolme tärkeimmistä huolenaiheista:

  • tulkitsemattomien vaiheiden käyttö johdannaisissa,
  • - tiettyjen ehdotusten käsittely yhtälöillä, ja -
  • menetelmä jakautumisen käsittelemiseksi.

Tarkastelemme toista väitettä, nimittäin Boole / Jevons -riitaa X + X = X: n lisäämisestä lakiin. Ajattelussa Laws of p. 66, Boole sanoi:

Lauseke x + y vaikuttaa todella tulkitsemattomalta, ellei oletettaisi, että asiat, joita x edustaa, ja asiat, joita y edustavat, ovat täysin erillisiä; että he eivät omaa ketään yhteistä henkilöä.

[Seuraavat yksityiskohdat ovat julkaisusta “Matemaattisen logiikan teorioiden ja matematiikan periaatteiden kehittäminen, William Stanley Jevons”, kirjoittanut Philip Jourdain, 1914.]

Jevons kertoi vuonna 1863 Boolelle lähetetyssä kirjeessä ehdotuksesta kommentoitavaksi Boolen järjestelmää, jota Jevons harkitsi tulevaa kirjaansa varten (Pure Logic, 1864), Jevons sanoi:

On kuitenkin selvää, että x + x vastaa vain x: tä,…

Professori Boolen merkintä [vähennysprosessi] on ristiriidassa itsestään selvän lain kanssa.

Jos näkemykseni on oikein, hänen järjestelmäänsä pidetään merkittävimpänä totuuden ja virheen yhdistelmänä.

Boole vastasi:

Siten yhtälö x + x = 0 vastaa yhtälöä x = 0; mutta lauseke x + x ei vastaa lauseketta x.

Jevons vastasi kysymällä, voisiko Boole kiistää x + x = x: n totuuden.

Boole, selvästi innostunut, vastaa:

Selventääkseni vastaan nyt kuitenkin, ettei ole totta, että logiikassa x + x = x, vaikka on totta, että x + x = 0 vastaa x = 0. Jos en kirjoita enemmän, se ei ole kaikesta haluttomuudesta keskustella aiheesta kanssasi, mutta yksinkertaisesti siksi, että jos olemme eri mieltä tästä perustavaa laatua olevasta kohdasta, on mahdotonta, että meidän tulisi sopia muista.

Jevonsin viimeinen pyrkimys saada Boole ymmärtämään asiaa oli:

En epäile, että sinulla on avoin pitää… [että x + x = x ei ole totta] järjestelmäsi lakien mukaan, ja tällä selityksellä järjestelmäsi todennäköisesti on täysin yhdenmukainen itsensä kanssa … Mutta sitten kysymys muuttuu laajempi - vastaako järjestelmäsi yhteisen ajattelun logiikkaa?

Jevonsin uusi laki, X + X = X, johtui hänen vakaumuksestaan, jonka mukaan "+": n pitäisi tarkoittaa sitä, mitä me nyt kutsumme liittoksi, jossa X + Y: n jäsenyyden antaa osallistava "tai". Boole ei yksinkertaisesti nähnyt mitään tapaa määritellä X + Y luokana, elleivät X ja Y olleet erillisiä, kuten jo todettiin.

Erilaisia selityksiä on annettu sille, miksi Boole ei voinut ymmärtää Jevonsin ehdotuksen mahdollisuutta. Boolella oli selvästi semanttinen käsitys liitosta - hän ilmaisi X: n ja Y: n yhdistyksen muodossa x + (y - x), kahden disjounssin luokan yhdistyksenä, ja huomautti, että tämän luokan elementit ovat ne, jotka kuuluvat joko X tai Y tai molemmat. Joten kuinka hän voisi niin täysin jättää huomaamatta mahdollisuuden ryhtyä perustavanlaatuiseen operaatioonsa + uteliaan osittaisen liitto-operaation sijaan?

Vastaus on yksinkertainen: laki x + x = x olisi tuhonnut hänen kykynsä käyttää tavallista algebraa: x + x = x: sta yksi on tavallisella algebralla x = 0. Tämä pakottaisi jokaisen luokan symbolin merkitsemään tyhjää luokkaa.. Jevonsin ehdottama laki x + x = x ei yksinkertaisesti ollut totta, jos joku sitoutui tekemään tavallisesta algebrasta funktion logiikan algebrana.

5.2. Boole-järjestelmän nykyaikainen jälleenrakentaminen

Kun otetaan huomioon nykyajan algebrassa 1900-luvulla saavutettu valtava hienostuneisuus, on melko yllättävää, että Boolen luokkien osittaisen algebralain lainpitävä kokonaisalgebralaajennus ilmestyi vasta Theodore Hailperinin kirjaan vuonna 1976 - lukijat todennäköisesti aiheuttivat viivästymisen. uskomatta, että Boole käytti tavallista algebraa. Hailperinin jatkeena oli tarkastella maailmankaikkeuden merkintöjä kokonaisluvuilla, toisin sanoen jokainen maailmankaikkeuden alkio on merkitty kokonaisluvulla. Jokainen maailmankaikkeuden merkintä luo monisarjan (pitäisi sanoa, että pitäisi sanoa moniluokka), joka koostuu niistä merkityistä elementeistä, joissa etiketti ei ole nolla. Voidaan ajatella elementin etikettiä kuvaamaan kuinka monta kappaleen elementtiä on monisarjassa. Boole's-luokat vastaavat joukkojoukkoja, joissa kaikki tarrat ovat 1 (elementeillä, jotka eivät kuulu luokkaan, on tarra 0). Boolen tulkitsemattomat elementit tulevat tulkittaviksi, kun niitä tarkastellaan monisarjoina - ne annetaan maailmankaikkeuden merkinnöissä, joissa jotkut merkinnät eivät ole 0 tai 1.

Kaksi monisarjaa lisäämällä yksi yksinkertaisesti lisää tarrat jokaiseen maailmankaikkeuden elementtiin. Samoin vähennys ja kertolasku. (Lukijalle, joka tuntee modernin abstraktin algebran, voidaan katsoa, että Boolen osittaisen algebran laajennus on Z U, jossa Z on kokonaislukujen rengas ja U on diskurssin universumi.) Luokkia vastaavat monijoukot ovat juuri idempotentti monisarja. Osoittautuu, että lait ja periaatteet, joita Boole käytti tämän järjestelmän logiikan algebrassa. Tällä tavoin Boole-menetelmät ovat osoittautuneet oikeiksi universaalien ehdotusten logiikan algebralle. Hailperinin analyysi ei koskenut tiettyjä ehdotuksia.

Boole ei löytänyt käännöstä, joka toimisi yhtä puhtaasti tietyissä ehdotuksissa kuin yleismaailmallisissa ehdotuksissa. Vuonna 1847 Boole käytti seuraavia kahta käännöstä, toinen oli seuraus ensimmäisestä:

Jotkut X: stä ovat Y: tä … v = xy ja vx = vy.

Alun perin hän käytti tunnusta v vangitakseen "joidenkin" ydin. Myöhemmin hän käytti myös muita symboleja ja myös v: tä muilla merkityksillä (kuten laajennuksen kertoimille). Yksi hänen käännösjärjestelmänsä ongelmista v: n kanssa oli se, että toisinaan tarvittiin”marginaalilistat” seurataksesi mihin luokkaan (luokkiin) v kiinnitettiin, kun se otettiin käyttöön. Säännöksiä kääntämiseksi yhtälöistä v: n kanssa takaisin tiettyihin lauseisiin ei koskaan muotoiltu selvästi. Esimerkiksi luvussa XV nähdään johdannainen x = vv 'y, joka sitten käännetään nimellä Jotkut X on Y. Mutta hänellä ei ollut sääntöjä siitä, milloin v: n tuotteella tuodaan "joitain". Tällaiset ongelmat heikentävät Boole-järjestelmää; hänen selityksensä jättävät epäilyksiä siitä, mitkä menettelyt ovat laillisia hänen järjestelmässään käsitellessään tiettyjä lausuntoja.

On yksi asia, josta edes Hailperin ei ollut uskollinen Boolen työhön, nimittäin hän käytti modernia semantiikkaa, jossa yksinkertaiset symbolit x, y jne. Voivat viitata tyhjään luokkaan sekä ei-tyhjään luokkaan. Nykyaikaisella semantiikalla ei voi olla aristotelilaiseen logiikkaan perustuvaa muuntamista rajoituksin: Kaikesta X on Y seuraa Jotkut Y on X. Vuoden 1847 muodollisessa logiikassaan De Morgan huomautti, että kaikki logiikan kirjoittajat olettivat, että kategorisessa ehdotuksessa tarkoitetut luokat olivat tyhjiä. Tätä luokkasymbolien rajoittamista ei-tyhjiin luokkiin ja kaksisuuntaisesti ei-universumin luokkiin kutsutaan aristotelilaiseksi semantiikkaksi. Boole oli ilmeisesti noudattanut tätä aristotelilaista yleissopimusta, koska hän johdetti kaikki aristotelilaisten tulokset, kuten muunto rajoittamalla. Oikea tulkinta (uskollinen Boolelle)Boole-järjestelmän työ) vaatii aristotelilaisen semantiikan luokan symboleille x, y, z,…; valitettavasti näyttää siltä, että julkaistu kirjallisuus Boole-järjestelmästä ei ole kyennyt huomioimaan tätä.

6. Boolen menetelmät

Lukiessaan tätä osaa Boolen menetelmien teknisistä yksityiskohdista, lukijalle saattaa olla hyödyllistä kuulla

täydennys esimerkkejä Boolen kahdesta kirjasta.

Näitä esimerkkejä on täydennetty kommenteilla, joissa selitetään jokaisessa Boole-johtopäätöksen vaiheessa, mitä puolta hänen menetelmissä käytetään.

6.1 Boolen LT: n käyttämät kolme argumenttianalyysimenetelmää

Boole käytti kolmea tapaa analysoida argumentteja LT: ssä:

(1) Ensimmäinen oli puhdasta tapauskohtaisia algebrallisia manipulaatioita, joita käytettiin (yhdessä heikko version eliminaatiolauseen kanssa) Aristotelian argumentteihin MAL: ssa.

(2) Toiseksi, LT: n II luvun 15 jaksosta löytyy menetelmä, jota tässä artikkelissa kutsutaan sääntöksi 0 ja 1.

LT: n lauseet yhdistävät päätuloksen, (3) Boolen yleinen menetelmä (tässä artikkelissa siihen viitataan aina isoilla isoilla kirjaimilla - Boole kutsui sitä vain menetelmäksi).

Ad hoc -menetelmää soveltaessaan hän käytti yhtälöiden käsittelemiseen osia tavallisesta algebrasta sekä idempotenttilakia x 2 = x. Ei ollut ennalta vahvistettua menettelytapaa menestyksen seuraamiseksi tällä menetelmällä, joka riippui kokemuksen kautta kehitetyistä intuitiivisista taidoista.

Toinen menetelmä, sääntö 0 ja 1, on erittäin tehokas, mutta se riippuu siitä, annetaanko lähtökohtumayhtälöt ja päätelmäyhtälö. Se on totuustaulukkomainen menetelmä (mutta Boole ei koskaan piirtänyt taulukkoa menetelmää sovellettaessa) määrittääkseen argumentin oikein. Boole käytti tätä menetelmää vain niiden lauseiden laatimiseen, jotka perustivat hänen yleisen menetelmänsä, vaikka se onkin erinomainen työkalu yksinkertaisiin argumentteihin, kuten syllogismiin. Sääntö 0 ja 1 on LT: n varjoinen luku - siinä ei ole nimeä, eikä siihen viitata koskaan osion tai sivunumerolla.

Kolmas menetelmä argumenttien analysoimiseksi oli Boolen logiikan työn kohokohta, hänen yleinen menetelmä (keskusteltiin heti tämän jälkeen). Tätä hän käytti kaikissa paitsi yksinkertaisimmissa esimerkissä LT: ssä; yksinkertaisimpien esimerkkien kohdalla hän turvautui ensimmäiseen tapauskohtaisten algebrallisten tekniikoiden menetelmään, koska algebrallisissa manipulaatioissa perehtyneelle henkilöiden käyttäminen on yleensä paljon tehokkaampaa kuin yleisen menetelmän käyminen.

Hänen argumenttien analysointimenetelmänsä lopullinen versio (LT: stä) sanotaan lyhyesti:

(1) muuntaa (tai kääntää) lauseet yhtälöiksi, (2) soveltaa määriteltyä algebrallisten prosessien sekvenssejä yhtälöihin, prosesseihin, jotka tuottavat halutut päätelmäyhtälöt, ja sitten

(3) muuntaa yhtälölliset päätelmät ehdotuksellisiksi päätelmiksi, jolloin saadaan alkuperäisen ehdotusten kokoelman toivotut seuraukset.

Tällä menetelmällä Boole oli korvannut päättelytaiteen lähtökohtaisista ehdotuksista päätelmäehdotuksiin rutiinilla mekaanisella algebrallisella menettelyllä.

LT: ssä Boole jakoi ehdotukset kahteen tyyppiin, ensisijaiseen ja toissijaiseen. Ne vastaavat, mutta eivät ole täysin samoja, kuin aristotelilainen jako kategorisiin ja hypoteettisiin ehdotuksiin. Ensin keskustellaan hänen perusmenetelmiin sovellettavasta yleisestä menetelmästään.

6.2. Boolen yleinen menetelmä primaariehdotuksille

Boole tunnisti kolme ensisijaisen ehdotuksen muotoa:

  • Kaikki X on Y
  • Kaikki X on kaikki Y
  • Jotkut X on Y

Nämä olivat hänen versionsa Aristotelian kategorisista ehdotuksista, joissa X on aihe ja Y predikaatin. Termit X ja Y voi olla monimutkainen nimiä, esimerkiksi, X voi olla X 1 tai X 2.

VAIHE 1: Nimet muunnetaan algebralla tavalla seuraavasti:

ehdot MAL LT
maailmankaikkeus 1 s. 15 1 s. 48
tyhjä luokka 0 s. 47
ei X 1 - x s. 20 1 - x s. 48
X ja Y xy s. 16 xy s. 28
X tai Y (mukaan lukien)
x + y (1 - x)
xy + x (1 - y) + y (1− x)
s. 56
X tai Y (yksinoikeudella) x (1 - y) + y (1 - x) s. 56

Me kutsumme kirjaimia x, y,… luokan symboleiksi (kuten aiemmin todettiin, 1800-luvun algebra ei käyttänyt sanamuuttujia).

VAIHE 2: Kun muunnettu termien nimet algebrallisiksi termeiksi, käännetään sitten ehdotukset yhtälöiksi käyttämällä seuraavaa:

Ensisijaiset ehdotukset MAL (1847) LT (1854)
Kaikki X on Y x (1− y) = 0 s. 26 x = vy s. 64, 152
Ei X ole Y xy = 0 (ei ensisijainen)
Kaikki X on kaikki Y (ei ensisijainen) x = y
Jotkut X on Y v = xy vx = vy
Jotkut X eivät ole Y v = x (1− y) (ei ensisijainen)

Boole käytti neljää kategorista väitettä ensisijaisina muodoissaan vuonna 1847, mutta vuonna 1854 hän poisti kielteiset ehdotusmuodot huomauttaen, että "ei Y" voi muuttua "ei-Y". Niinpä vuonna 1854 hän ilmaisi käännöksen "Ei X ole Y" sanoilla "Kaikki X ei ole Y"

x (1 - (1 - y)) = 0,

joka yksinkertaistuu arvoksi xy = 0.

VAIHE 3: Kun tila on muunnettu algebraksi muotoon, sanotaan esimerkiksi kokoelma yhtälöitä

p 1 = q 1, p 2 = q 2, …, p n = q n.

Ilmoita nämä yhtälöinä 0: lla oikealla puolella, toisin sanoen

r 1 = 0, r 2 = 0, …, r n = 0,

kanssa

r 1: = p 1 - q 1, r 2: = p 2 - q 2, …, r n: = p n - q n.

VAIHE 4: (PENNYS) [LT (s. 121)]

Vähennä yhtälöjärjestelmää

r 1 = 0, r 2 = 0, …, r n = 0,

yhdeksi yhtälöksi r = 0. Boolella oli kolme eri tapaa tehdä tämä - hän näytti pitävän parempana neliöiden summaamisessa:

r: = r 1 2 + · · · + r n 2 = 0.

Vaiheet 1-4 ovat pakollisia Boolen yleisessä menetelmässä. Näiden vaiheiden suorittamisen jälkeen on olemassa useita vaihtoehtoja jatkamiseen tavoitteesta riippuen.

VAIHE 5: (POISTAMINEN) [LT (s. 101)]

Oletetaan, että halutaan yleisin yhtälöpäätelmä, joka on johdettu r = 0: sta, joka sisältää joitain muttei kaikkia luokan symboleja r: ssä. Sitten halutaan poistaa tietyt symbolit. Oletetaan, että r sisältää luokan symbolit

x 1,…, x j ja y 1,…, y k.

Sitten voidaan kirjoittaa r nimellä r (x 1,…, x j, y 1,…, y k).

Boolen menettely symbolien x 1,…, x j poistamiseksi

r (x 1,…, x j, y 1,…, y k) = 0

saada haltuunsa

s (y 1,…, y k) = 0

oli seuraava:

1. muodostavat kaikki mahdolliset lausekkeet r (a 1,…, a j, y 1,…, y k), joissa a 1,…, a j ovat joko 0 tai 1, sitten

2. kerrotaan kaikki nämä lausekkeet yhteen saadaksesi s (y 1,…, y k).

Esimerkiksi, poistamalla x 1, x 2 päässä

r (x 1, x 2, y) = 0

antaa

s (y) = 0

missä

s (y): = r (0, 0, y) · r (0, 1, y) · r (1, 0, y) · r (1, 1, y).

VAIHE 6: (KEHITTÄMINEN tai LAAJENTAMINEN) [MAL (s. 60), LT (s. 72, 73)]

Kun annetaan termi, sanotaan r (x 1,…, x j, y 1,…, y k), termiä voidaan laajentaa suhteessa luokan symbolien alajoukkoon. Laajentua suhteessa x 1,…, x j antaa

r = ehtojen summa

r (a 1,…, a j, y 1,…, y k) · C (a 1, x 1) · · · C (a j, x j),

missä 1,…, j on kaikissa 0: n ja 1: n sekvensseissä, joiden pituus on j, ja missä C (a i, x i) määritetään:

C (1, x i): = x i ja C (0, x i): = 1− x i.

Boole sanoi tuotteet:

C (a 1, x 1) · · · C (a j, x j)

olivat osan x 1,…, x j komponentit. J-symboleille on 2 j erilaista komponenttia. Venn-kaavion alueet antavat suositun tavan visualisoida ainesosat.

VAIHE 7: (JAKELU: LUOKASYMBOLIN RATKAISEMINEN) [MAL (s. 73), LT (s. 86, 87)]

Oletetaan, että yhtälö r = 0, oletetaan, että halutaan ratkaista tämä yhtälö yhdelle luokan symbolista, sanotaan x, muiden luokasymbolien suhteen, sanoen, että ne ovat y 1,…, y k. Ratkaista:

r (x, y 1,…, y k) = 0

x: lle, anna ensin:

N (y 1,…, y k) = - r (0, y 1,…, y k)

D (y 1,…, y k) = r (1, y 1,…, y k) - r (0, y 1,…, y k).

Sitten:

x = s (y 1,…, y k)

missä s (y 1,…, y k) on:

(1) kaikkien ainesosien summa

C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k),

missä 1,…, k- alue vaihtelee kaikissa 0: n ja 1: n sekvensseissä, joille:

N (a 1,…, a k) = D (a 1,…, a k) ≠ 0,

plus

(2) lomakkeen kaikkien ehtojen summa

V a 1 … a k · C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k)

mille:

N (a 1,…, a k) = D (a 1,…, a k) = 0.

V a 1 … a k ovat parametreja, jotka kuvaavat mielivaltaisia luokkia (samanlainen kuin mitä nähdään lineaaristen differentiaaliyhtälöiden tutkinnassa, aiheessa, jossa Boole oli asiantuntija).

Tähän x-yhtälöön vierekkäin sivuehtoja (joita kutsutaan komponenttiyhtälöiksi)

C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k) = 0

milloin tahansa

D (a 1,…, a k) ≠ N (a 1,…, a k) ≠ 0.

Huomaa, että ehtoja on arvioitava:

D (a 1,…, k) ja N (a 1,…, k)

käyttäen tavallista aritmeettista. Siten yhtälön r = 0 ratkaiseminen luokan symbolille x antaa yhtälön

x = s (y 1,…, y k),

kenties sivu-olosuhteiden yhtälöillä.

VAIHE 8: (TULKINTA) [MAL s. 64–65, LT (luku VI, esp. S. 82–83)]

Oletetaan, että yhtälö r (y 1,…, y k) = 0 on saatu Boole-menetelmällä tietystä lähtökohtaisten yhtälöiden kokoelmasta. Sitten tämä yhtälö vastaa osayhtälöiden kokoelmaa

C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k) = 0

jolle r (a 1,…, a k) ei ole 0. Osayhtälö vain väittää, että alkuperäinen luokkien ja niiden komplementtien tietty leikkauskohta on tyhjä. Esimerkiksi,

y 1 (1 - y 2) (1 - y 3) = 0

ilmaisee ehdotus”Kaikki Y 1 on Y 2 tai Y 3” tai vastaavasti”Kaikki Y 1 ja ei Y 2 on Y 3”. Aineellisten yhtälöiden muuttaminen lauseiksi on rutiini.

6.3. Boolen yleinen menetelmä toissijaisille ehdotuksille

Toissijaiset ehdotukset olivat Boolen versiota väitteistä, joita kohtataan tutkittaessa aristotelilaisen logiikan hypoteettista syllogismia, lauseita, kuten”Jos X tai Y, niin Z”. Toissijaisten ehdotusten symbolit X, Y, Z jne. Eivät viitanneet luokkiin, vaan pikemminkin viittasivat (primaarisiin) ehdotuksiin. Hypoteettisten ehdotusten aristotelilaisen käsittelyn epätäydellisyyden mukaisesti Boole ei antanut tarkkaa kuvaa mahdollisista muodoista toissijaisille ehdotuksilleen.

Tärkein (mutta ei alkuperäinen) havainto, jota Boole käytti, oli yksinkertaisesti se, että voidaan muuntaa toissijaiset ehdotukset ensisijaisiksi ehdotuksiksi. MAL: ssa hän hyväksyi Whatelyn (1826) löytämän yleissopimuksen, joka antoi ehdotussymbolin X, symboli x tarkoittaa”tapauksia, joissa X on totta”, kun taas LT Boolessa x merkitsee”aikoja, joina X on totta”. Tämän avulla toissijaisesta ehdotuksesta "Jos X tai Y, niin Z" tulee yksinkertaisesti "Kaikki x tai y on z". Yhtälö x = 1 on yhtälön käännös sanalle “X on totta” (kaikissa tapauksissa tai aina), ja x = 0 sanoo “X on väärä” (kaikissa tapauksissa tai aina).

Tämän käännösmallin avulla on selvää, että Boolen toissijaisten ehdotusten käsittelyä voidaan analysoida hänen kehittämiensä menetelmien avulla primaariehdotuksia varten. Tämä oli Boolin ehdotuslogiikka.

Boole työskenteli vain aristotelilaisten ehdotusten kanssa MAL: ssa, käyttämällä perinteistä jakoa kategorioihin ja hypoteettisiin. "X ja Y", "X tai Y" jne. Ei oteta huomioon kategoriaväitteissä, vain hypoteettisissa ehdotuksissa. LT: ssä tämä jako korvattiin samanlaisella, mutta yleisemmällä primaarilla vs. sekundaarisella luokittelulla, jossa subjektin ja predikaatin annettiin tulla monimutkaisiksi nimiksi ja argumentin väitteiden lukumääräksi tuli rajoittamaton. Tämän myötä rinnakkaiset primaariehdotusten logiikan ja toissijaisten ehdotusten logiikan välillä selvisivät yhdellä huomattavalla erolla, nimittäin näyttää siltä, että toissijaiset ehdotukset aina kääntyvät universaaleiksi primaariehdotuksiksi.

Toissijaiset ehdotukset MAL (1847) LT (1854)
X on totta x = 1 s. 51 x = 1 s. 172
X on väärä x = 0 " x = 1 "
X ja Y xy = 1 " xy = 1 "
X tai Y (mukaan lukien) x + y - xy = 1 s. 52
X tai Y (yksinoikeudella) x −2 xy + y = 1 s. 53 x (1 - y) + y (1 - x) = 1 s. 173
Jos X, niin Y x (1− y) = 0 s. 54 x = vy s. 173

bibliografia

  • Boole, G, 1841,”Tutkimukset analyyttisten muutosten teoriasta erityissovelluksella toisen asteen yleisen yhtälön pienentämiseen”, The Cambridge Mathematical Journal, 2: 64–73.
  • –––, 1841,”Tietyistä lauseista variaatioiden laskennassa”, The Cambridge Mathematical Journal, 2: 97–102.
  • –––, 1841,”Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden integroinnista vakiokertoimiin”, Cambridge Mathematical Journal, 2: 114–119.
  • ––– 1847, Matemaattinen logiikan analyysi, esseenä kohti deduktiivisen päättelyn laskentaa. Alun perin Cambridgessa julkaissut Macmillan, Barclay ja Macmillan. Basil Blackwell, 1951, uusintapainos Oxfordissa.
  • –––, 1848,”Logic Calculus of Logic”, The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 3: 183–198.
  • –––, 1854, tutkimus ajattelutavoista, joiden perustana on logiikan ja todennäköisyyden matemaattiset teoriat, alun perin julkaissut Macmillan, Lontoo. Uusintapainos Dover, 1958.
  • –––, 1859, tutkielma differentiaaliyhtälöistä, Cambridge: Macmillan.
  • –––, 1860, Tutkimus äärellisten erojen laskemisesta, Cambridge: Macmillan.
  • De Morgan, A., 1839,”Algebran perustalla”, Cambridge Philosophical Society, VII, 174–187.
  • –––, 1841,”Algebran perustana, nro II”, Cambridge Philosophical Society VII: n tapahtumat, 287–300.
  • –––, 1847, muodollinen logiikka: tai päätelmien, tarvittavien ja todennäköisten laskelmien, julkaistu alun perin Lontoossa Taylorin ja Waltonin toimesta. The Open Court Company, 1926, uusintapainos Lontoossa.
  • –––, 1966, Syllogismista ja muista loogisista kirjoituksista, P. Heath (toim.), New Haven: Yale University Press. (Jälkipoikainen kokoelma De Morganin logiikan papereita.)
  • Ewald, W. (toim.), 1996, Kantista Hilbertiin. Lähdekirja matematiikan historiasta, 2 Vols, Oxford: Oxford University Press.
  • Grattan-Guiness, I., 2001, The Search for Mathematical Roots, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Gregory, DF 1839,”Erolaskennan ja äärellisten erojen laskennan esittelyt”, The Cambridge Mathematical Journal, voi. I, 212–222.
  • –– 1839, “I. - Algebralisten symbolien soveltamisen geometriaan perusperiaatteista”, The Cambridge Mathematical Journal, voi. II, nro VII, 1-9.
  • –––, 1840,”Symbolisen algebran todellisesta luonteesta.” Edinburghin kuninkaallisen yhdistyksen kaupat, 14: 208–216. Myös [Gregory 1865, s. 1–13].
  • –––, 1865, Duncan Farquharson Gregoryn matemaattiset kirjoitukset, MA, W. Walton (toim.), Cambridge, UK: Deighton, Bell.
  • Hailperin, T., 1976, Boole's Logic and Probability, (Sarja: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 85), Amsterdam, New York, Oxford: Elsevier North-Holland. 2. painos, tarkistettu ja laajennettu, 1986.
  • –––, 1981,”Boolen algebra ei ole Boolen algebra”, Mathematics Magazine, 54: 172–184.
  • Jevons, WS, 1864, puhdas logiikka tai laadun logiikka lukuun ottamatta määrää: Huomautuksia Boole-järjestelmästä ja logiikan ja matematiikan suhteesta, Lontoo: Edward Stanford. Uusintapainos 1971 teoksessa Pure Logic and Other Minor Works, R. Adamson ja HA Jevons (toim.), New York: Lennox Hill Pub. & Dist. Co.
  • Jourdain, PEB, 1914,”Matemaattisen logiikan teorioiden ja matematiikan periaatteiden kehittäminen. William Stanley Jevons”, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 44: 113–128.
  • Lacroix, SF, 1797/1798, Traité du calcul différentiel et du calcul integraal, Pariisi: Chez Courcier.
  • Lagrange, JL, 1797, Théorie des fonctions analytique, Pariisi: Yhteenveto.
  • –––, 1788, Méchanique Analytique, Pariisi: Desaint.
  • MacHale, D., 1985, George Boole, Hänen elämästään ja työstään, Dublin: Boole Press.
  • Peacock, G., 1830, traktaatti Algebralla, 2. painos, 2 osaa, Cambridge: J. & J. J. Deighton, 1842/1845.
  • –––, 1833,”Raportti tiettyjen analyysialojen viimeaikaisesta edistymisestä ja nykytilasta”, Cambridgessa 1833 pidetyn Britannian tieteen edistämisen yhdistyksen kolmannen kokouksen raportti, s. 185–352. Lontoo: John Murray.
  • Schröder, E., 1890–1910, Algebra der Logik, Vols. I – III. Leipzig, BG Teubner; uusintapainos Chelsea 1966.

Muut Internet-resurssit

  • George Boole, MacTutorin matematiikan historia-arkisto
  • Augustus De Morgan, Duncan Farquharson Gregory, William Jevons, George Peacock, Ernst Schröder, MacTutorin matematiikan historia -arkisto
  • Algebrallinen logiikkaryhmä, Alfred Reyni Matematiikan instituutti, Unkarin tiedeakatemia

Suositeltava: