Raja

Sisällysluettelo:

Raja
Raja

Video: Raja

Video: Raja
Video: RAJA - Halemba Lilumba (2020) 2024, Maaliskuu
Anonim

Tämä tiedosto on Stanfordin filosofian tietosanakirjan arkistossa.

raja

Ensimmäinen julkaisu 9. helmikuuta 2004; sisältömuutos la 29. maaliskuuta 2008

Ajattelemme rajaa aina, kun ajattelemme ympäristöstä rajattua kokonaisuutta. Pallon sisäpuolta ympäröivää rajaa (pintaa) on rajoitettu; Maryland ja Pennsylvania erottavat rajan (raja). Joskus rajan tarkka sijainti on epäselvä tai muuten kiistanalainen (kuten kun yrität jäljittää Mount Everestin reunat tai jopa oman kehosi rajan). Joskus raja on vinossa mitä tahansa fyysistä epäjatkuvuutta tai laadullista erottelua kohden (kuten Wyomingin rajan kanssa tai homogeenisen pallon ylä- ja alapuoliskojen väliseen rajaan). Mutta onko terävää tai epäselvää, luonnollista tai keinotekoista, jokaiselle esineelle näyttää olevan raja, joka erottaa sen muusta maailmasta. Myös tapahtumilla on rajat - ainakin ajalliset rajat. Syntymämme ja kuolemamme rajoittavat elämämme; jalkapallopeli alkoi kello 15.00 terävältä ja päättyi erotuomarin lopulliseen pilliin klo 16.45. Ja toisinaan ehdotetaan, että abstrakteilla kokonaisuuksilla, kuten käsitteillä tai ryhmillä, on omat rajansa. Onko kaikki tämä rajapuhe kuitenkin yhtenäinen ja heijastaako se maailman rakennetta vai älymme järjestävää toimintaa, syvälle filosofiselle kiistalle.ovat syvän filosofisen kiistelmän aiheita.ovat syvän filosofisen kiistelmän aiheita.

  • 1. Aiheet

    • 1.1 Omistus vs. tuntemattomat rajat
    • 1.2 Luonnolliset vs. keinotekoiset rajat
    • 1.3 Terävät vs. epämääräiset rajat
    • 1.4 Bodiless vs. tilaa vievät rajat
  • 2. Teoriat

    • 2.1 Realistiset teoriat
    • 2.2 Eliminativistiset teoriat
  • Liite: Kukkakimppu tarjouksia
  • bibliografia
  • Muut Internet-resurssit
  • Aiheeseen liittyvät merkinnät

1. Aiheet

Euclid määritteli rajan "rajaksi, joka on minkä tahansa ääriosa" (Elementit Bk I, Df 13), ja Aristoteles tarkensi tätä tarkemmin määrittelemällä kappaleen x raajan "ensimmäiseksi asiaksi, jonka ulkopuolella mikään osa x: sta"] on löydettävissä, ja ensimmäinen asia, jonka sisällä jokaisen x: n osan on löydettävä. " (Metafysiikka 1022 a) Tämä määritelmä on riittävän intuitiivinen, ja sitä voidaan pitää luonnollisena lähtökohtana kaikille rajan käsitteen tutkimuksille. Tosiaankin, vaikka Aristoteleen määritelmää oli tarkoitus soveltaa vain aineellisiin esineisiin, se soveltuu intuitiivisesti myös tapahtumiin (sikäli kuin niillä on vainologinen rakenne) ja laajasti myös abstraktiin kokonaisuuksiin, kuten käsitteisiin ja joukkoihin (vertaa rajan topologisesti standardikäsitystä) joukosta x kuin niiden pisteiden joukosta, joiden kaikki naapurit leikkaavat sekä x: n että x: n komplementin.) Tämän intuitiivinen luonnehdinta on kuitenkin lähde useille arvoituksille, jotka oikeuttavat filosofisen huolen, etenkin väliaikaisten yksityiskohtien, kuten esineiden ja tapahtumien, rajat.

1.1 Omistus vs. tuntemattomat rajat

Ensimmäinen palapeli liittyy intuitioon, jonka mukaan raja erottaa kaksi kokonaisuutta (tai saman osan kaksi osaa), joiden sanotaan olevan jatkuvia keskenään. Kuvittele itsemme matkustavan Marylandista Pennsylvaniaan. Mitä tapahtuu ylittäessämme Mason-Dixon-linjan? Läpäisimmekö viimeisen pisteen p Marylandlandissa ja ensimmäisen pisteen q Pennsylvaniassa? Ei selvästikään ottaen huomioon jatkuvuuden tiheys; silloin meidän pitäisi hyväksyä ääretön määrä uusia pisteitä p: n ja q: n välillä, jotka eivät olisi kummassakaan valtiossa. Mutta yhtä selvästi voimme tuskin tunnistaa vain yhden p: stä ja q: sta olemassaolon, kuten jatkumon tavanomainen matemaattinen käsittely sanelee; niin olisi tarkoitus osoittaa raja kahden valtion välillä vain yhdelle valtiolle,ja jompikumpi valinta merkitsisi yhden valtion erityistä etuoikeutta toiseen. Ja emme voi myöskään tunnistaa p: tä q: llä, koska puhumme kahdesta vierekkäisestä valtiosta, joten niiden alueilla ei voi olla mitään yhteistä osaa. Joten, missä on Mason-Dixon-viiva ja miten se liittyy kahteen vierekkäiseen kokonaisuuteen, jotka se erottaa?

Palapeli ei ole erityinen tässä esimerkissä. Mieti Aristoteleen omaa liikkuvuuden arvoitusta: Kun esine lakkaa liikkumasta, onko se liikkeessä vai levossa? (Fysiikka VI, 234a ja sitä seuraavat kohdat.) Tai harkitse Leonardo-muistikirjoissaan esittämää dilemmaa: Mikä se on, joka jakaa ilmakehän vedestä? Onko se ilma vai onko vesi? (1938: 75 - 76). Tai harkitse taas Peircen palapeliä: Mikä väri on mustan pisteen ja sen valkoisen taustan välisen rajaviivan? (1893: 98) Ehkä lukuun / maahan liittyviin näkökohtiin voitaisiin vedota vastauksen tarjoamiseksi tässä viimeisessä tapauksessa perustuen periaatteeseen, jonka mukaan raja on aina kuvan omistama - tausta on topologisesti avoin (Jackendoff 1987, liite B). Mutta mikä on luku ja mikä on maaperää, kun kyse on mustan pisteen kahdesta vierekkäisestä puoliskosta? Mikä on luku ja mikä on maaperää, kun kyse on Marylandista ja Pennsylvaniasta? Mitä tapahtuu, kun sukellamme veteen? Tällaisissa tapauksissa intuitioon ei ole tarjota suoraviivaista tiliä. Tuskin voi kiistää sitä, että nämä kysymykset määrittelevät tärkeät valinnat, jotka minkä tahansa rajateorian - tai minkä tahansa rajapohjaisen teorian - avulla voidaan tehdä ajallisesti pidennettyjen entiteettien maailmasta.

1.2 Luonnolliset vs. keinotekoiset rajat

Toinen tyyppinen palapeli liittyy siihen tosiseikkaan, että Aristotelesin pelkkäologinen määritelmä (ja sen kaappaama järkevä intuitio) näyttää vaikuttavan vain jatkuvien kokonaisuuksien valtakuntaan. Modulon yllä mainittu vaikeus, ajatus siitä, että Maryland ja Pennsylvania rajoittuvat Mason-Dixon-linjaan, on riittävän kohtuullinen. Mutta tavalliset aineelliset esineet - voidaan huomata - eivät ole tiukasti puhuvia jatkuvia (tai tiheitä) ja esineen rajan puhuminen on kuin puhuminen fakirin kynsisängyn "litteästä yläosasta" (Simons 1991: 91). Tarkemmassa tarkastelussa fyysisten esineiden alueelliset rajat ovat kuvitteellisia kokonaisuuksia, jotka ympäröivät subatomisten hiukkasten parvia,ja niiden tarkkaan muotoon ja sijaintiin sisältyy sama mielivallan aste kuin matemaattiselle kuvaajalle, joka on tasoitettu sirotelluista ja epätarkkoista tiedoista (tai impressionistisen maalauksen henkilöistä). Samoin tarkemmassa tarkastelussa kehon liikkuminen merkitsee sitä, että rauhoittumattomien hiukkasten zillionien liikkeiden vektoriarvo, keskiarvo ajan myötä, ei ole nolla, joten ei ole mitään syytä puhua hetkestä, jolloin ruumiin lopettaa liikkumisen (Galton 1994: 4). Joten herää kysymys, ovatko rajat kuvitteelliset entiteetit - mielen projektiot - vai ovatko ne todellisuuden todellisuuden ilmaisijoita?siksi ei ole mitään syytä puhua hetkestä, jolloin keho lopettaa liikkumisen (Galton 1994: 4). Joten herää kysymys, ovatko rajat kuvitteelliset entiteetit - mielen projektiot - vai ovatko ne todellisuuden todellisuuden ilmaisijoita?siksi ei ole mitään syytä puhua hetkestä, jolloin keho lopettaa liikkumisen (Galton 1994: 4). Joten herää kysymys, ovatko rajat kuvitteelliset entiteetit - mielen projektiot - vai ovatko ne todellisuuden todellisuuden ilmaisijoita?

Jopa viitaten Mason-Dixon-linjaan - ja yleisemmin niihin rajoihin, jotka rajaavat jatkuvan jakoputken vierekkäiset osat, kuten kun yksittäinen kognitiivinen agentti käsittää mustan pisteen olevan tehty kahdesta puolikkaasta -, voidaan herättää kysymys heidän ontologinen tila. Tällaiset rajat heijastavat eri määrin älymme tai sosiaalisten käytäntöjemme organisointitoimintaa. Ja voitaisiin väittää, että usko heidän objektiivisuuteensa edustaa metafyysisen realismin muotoa, joka vaatii oikeutusta. Voimme tässä yhteydessä ottaa käyttöön käsitteellisen eron luonnollisten tai bona fide -rajojen välillä, jotka perustuvat joihinkin fyysisiin epäjatkuvuuksiin tai kvalitatiiviseen heterogeenisyyteen entiteetin ja sen ympäristön välillä, ja keinotekoisten tai fiat-rajojen välillä, jotka eivät ole niin pohjautuneita autonomisiin,mielestä riippumaton maailma (Smith 1995). Geopoliittiset rajat, kuten Mason-Dixon-linja, ovat fiat-tyyppisiä, ja voi olla hyvää, että jopa tavallisten materiaaliesineiden, kuten pöytien tai tennispallojen, pinnat sisältävät lähemmässä tarkastelussa jonkinlaisia fiat-nivelöitä. Joten kysymys on, onko olemassa vilpittömiä rajoja? Ja jos ei, onko rajapuheen fiatiteetti syy perustella antirealistinen asenne rajoihin? (Vertaa myös sitä, kuinka kysymys nousee abstraktien kokonaisuuksien valtakunnassa: Onko olemassa käsitteitä, jotka veistävät maailmaa "nivelten päällä", kuten Phaedrus 265e: n Platonin resepti sisältää?)lähemmässä tarkastelussa jonkinlaiset fiat-nivelet. Joten kysymys on, onko olemassa vilpittömiä rajoja? Ja jos ei, onko rajapuheen fiatiteetti syy perustella antirealistinen asenne rajoihin? (Vertaa myös sitä, kuinka kysymys nousee abstraktien kokonaisuuksien valtakunnassa: Onko olemassa käsitteitä, jotka veistävät maailmaa "nivelten päällä", kuten Phaedrus 265e: n Platonin resepti sisältää?)lähemmässä tarkastelussa jonkinlainen fiat-nivelten. Joten kysymys on, onko olemassa vilpittömiä rajoja? Ja jos ei, onko rajapuheen fiatiteetti syy perustella antirealistinen asenne rajoihin? (Vertaa myös sitä, kuinka kysymys nousee abstraktien kokonaisuuksien valtakunnassa: Onko olemassa käsitteitä, jotka veistävät maailmaa "nivelten päällä", kuten Phaedrus 265e: n Platonin resepti sisältää?)

Lisäksi, kun fiat / bona fide -vastaisuus on tunnustettu, on selvää, että se voidaan piirtää myös kokonaisiin esineisiin ja tapahtumiin (Smith e Varzi 2000, Smith 2001). Sikäli kuin kokonaisuuden raja (osa) on fiat-tyyppistä, itse kokonaisuutta voidaan pitää käsitteellisenä rakenteena, joten kysymys rajojen ontologisesta tilasta tulee palaksi, jolla on yleisempi kysymys tavanomaisesta tilasta. tavallisista esineistä ja tapahtumista (Heller 1990). Tämä ei tarkoita, että päätyisimme kuvitteellisiin tai muutoin epätodellisiin kokonaisuuksiin: kuten Frege kirjoitti, Pohjanmeren objektiivisuuteen”ei vaikuta se, että mielivaltaisen valinnan aiheemme on se, minkä osan kaikesta vesistä Maan pinta merkitään ja valitaan kutsumaan 'Pohjanmereksi' (1884, §26). Se kuitenkinseuraa, että kyseiset entiteetit nauttivat yksilöllisyydestä vain fiatimme seurauksena, kuten suuresta taikinasta veistetyt evästeet: niiden objektiivisuus on itsenäistä, mutta heidän yksilöllisyytensä - heidän olemuksensa sellaisena kuin he ovat, ehkä jopa heidän identiteettinsä ja niiden pysyvyysolosuhteet - riippuu leipurin toiminnasta.

1.3 Terävät vs. epämääräiset rajat

Kolmas palapeli liittyy epämääräisyyteen. Aristoteleen määritelmä (samoin kuin standardi topologia) viittaa siihen, että esineen sisä- ja ulkopuolen välillä on aina terävä raja. Silti voidaan havaita, että tavallisilla esineillä ja tapahtumilla, samoin kuin monien tavanomaisten käsitteiden laajennuksilla, voi olla rajoja, jotka ovat tietyssä mielessä epäselviä tai määrittelemättömiä. Pilvet, aavikot, vuoret, puhumattakaan impressionistisen maalauksen hahmoista, näyttävät kaikki kieltävän idealisoidun käsityksen terävästi rajallisesta esineestä. Samoin monien tapahtumien ajalliset rajat (puhumattakaan niiden alueellisista rajoista) vaikuttavat olevan määrittelemättömät. Milloin teollisuusvallankumous tarkalleen alkoi? Milloin se päättyi? (Missä se tapahtui?) Ja varmasti käsitteillä, jotka vastaavat sellaisia predikteja kuin 'kalju' tai 'pitkä', ei ole teräviä rajoja; kuten Frege sanoi,tällaisille käsitteille näyttää vastaavan "aluetta, jolla ei ole terävää rajaviivaa ympäri, vaan paikoin, jotka vain hämärtyvät taaksepäin" (1903: §56)

Kuinka tällainen epäselvyys tulkitaan? Yksi vaihtoehto on vaatia puhtaasti episteemistä tiliä: sumeus johtuisi yksinomaan tietämättömyydestä asiaankuuluvien rajojen täsmällisestä sijainnista (Sorensen 1988, Williamson 1994). Vaihtoehtoisesti tässä voidaan erottaa de-tili ja deicto-tili. De re-tili on epämääräinen ontologinen; Mount Everestin (sanoisin) raja olisi epämääräinen, koska ei ole objektiivista ja määrätietoista tosiasiaa siitä, mitkä tontit sijaitsevat kummallakin puolella (Tye 1990; Copeland 1995). Samoin tällä tilillä predikaatti, kuten 'kalju', olisi epämääräinen, koska se tarkoittaa epämääräistä joukkoa, sarjaa, jolla on todella epäselvät rajat. Sitä vastoin dedikto-tili vastaa puhtaasti kielellistä (tai käsitteellistä) käsitettä epämääräisyydestä. Tässä näkymässä ei ole epämääräistä rajaa, joka rajaa Mount Everestin; Sen sijaan on olemassa monia erillisiä tontteja, joilla jokaisella on tarkka raja, mutta kielellisissä käytännöissään ei ole valittu ketään niistä valinnasta Everest-nimen viralliseksi referenssiksi (Lewis 1986; McGee 1997). Samoin tässä mielessä kaljuilla ihmisillä ei ole epäselvää rajaa; pikemminkin kielellisissä määräyksissämme ei määritetä täysin, mikä ihmisjoukko vastaa”kalju” -laajennusta. Fiat-tyyppisten rajojen osalta dediktitili ehdottaa itsestään luonnollista: siltä osin kuin rajan määrittämiseen johtava prosessi ei välttämättä ole tarkka, kysymys siitä, onko jotain rajan sisällä vai sen ulkopuolella, voi olla semanttisesti määrittelemätön. Mutta tämä tili ei ole hyvässä uskossa (jos sellainen on) rajoilla;Jos jokin tällainen raja olisi epämääräinen, se olisi niin riippumatta kognitiivisista tai sosiaalisista artikulaatioistamme, joten de re-tili näyttäisi olevan tarpeen, mikä tarkoittaa todellista maallista määrittelemättömyyttä.

1.4 Bodiless vs. tilaa vievät rajat

Neljäs huolenaihe liittyy Aristoteleen määritelmään vaikuttaneeseen intuitioon, jonka mukaan rajat ovat alemman ulottuvuuden yksiköitä, ts. Niillä on ainakin yksi ulottuvuus vähemmän kuin niiden sidotut entiteetit. Esimerkiksi (jatkuvan) pallon pinta on kaksiulotteinen (siinä ei ole”ainetta” tai”jaettavissa olevaa massaa”), Mason-Dixon-viiva on yksiulotteinen (sillä on “pituus”, mutta ei”leveyttä”)), ja rajapiste, kuten pyramidin kärki, on nollaulotteinen (se ei ulotu mihinkään suuntaan). Tämä intuitio on tärkeä jokaiselle, mitä yleensä sanomme rajoista. Mutta se on ongelmallista siltä osin kuin se on ristiriidassa useiden itsenäisten intuitioiden kanssa, jotka ovat teosta, jossa on sekä järkeä että filosofista teoretisointia. Esimerkiksi,epistemologiassa on pysyvä perinne (Moore 1925: stä Gibson 1979: ään), jonka mukaan rajoilla on ratkaiseva merkitys havainnoinnissa: näemme (läpinäkymättömät) fyysiset esineet epäsuorasti näkemällä niiden pinnat. Mutta ei ole selvää, kuinka voidaan nähdä entiteettejä, joilla ei ole fyysistä massaa. Samoin puhumme usein pinnoista asioista, jotka voivat olla reikiä, kosteita tai naarmuuntuneita, kiillotettuja, hiottuina ja niin edelleen, ja on epäselvää, voidaanko tällaisia predikteja soveltaa aineettomiin kokonaisuuksiin. Tällaisissa tapauksissa vaikuttaa pikemminkin siltä, että pinnat (ja rajat yleisemmin; ks. Jackendoff 1991) on tulkittava "ohuiksi kerroksiksi", joiden kaavamaisesti on vähemmän ulottuvuuksia kuin kokonaisuudet, joihin ne soveltuvat. Mutta ei ole selvää, kuinka voidaan nähdä entiteettejä, joilla ei ole fyysistä massaa. Samoin puhumme usein pinnoista asioista, jotka voivat olla reikiä, kosteita tai naarmuuntuneita, kiillotettuja, hiottuina ja niin edelleen, ja on epäselvää, voidaanko tällaisia predikteja soveltaa aineettomiin kokonaisuuksiin. Tällaisissa tapauksissa vaikuttaa pikemminkin siltä, että pinnat (ja rajat yleisemmin; ks. Jackendoff 1991) on tulkittava "ohuiksi kerroksiksi", joiden kaavamaisesti on vähemmän ulottuvuuksia kuin kokonaisuudet, joihin ne soveltuvat. Mutta ei ole selvää, kuinka voidaan nähdä entiteettejä, joilla ei ole fyysistä massaa. Samoin puhumme usein pinnoista asioista, jotka voivat olla reikiä, kosteita tai naarmuuntuneita, kiillotettuja, hiottuina ja niin edelleen, ja on epäselvää, voidaanko tällaisia predikteja soveltaa aineettomiin kokonaisuuksiin. Tällaisissa tapauksissa vaikuttaa pikemminkin siltä, että pinnat (ja rajat yleisemmin; ks. Jackendoff 1991) on tulkittava "ohuiksi kerroksiksi", joiden kaavamaisesti on vähemmän ulottuvuuksia kuin kokonaisuudet, joihin ne soveltuvat.ks. Jackendoff 1991) on tulkittava "ohuiksi kerroksiksi", jotka on kaavamaistettu siten, että niillä on vähemmän ulottuvuuksia kuin kokonaisuuksilla, joihin ne soveltuvat.ks. Jackendoff 1991) on tulkittava "ohuiksi kerroksiksi", jotka on suunniteltu siten, että niillä on vähemmän ulottuvuuksia kuin kokonaisuuksilla, joihin ne soveltuvat.

On selvää, että tämä käsitteelliset jännitteet rajojen, jotka ymmärretään alempidimensioisina kokonaisuuksina, ja ohuina kerroksina ymmärrettävien rajojen välillä heijastavat tavallisessa puheessa peruuttamatonta epäselvyyttä (Stroll 1979, 1988). Ja kiistatta, se on vain ensimmäinen käsitys, joka synnyttää edellisissä kohdissa esitetyt palapelit; tilaa vieviä rajoja voidaan pitää tavallisina oikeina kappaleiden osina, joita ne sitovat. Ei kuitenkaan ole epäilystäkään siitä, että yleisellä rajojen teorialla pitäisi olla jotain sanottavaa myös toisesta käsityksestä - ja yleisemmin entiseen käsitykseen liittyvän matemaattisen idealisoinnin ja jälkimmäisen fyysisen, kognitiivisen ja filosofisen merkityksen välisestä vuorovaikutuksesta.. (Galton 2007)

2. Teoriat

Joten rajat ovat toisaalta keskeisiä maailman järkevän kuvan kannalta ja toisaalta syvästi ongelmallisia. Voimme siis erottaa kaksi päätyyppiä teorioita riippuen siitä, onko halukas ottamaan ongelmat nimellisarvoon (realistiset teoriat) vai ohittamaan ne kokonaan, käsittelemällä rajoja pelkkinä faces of parler (eliminativistiset teoriat).

2.1 Realistiset teoriat

Useimmat realistiset teoriat rajoista, jotka tulkitaan alemman ulottuvuuden kokonaisuuksiksi, ovat yhtä mieltä siitä, että tällaiset entiteetit ovat ontologisia loisia. Rajat eivät voi esiintyä erillään niistä sidotuista kokonaisuuksista, vaikka voi olla erimielisyyttä siitä, onko tämä ontologinen riippuvuus yleisluonteinen (raja ei voi olla olemassa, paitsi jos jotain rajaa) vai onko tietty (jonkin raja ei voi olla olemassa, paitsi kuin tuo asia) (Brentano 1976; Chisholm 1984). Tämä näkemys antaa oikeudenmukaisuuden intuitioon, jonka mukaan rajat, jos ne ovat todellisia, ovat jonkin verran”vähemmän todellisia” kuin tilaa vievät kokonaisuudet. Realistiset teoriat voivat kuitenkin vaihdella merkittävästi suhteessa siihen, kuinka tällaiset riippuvaiset, matalat ulottuvuudet kuvaavat entiteetit, joihin ne sitoutuvat (Varzi 1997). Niinpä osion 1 ensimmäiseen palapeliin viitaten,Olkoon A ja B kaikki kaksi laajennettua kokonaisuutta, jotka erottaa yhteinen raja (kuten Maryland ja Pennsylvania). Sitten voimme erottaa neljä pääteoriaa:

  1. Raja ei saa kuulua A: lle tai B: lle. Tämä oli viime kädessä Leonardon näkemys, vaikka se ei löydä paljon tukea uusien filosofien keskuudessa (mahdollisesti lukuun ottamatta Hestevold 1986 ja rajoitetusti Sorensen 1986). Se tarkoittaa, että A: n ja B: n välinen kosketus voi muodostua, vaikka sekä A että B ovat topologisesti avoimia, kunhan niiden välillä ei ole mitään, lukuun ottamatta niiden yhteistä ulkorajaa (ts. Niin kauan kuin A: n sulkeminen on päällekkäinen B: n sulkeutumisen kanssa). Joten tästä näkökulmasta ei ole Marylandin viimeistä kohtaa p eikä Pennsylvanian ensimmäistä kohtaa q: unionin valtiot eivät tiukasti käytä koko aluetta.
  2. Rajan on kuuluttava joko A: lle tai B: lle, vaikkakin voi olla määrittelemätön, mihin A ja B se kuuluu. Tämä teoria perustuu Bolzanon näkemykseen (1851), jota puolestaan heijastaa pisteasetettu topologia. Se merkitsee, että kosketus voi muodostua A: n ja B: n välillä vain, jos joko A tai B on topologisesti suljettu, kun taas toinen on topologisesti avoin asianomaisella kosketusalueella; mutta vetoomus määrittelemättömyyteen antaa yhden jättää asian ratkaisematta. Tätä määrittelemättömyyttä voidaan puolestaan tulkita semanttiseksi tai episteemiseksi riippuen siitä, onko merkityksellinen raja fiat-tyyppinen, kuten Mason-Dixon-linjalla, vai vilpittömässä mielessä (tämän teorian muodollista käsittelyä varten katso Casati ja Varzi 1999, luku 5 ja Varzi 2007, kohta 2.4.1).
  3. Raja voi kuulua sekä A: lle että B: lle, mutta merkityksellinen päällekkäisyys on sui generis tarkalleen siltä osin kuin se koskee alemman ulottuvuuden osia. Rajat eivät vie tilaa, joten tämän teorian suhteen ei ole epätodennäköistä sanoa, että (esimerkiksi) Mason-Dixon-linja kuuluu sekä Marylandiin että Pennsylvaniaan. Joissakin tapauksissa tämä teoria voi kuitenkin edellyttää luodin dialeettistä puremista (Priest 1987). Esimerkiksi Peircen palapelin suhteen, jos mustan pisteen ja sen valkoisen taustan rajaviiva kuuluu molemmille, sen on oltava sekä valkoinen että musta. Tietävä olisi kieltää, että rajoilla, jotka ovat pienempiä ulottuvuuksia, voi olla samoja ominaisuuksia, jotka kuvaavat pidennettyjä kappaleita, kuten väriominaisuuksia (Galton 2003: 167f). On kuitenkin epäselvää, voidaanko tätä strategiaa yleistää. Esimerkiksi,dialetheia näyttäisi nousevan uudelleen Aristoteleen palapeliin viitaten: Sillä hetkellä, kun (homogeeninen) esine käy läpi siirtymisen paikallaan liikuttamisesta, sen on oltava sekä paikallaan että liikkuvana.
  4. Rajoja voi todella olla kaksi, yksi A: lle ja toinen B: lle, ja nämä kaksi rajaa sijaitseisivat yhdessä - ts. Ne saisivat paikan päälle ilman, että ne saisivat päällekkäisyyksiä pelkästäänologisesti. Tämä näkemys voidaan jäljittää Brentanoon (1976), ja Chisholm (1984, 1992/1993) on kehittänyt sen yksityiskohtaisesti. Sen avulla voidaan hylätä ero suljettujen ja avoimien kokonaisuuksien välillä (joita Brentano piti "hirviömäisinä"), kohteleen kaikkia laajennettuja elimiä suljettuina. Aineellisten elinten tapauksessa niiden rajojen paikallinen yhteensovittaminen merkitsisi Locken periaatteen rikkomista yhdestä kohteesta paikoilleen (esseet, II-xxvii-1), mutta taas rikkomus olisi sui generis juuri siltä osin kuin Kyseiset entiteetit eivät vie tilaa (tämän teorian muodollisesta käsittelystä, katso myös Smith 1997).

Nämä teoriat ovat toisiaan poissulkevia, mutta niiden ei tarvitse olla tyhjentäviä, ja niitä voidaan tarkentaa tai yhdistää edelleen jaksossa 1 olevien muiden palapelien esiin tuomiin kysymyksiin. Esimerkiksi viitaten toiseen palapeliin (kohta 1.2) Smith ja Varzi (2000) on kaksisuuntainen teoria, joka on tyyppiä (2) vilpittömien rajojen suhteen ja tyyppiä (4) fiattirajojen suhteen. (Joten todellisia rajoja ei ole sattumaa, vaan vain fiat-artikulaatioita.) Samoin tyypin (2) teorioiden puolustamaa määrittelemättömyyshypoteesia voidaan pitää teoksena, jolla on sellainen määrittelemättömyys, joka liittyy epämääräisyyteen. (Kohta 1.3). Esimerkiksi fiat-rajoissa voidaan käyttää dicto-tiliä molemmissa tapauksissa: Tällaisia rajoja koskevat lausunnot ovat totta, jos ne ovat totta, ts.totta kaikilla sallituilla tavoilla kyseisten fiat-nivelten tarkistamiseksi (Varzi 2001 ja siinä olevat viitteet).

2.2 Eliminativistiset teoriat

Eliminativistiset teoriat siirtyvät ajatuksesta, että rajojen puhumiseen sisältyy jonkinlainen abstraktio - idea, joka löytyy jo keskiaikaisesta ja nykyaikaisesta keskustelusta yksilöitymättömyydestä (Zimmerman 1996, Holden 2004). Millainen abstraktio on kyse? Ja kuinka voimme ottaa huomioon tavanomaisen (ja matemaattisen) puhumme rajoista, jos ne selitetään fiktiivisiksi abstraktioiksi? Erityisesti viitaten tila-ajallisten yksityiskohtien rajoihin voimme erottaa kaksi pääasiallista lähestymistapaa.

  1. Aika-ajan substantivalistit saattavat nähdä abstraktion johtuvan tietyn ja sen väliaikaisen vastaanottoelimen välisestä suhteesta, luottaen avaruus-ajan topologiaan laskeaksemme rajapuhettamme, kun se tulee muihin kokonaisuuksiin. On esimerkiksi todettu, että rungot ovat (säännöllisten) avoimien avaruusalueiden aineellista sisältöä, ja kehon välinen rajakontakti selitetään niiden astioiden sulkeumien päällekkäisyydellä. Tämä teoria voidaan jäljittää Descartesiin (periaatteet 2.xv), ja Cartwright (1975) on nimenomaisesti ilmaissut sen. Se antaa varmasti hybridi-tilin, tilin, joka poistaa vain aineellisten kappaleiden rajat (ja laajasti myös tapahtumat); niiden astioihin kohdistuu standardi topologia, jossa rajoja käsitellään edellä olevan teorian (2) mukaisesti. Mutta tämä tili riittää ohittamaan edellä mainitut palapelit siltä osin kuin ei ole kiireellisiä ongelmia olettaen standardi topologia avaruus-ajalle. Teorian pääongelma on pikemminkin perustella väite, jonka mukaan vain jotkut alueet (esimerkiksi avoimet säännölliset alueet) ovat astiat. (Katso Hudson 2002 haasteena tälle näkemykselle.) Toisaalta, on radikaalimpia, ei-hybridiisiä teorioita, jotka toimivat ilman rajoja myös avaruus-ajan rakenteeseen (vaikutusvaltaisin esimerkki on ns. Randellin, Cui ja Cohnin RCC-laskelma 1992). Tällä hetkellä tällaisten teorioiden tulkinta on kuitenkin avoin filosofinen kysymys.perustella väitettä, että vain jotkut alueet (esimerkiksi avoimet säännölliset alueet) ovat astioita. (Katso Hudson 2002 haasteena tälle näkemykselle.) Toisaalta, on radikaalimpia, ei-hybridiisiä teorioita, jotka toimivat ilman rajoja myös avaruus-ajan rakenteeseen (vaikutusvaltaisin esimerkki on ns. Randellin, Cui ja Cohnin RCC-laskelma 1992). Tällä hetkellä tällaisten teorioiden tulkinta on kuitenkin avoin filosofinen kysymys.perustella väitettä, että vain jotkut alueet (esimerkiksi avoimet säännölliset alueet) ovat astioita. (Katso Hudson 2002 haasteena tälle näkemykselle.) Toisaalta, on radikaalimpia, ei-hybridiisiä teorioita, jotka toimivat ilman rajoja myös avaruus-ajan rakenteeseen (vaikutusvaltaisin esimerkki on ns. Randellin, Cui ja Cohnin RCC-laskelma 1992). Tällä hetkellä tällaisten teorioiden tulkinta on kuitenkin avoin filosofinen kysymys.tällaisten teorioiden tulkinta on kuitenkin avoin filosofinen kysymys.tällaisten teorioiden tulkinta on kuitenkin avoin filosofinen kysymys.
  2. Jos joku ei ole substanssivalisti koskien tilaa ja / tai aikaa, voidaan abstraktiota kuvata vetoamalla ajatukseen rajoitetun entiteetin yhä ohuemmista kerroksista (Stroll 1979: 279). Paras muotoilu tälle ajatukselle on Whiteheadin teoria "laajasta abstraktiosta" (1916, 1919), joka puolestaan voidaan jäljittää ainakin Lobachevskiin (1835/1938). (Vaihtoehtoisia formulaatioita löytyy muun muassa Tarski 1929, Menger 1940 ja Clarke 1985). Tämän vuoksi rajaelementtejä ei sisällytetä ensisijaisiin kokonaisuuksiin, jotka käsittävät vain laajennetut elimet, mutta ne kuitenkin saadaan ylemmän asteen yksiköiksi., nimittäin. sisäkkäisten kappaleiden konvergenssisarjojen ekvivalenssiluokkina. Esimerkiksi kaikkien tiettyyn palloon kuuluvien samankeskisten pallojen sarjat lähentyvät pisteeseen keskellä,kaikkien tiettyyn sylinteriin sisältyvien samanpituisten samankeskisten oikeiden sylinterien sarjat yhtyvät aksiaaliseen linjaan ja niin edelleen. Kutsu tämän tyyppinen konvergentti sarja abstraktiiviseksi luokkaksi, jos sillä ei ole pohjaa, ts. Jos mikään esine ei kuulu jokaiseen luokan jäseneen. Kutsu kaksi samansuuntaista abstraktiluokkaa vastaavaksi, jos jokaisella ensimmäisen luokan jäsenellä on toisen jäsen osaa, ja päinvastoin. (Esimerkiksi abstraktiivien pallojen luokka vastaa kaikkien palloihin kirjoitettujen kuutioiden luokkaa, jotka yhtyvät samaan pisteeseen keskellä.) Kumpaakin rajaelementtiä voidaan sitten pitää vastaavan luokan kokoontuvien abstraktien kanssa. luokkiin, ja voidaan rekonstruoida tavallinen puhe alemman ulottuvuuden rajoista puhuttaessa sellaisista korkeamman asteen yksiköistä. Tällä lähestymistavalla on analogeja myös ajallisessa valtakunnassa,missä instantteja tulkitaan joskus aikavälien joukkoiksi, jotka puolestaan tulkitaan joskus päällekkäisten tapahtumien joukkoiksi. (Locus classicus on Russell 1914; katso myös Walker 1947, Kamp 1979 ja van Benthem 1983.)

Yksi standardi vastalause tyypin (2) teorioille on, että rajojen abstraktisuus näyttää johtavan eteenpäin set-teoreettisten rakenteiden abstraktisuudesta. Pöydän pinta voidaan nähdä ja maalata, ja voi jopa nähdä ja maalata äärettömän sarjan yhä ohuempia pöytäosien kerroksia. Mutta näiden osien sarjaa ei voida maalata (paitsi jos tämä on tietysti vain toinen tapa sanoa, että osat on maalattu). Itse asiassa De Laguna (1922), yksi Whiteheadin menetelmän ensimmäisistä sponsoreista, huomautti, että pisteiden ja muiden rajojen tunnistaminen kiintoaineluokkien kanssa on avoin vakavalle virheelliselle tulkinnalle:”Vaikka näemme kiintoaineet, emme ymmärrä yhtään abstraktiivista kiintoainejoukkoa. […] Hyväksyessään abstraktijoukon, ylitämme todenmukaisesti kokemuksen ulkopuolella kuin hyväksymällä nollapituisen kiinteän aineen”(922: 460).

Kolmas vaihtoehto, vaihtoehto sekä tyypin (1) että tyypin (2) teorioille, olisi Adamsin (1884, 1996) puolustaman tyyppinen”operatiivinen” tili, jossa abstrakti prosessi, jolla rajaelementit johdetaan konkreettiset havaittavissa olevat asiat selitetään”toimintatesteillä”. On selvää, että tällaista selitystä pidetään parhaiten rinnakkaistarinaa, joka tarjoaa selityksen rajojen empiirisestä tiedosta ja pysyy lopulta neutraalina niiden ontologisen aseman suhteen.

Liite: Kukkakimppu tarjouksia

”Asia on se, jolla ei ole mitään osaa. Linja on leveä. Radan raajat ovat pisteitä. […] Pinta on se, jolla on vain pituus ja leveys. Pinnan raajat ovat viivoja. […] Raja on se, mikä on kaiken ääripää.” [Euclid, elementit, Bk I, Dfs 1-3, 5-6, 13]

”Kutsumme rajaksi kunkin asian ääripäätä, toisin sanoen ensimmäisenä asiana, jonka ulkopuolella ei löydy mitään osaa [esineestä], ja ensimmäisenä asiana, jonka sisällä jokaisen osan esineestä löytyy.” [Aristoteles, metafysiikka 1022 a]

”Elämättömiä on kaksi lajia. Jotkut heistä, kuten Jumala ja sielu, voivat kestää henkisyytensä ulkopuolella järjen ulkopuolella. Mutta toiset, kuten viiva ilman alaosaa, eivät täysin pysty olemaan niiden järjen ulkopuolella, joissa he ovat. " [Abelard, Logica 'nostrorum activi sociorum' (1994: 26)]

”Pallomainen runko ei koske litteää runkoa ensisijaisesti sellaisen osan kanssa, joka on sellainen, että jokainen sen osa koskettaa litteää runkoa. Siksi se ei kosketa sitä ensisijaisesti jonkin osan kanssa, joka on ennen kaikkia muita koskettavia osia. Pikemminkin mikä tahansa koskettava osa on silti sellainen, että puolet siitä ei kosketa heti, ja puolet siitä puoli ei kosketa heti, ja niin edelleen ad infinitum. " [William of Ockham, Quodlibetal Questions, I, q. 9, a. 2 (1991:…)]

Pisteet ovat”asioita, jotka ovat täysin jakamattomia”, linjat ovat”asioita, jotka ovat jaettavissa vain yhdessä ulottuvuudessa”, ja pinnat ovat”asioita, jotka ovat jaettavissa kahteen ulottuvuuteen”. [Riminin Gregory, lausuntokommentti, In secundum Sententiarum (Eng. Käännös Duhemista 1913/1959: 25–26)]

”Mikä se on […], joka jakaa ilmakehän vedestä? On välttämätöntä, että on olemassa yhteinen raja, joka ei ole ilmaa eikä vettä, mutta ei ole ainetta, koska kahden ruumiin väliin sijoitettu kappale estää niiden kosketusta, eikä tätä tapahdu vedessä ilman kanssa. […] Siksi pinta on kahden kehon yhteinen raja, joka ei ole jatkuva eikä ole osa yhtä tai toista, sillä jos pinta muodostuisi osaksi sitä, sillä olisi jaettavissa oleva massa, kun taas ei ole jaettavissa, ja mikään ei jaota näitä kehoja toisistaan. " [Leonardo da Vinci, muistikirjat (1938: 75-76)]

”Todellinen kontakti tapahtuu jossain kokonaisuudessa, joka todella ja muodollisesti esiintyy asioissa; sillä kontakti itsessään on todellista ja oikeasti ja muodollisesti olemassa todellisuudessa; sen vuoksi sitä esiintyy jossain todellisessa kokonaisuudessa, joka on muodollisesti olemassa asiassa; ja silti sitä esiintyy jakamattomassa asiassa; siksi tällainen jakamaton kokonaisuus esiintyy muodollisesti itse asiassa. " [Francisco Suarez, Disputationes Metaphysicae §19 (Eng. Trans. Julkaisusta Zimmerman 1996: 160)]

”[B] Ylläpitämällä emme tarkoita tässä mitään ympäröivän ruumiin osaa, vaan pelkästään raajaa, joka on ympäröivän ruumiin ja ympäröimän välillä, mikä on vain moodia; tai […] tarkoitamme yhteistä pintaa, joka on pinta, joka ei ole yhden kehon osa kuin toinen, ja jota pidetään aina samana, kunhan se säilyttää saman suuruuden ja kuvan. " [René Descartes, Filosofian periaatteet, osa 2, XV periaate (1911: 261)]

”[S] ome -koulufilosofit […] olettavat, että luonto on sekoittanut joitain matemaattisia kohtia äärettömästi jaettaviin osiin toimimaan yhteyksinä niiden välillä ja muodostamaan kehon raajat. He uskoivat tällä kykenevänsä vastaamaan myös väitteeseen kahden pinnan tunkeutuvasta kosketuksesta, mutta tämä huijaus on niin järjetöntä, että sitä ei ansaitse kumota. " [Pierre Bayle, historiallinen ja kriittinen sanakirja (1697: 370)]

”Määrittelen kehon rajan kaikkien siihen edelleen kuuluvien äärimmäisten (äusserst) eetteriatomien yhdistelmäksi. […] Tarkempi tarkastelu osoittaa edelleen, että monilla elimillä ei ole tietyissä paikoissa kokonaan rajoittavia atomeja; ketään heidän atomistaan ei voida kuvata äärimmäisiksi atomien joukossa, jotka edelleen kuuluvat siihen ja olisivat mukana, jos se alkaisi liikkua. [Kaksi kehoa on yhteydessä toisiinsa], kun toisen ääripatiat, […] yhdessä tiettyjen atomien kanssa, muodostavat jatkuvan jatkeen. " [Bernard Bolzano paradoksit äärettömästä § 66 (1851: 167–68)]

”Toisella kahdesta linjasta, johon linja jaettaisiin jakamisen yhteydessä, olisi […] päätepiste, mutta toisella ei olisi lähtökohtaa. Tämän päätelmän on aivan oikein piirtänyt Bolzano, joka johti siten hänen hirviömäiseen opinsaan, että olemassa olisi kappaleita, joissa on pintoja ja ilman niitä, toisessa luokassa on vain niin paljon kuin toisessa, koska kosketus olisi mahdollista vain kehon ja pinta ja toinen ilman. Pikemminkin hänen olisi pitänyt kiinnittää huomionsa tällaisten seurausten vuoksi siihen tosiseikkaan, että linjan ja muun jatkokäsityksen käsitys pistejoukkoista on ristiriidassa kontaktin käsitteen kanssa ja poistaa siten täsmälleen sen, mikä muodostaa jatkumo.” [Franz Brentano, nativistiset, empiristiset ja anoetistiset teoriat esityksestämme avaruudesta (1976: 146)]

"Jos punainen ja sininen pinta ovat kosketuksissa toisiinsa, niin punainen ja sininen viiva ovat samat." [Franz Brentano, siitä, mikä on jatkuvaa (1976: 41)]

”Päiväntasaajaa kutsutaan kuvitteelliseksi linjaksi, mutta olisi väärin kutsua sitä linjaksi, joka on vain ajateltu. Sitä ei luonut ajatus psykologisen prosessin tuloksena, vaan se vain tarttuu tai tarttuu ajatukseen. Jos sen pidättäminen olisi kysymys sen syntymisestä, emme voineet sanoa päiväntasaajasta mitään positiivista mitään ennen tämän oletettua syntymistä. " [Gottlob Frege, aritmeettiset perusteet, § 26 (1884: 35)]

”Käsitteen (mahdollisen predikaatin) määritelmän on […] määritettävä yksiselitteisesti minkä tahansa esineen suhteen, kuuluuko se käsitteen soveltamisalaan (kuuluuko predikaatti sitä todella vakuuttavaan). […] Voimme ilmaista tämän metaforisesti seuraavasti: käsitteellä on oltava terävä raja. Käsitteelle, jolla ei ole terävää rajaa, vastaisi aluetta, jolla ei ollut terävää rajaviivaa ympäri, mutta paikoissa, jotka vain hämärtyivät taaksepäin. " [Gottlob Frege, The Aritmetic Fundamental Laws, Voi. II, §56 (1903: 159)]

”[Meidän on erotettava luontaisten rajojen luokka ja] keinotekoisten rajojen luokka, jolla tarkoitetaan niitä rajaviivoja, jotka ihminen on keinotekoisesti tai mielivaltaisesti luonut valinnaisesti, koska ne eivät ole riippuvaisia maan pinnan luonnollisista piirteistä..” [Lord Curzon Kedlestonista, rajat (1907: 12)].

”Jos voimme antaa määritelmän pisteistä, jotka saavat ne täyttämään tietyt ehdot, parilla ei ole väliä, vaikka pisteiden itsessään tulisi osoittautua hyvin erilaisiksi kokonaisuuksiksi kuin mitä me oletelimme niiden olevan. Nämä kaksi ehtoa ovat (i), että pisteiden on oltava toisiinsa sellaisia suhteita, joita geometria vaatii; ja (ii) että pisteiden on oltava rajallisia alueita ja tilavuuksia sellaisessa suhteessa, että voidaan antaa kohtuullinen peruste lausunnolle, että tällaiset alueet ja tilavuudet voidaan tyhjentävästi analysoida pistejoukkoiksi. " [CD-laaja, tieteellinen ajatus (1959: 39)]

"Pinta", se on totta, on aineellinen kielioppia; mutta se ei ole tietyn olemassa olevan nimi, vaan ominaisuus. " [HH hinta, havainto (1932: 106)]

”Mielestäni on melko varmaa, etten havaitse suoraan käteni; ja että kun minua sanotaan (kuten voidaan sanoa oikein) sanoa "havaita" se, että "koen", se tarkoittaa, että koen (toisessa ja perusteellisemmassa mielessä) jotain, joka edustaa (sopivassa mielessä) se, nimittäin, tietty osa sen pinnasta. " [GE Moore, terveen järjen puolustus (1925: 217)]

”On väärin olettaa, että kaikella on pinta. Missä ja mikä kissan pinta on tarkalleen?” [John L. Austin, Sense and Sensibilia (1962: 100)]

”Suurin osa toiminnasta on pinta. Pinta on paikka, jossa valo heijastuu tai absorboituu, ei aineen sisäpinta. Pinta on se, mikä koskettaa eläintä, ei sisätiloja. Kemialliset reaktiot tapahtuvat pääasiassa pinnalla. Pinta on paikka, jossa tapahtuu aineiden höyrystyminen tai diffuusio väliaineeseen. Ja pinta on se, missä aineen värähteet siirtyvät väliaineeseen. " [JJ Gibson, ekologinen lähestymistapa visuaaliseen havaintoon (1979: 23)]

”Jos jatkuva esine katkaistaan puoliksi, niin siitä yhdestä rajoituksesta [joka rajaa kaksi vierekkäistä osaa] tulee kaksi rajaa, josta yhdestä tulee siis kaksi asiaa? […] Mutta miten yhdestä asiasta - vaikka se olisi vain raja - voi tulla kaksi asiaa? Ja tarkoittaako tämä, että kun kahdesta asiasta tulee jatkuvia, silloin kaksi erilaista asiaa tulee identtisiksi toistensa kanssa, jolloin kahdesta asiasta tulee yksi asia? " [Roderick Chisholm, Rajat itsenäisinä yksityiskohtina (1984: 88)]

”Syy siihen, miksi on epämääräinen siitä, mihin takaisku alkaa, ei ole se, että siellä on tämä asia, takaosa, jolla on epätarkkoja rajoja; pikemminkin on monia asioita, joilla on erilaiset rajat, eikä kukaan ole ollut tarpeeksi typerää yrittäessään päättää yhden niistä valinnasta sanan 'outback' viralliseksi referenssiksi. " [David K. Lewis, maailmojen moninaisuus (1986: 212)]

”Ei ole linjaa, joka erottaa terävästi Everestin muodostavan aineen aineesta sen ulkopuolella. Everestin rajat ovat epäselviä. Jotkut molekyylit ovat Everestin sisällä ja jotkut molekyylit ulkopuolella. Mutta joillakin on aseman määrittelemättömyys: ei ole mitään objektiivista, päättäväistä tosiasiaa siitä, ovatko he sisällä vai ulkopuolella. " [Michael Tye, epämääräiset esineet (1990: 535)]

”Epäselvä käsite on rajaton, koska mikään raja ei merkitse sitä, mikä sen alla kuuluu asioista, jotka eivät ole, ja mikään raja ei merkitse asioita, jotka ehdottomasti kuuluvat sen alaan, sellaisista asioista, jotka eivät ehdottomasti tee niin; ja niin edelleen. Ilmenemismuotoja ovat aiheiden tuntematon haluttomuus vetää sellaisia rajoja, kognitiivinen mahdoton tunnistaa tällaisia rajoja sekä tällaisten rajojen tarpeettomuus ja jopa puuttuminen.” [Mark Sainsbury, Käsitteet ilman rajoja (1990: 257)]

bibliografia

  • Abelard, 1994, Logica 'nostrorum patenti sociorum': glossula super Porphyrium, Eng. trans. kirjoittanut PV Spade,”” Glosses on porphyry”-lehdessä, PV Spade, Viisi tekstiä yliopistojen keskiaikaisesta ongelmasta, Indianapolis: Hackett, s. 26–56.
  • Adams, EW, 1984, 'Pinnalliselta', Tyynenmeren filosofinen neljännesvuosi 65: 386-407.
  • Adams, EW, 1996, 'Topologia, empirismi ja funktionalismi', The Monist 79: 1-20.
  • Aristoteles, fysiikka, julkaisussa J. Barnes (toim.) Aristoteleen, Princeton (NJ), täydelliset teokset: Princeton University Press, 1995, voi. 1.
  • Aristoteles, Metaphysics, julkaisussa J. Barnes (toim.) Aristoteles, Princeton (NJ) The Complete Works: Princeton University Press, 1995, voi. 2.
  • Austin, JL, 1962, Sense and Sensibilia (toimittanut GJ Warnock), Oxford, Oxford University Press
  • Bayle, P., 1697, Dictionaire historique ja kritiikki, Rotterdam: Reinier Leers; Eng. Trans. kirjoittanut RH Popkin, Historiallinen ja kriittinen sanakirja: Valinnat, Indianapolis: Bobbs-Merrill, 1965.
  • Bolzano, B., 1851, Paradoxien des Unendlichen, toim. F. Pihonsk, Leipzig: Reclam; Eng. trans. kirjoittanut DA Steele, Äärettömän paradokseja, Lontoo: Routledge & Kegan Paul, 1950.
  • Brentano, F., 1976, Philosophische Untersuchungen zu Raum, Zeit und Kontinuum (toimittajat S. Körner ja RM Chisholm), Hampuri: Meiner; Eng. trans. kirjoittanut B. Smith, Filosofiset tutkimukset avaruudesta, ajasta ja jatkosta, Lontoo: Croom Helm, 1988.
  • Broad, CD, 1923, Tieteellinen ajatus, New York: Harcourt.
  • Cartwright, R., 1975, 'hajallaan olevat esineet', julkaisussa K. Lehrer (toim.), Analysis and Metaphysics, Dordrecht: Reidel, sivut 153-171.
  • Casati, R., ja Varzi, AC, 1999, osat ja paikat. Spatiaalisen edustuston rakenteet, Cambridge (MA) ja Lontoo: MIT Press.
  • Chisholm, RM, 1984, 'Rajat itsenäisinä yksityiskohtina', Grazer philosophische Studien 10: 87-95.
  • Chisholm, RM, 1992/1993, 'Spatial Continuity and the Theory of Part and Whole. A Brentano Study ', Brentano Studien 4: 11-23.
  • Clarke, BL, 1985, 'Yksilöt ja pisteet', Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75.
  • Copeland, J., 1995, 'Epämääräisistä esineistä, sumetusta logiikasta ja fraktaalirajoista', Southern Journal of Philosophy 33 (Supply): 83-96.
  • Curzon, GN, 1907, Frontiers - Rooman luento, Oxford: Clarendon Press.
  • De Laguna, T., 1922, 'Piste, viiva ja pinta kiinteiden aineiden sarjoina', Journal of Philosophy 19: 449-461.
  • Descartes, R., Filosofian periaatteet, julkaisussa ES Hildane ja GRT Ross (toim.), Cambridge: The University Press, 1911.
  • Duhem, P., 1913/1959, Le système du monde; histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic, Pariisi, Hermann; osittainen Eng. trans. kirjoittanut R. Ariew, keskiaikainen kosmologia: äärettömyyden, paikan, ajan, tyhjyyden ja maailmojen moninaisuuden teoriat, Chicago: Chicago Press Press, 1985.
  • Euclid, Euclidin elementtien 13 kirjaa, Eng. trans. kirjoittanut TL Heath. Cambridge: The University Press, 1908 (1926 2).
  • Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau: Köbner; Eng. trans. kirjoittanut JL Austin, Aritmeeticin perusta, Oxford: Basil Blackwell, 1950.
  • Frege, G., 1903, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Band II, Jena, Pohle; osittainen Eng. trans. kirjoittanut PT Geach,”Aritmeettiset perusteet II”, julkaisuissa PT Geach ja M. Black (toim.), käännökset Gottlob Fregen, Oxfordin filosofisista kirjoituksista: Blackwell, 1952, s. 159–181, 234–244.
  • Galton, AP, 1994,”Hetkelliset tapahtumat”, julkaisussa HJ Ohlbach (toim.), Ajallinen logiikka: ICTL-työpajan julkaisut, Saarbrücken: Max-Planck-Institut für Informatik, Tekninen raportti MPI-I-94-230, s. 4-11.
  • Galton, AP, 2003, 'Maantieteellisten rajojen ontologisesta tilasta', julkaisussa M. Duckham et ai. (toim.), Geographic Information Science -säätiöt, Lontoo: Taylor ja Francis, sivut 151-171.
  • Galton, AP, 2007, 'Pintojen paradoksaalisesta luonteesta: ontologia fysiikan ja geometrian rajapinnalla', The Monist 90, lehdistössä.
  • Gibson, JJ, 1979, Ekologinen lähestymistapa visuaaliseen havaintoon, Boston: Houghton Mifflin.
  • Heller, M., 1990, Fyysisten esineiden ontologia: Matterin neljä ulotteista kynää, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hestevold, HS, 1986, 'Rajat, pinnat ja jatkuvat kokonaisuudet', Southern Journal of Philosophy 24: 235 - 245.
  • Holden T., 2004, asian arkkitehtuuri: Galileo - Kant, Oxford: Clarendon.
  • Hudson, H., 2002, "Kiertoalusten liberaali näkymä", Australasian Journal of Philosophy 80: 432-439.
  • Jackendoff, R., 1987, Tietoisuus ja laskennallinen mieli, Cambridge (MA): MIT Press.
  • Jackendoff, R., 1991, 'Parts and Boundaries', Cognition 41: 9-45.
  • Kamp, H., 1979, 'Tapahtumat, esiintyjät ja ajallinen referenssi', julkaisuissa R. Bäuerle, U. Egli ja A. von Stechow (toim.), Semantiikka eri näkökulmista, Berliini ja Heidelberg: Springer-Verlag, sivut 376-417.
  • Leonardo da Vinci, 1938, Leonardo da Vincin muistikirjat, valittu Eng. trans. painos kirjoittanut E. MacCurdy, Lontoo: Reynal ja Hitchock.
  • Lewis, DK, 1986, maailmojen moninaisuudesta, Oxford: Blackwell.
  • Lobachevskii, NI, 1835/1938, 'Novye naala geometrii s polnoj teoriej parallel'nyh' [uudet geometrian periaatteet täydellisellä paralleeliteorialla], Kazan, Izdatel'stvo Kazanskogo universiteta.
  • McGee, V., 1997, '' Kilimanjaro '', Canadian Journal of Philosophy 23 (Supply): 141-195.
  • Menger, K., 1940, 'Topologia ilman pisteitä', Rice Institute Pamphlets 27, 80-107.
  • Moore, GE, 1925, 'A Defense of Common Sense', julkaisussa JH Muirhead (toim.), Contemporary British Philosophy (toinen sarja), Lontoo: Allen & Unwin, s. 193-223.
  • Ockham, William of, Quodlibetal Questions, Eng. trans. kirjoittanut AJ Freddoso ja FE Kelly, New Haven (CN): Yale University Press, 1991.
  • Peirce, CS, 1893,”Määrälogiikka”, Charles Sanders Peircen kerätyissä papereissa, voi. IV, toim. kirjoittanut C. Hartshorne ja P. Weiss, Cambridge (MA): Harvard University Press, 1933.
  • Hinta, HH, 1932, havainto, Lontoo: Methuen.
  • Priest, G., 1987, ristiriidassa. Tutkimus Transconsistentistä, Bostonista ja Dordrechtista: Nijhoff.
  • Randell, DA, Cui, Z. ja Cohn, AG, 1992, "Alueellinen logiikka, joka perustuu alueisiin ja yhteyksiin", julkaisussa B. Nebel et ai. (toim.), tiedon edustamisen ja päättelyn periaatteet. Kolmannen kansainvälisen konferenssin julkaisut, Los Altos (CA): Morgan Kaufmann, sivut 165-176.
  • Russell, B., 1914, Tietojemme ulkomaailmasta, Lontoo: Allen & Unwin.
  • Sainsbury, M., 1990,”Käsitteet ilman rajoja”, avausluento, filosofian laitos, King's College, Lontoo; uusintapainos julkaisuissa R. Keefe ja P. Smith (toim.), Vagueness. A Reader, Cambridge (MA): MIT Press, 1996, sivut 251 - 264.
  • Simons, PM, 'Kasvot, rajat ja ohuet kerrokset', AP Martinich ja MJ White (toim.), Varmuus ja pinta epistemologiassa ja filosofisessa menetelmässä. Esseet Avrum Strollin kunniaksi, Lewiston: Edwin Mellen Press, sivut 87-99.
  • Smith, B., 1995, 'On Piirrä linjoja kartalla', AU Frank ja W. Kuhn (toim.), Spatial Information Theory. GIS: n teoreettinen perusta. Kolmannen kansainvälisen konferenssin julkaisut, Berliini: Springer, s. 475-484.
  • Smith, B., 1997, 'Rajat: essee mereotopologiassa', LH Hahn (toim.), Roderick Chisholmin filosofia, Chicago ja La Salle, IL: Open Court, s. 534-61.
  • Smith, B., 2001, 'Fiat Objects', Topoi 20: 131 - 148.
  • Smith, B., ja Varzi, AC, 2000, 'Fiat- ja Bona Fide -rajat, filosofia ja fenomenologinen tutkimus 60: 401-420.
  • Sorensen, RA, 1986, 'Transitions', Philosophical Studies 50: 187-193.
  • Sorensen, RA, 1988, Blindspots, Oxford: Clarendon Press.
  • Stroll, A., 1979, 'Kaksi pintakäsitettä', Midwest Studies in Philosophy 4: 277-291.
  • Stroll, A., 1988, Pinnat, Minneapolis: University of Minnesota Press.
  • Tarski A., 1929,”Les fondements de la géométrie des corps”, Ksiga Pamitkowa Pierwszkego Polskiego Zjazdu Matematycznego, Suppl. kohtaan Annales de la Société Polonaise de Mathématique 7: 29-33; Eng. trans. kirjoittanut JH Woodger, 'Kiinteiden aineiden geometrian perusteet', julkaisussa A. Tarski, Logics, Semantics, Metamathematics. Lehdet 1923 - 1938, Oxford: Clarendon, 1956, s. 24 - 29.
  • Tye, M., 1990, 'Vague Objects', Mind 99: 535-557.
  • van Benthem, J., 1983, Ajan logiikka, Dordrecht: Kluwer (2. painos 1991).
  • Varzi, AC, 1997, 'Rajat, jatkuvuus ja yhteys', Noûs 31: 26-58.
  • Varzi, AC, 2001, 'Epäselvyys maantieteessä', filosofia ja maantiede 4: 49-65.
  • Varzi, AC, 2007, 'Spatial Reasoning and Ontology: Parts, Wholes and Locations', julkaisussa M. Aiello et ai. (toim.), Spatial Logics Handbook of Spatial Logics, Berliini, Springer, s. 945-1038.
  • Walker, AG, 1947, 'Durées et instants', Revue Scientifique 85: 131-34.
  • Whitehead, AN, 1916, 'La théorie relationniste de l'espace', Revue de Métaphysique et de Morale 23: 423-454; Eng. trans. kirjoittanut PJ Hurley, "Avaruuden relaatiototeoria", Filosofian tutkimusarkisto 5 (1979): 712-741.
  • Whitehead, AN, 1919, Tutkimus ihmisten tietämyksen periaatteista, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Williamson, T., 1994, Vagueness. Lontoo: Routledge.
  • Zimmerman, DW, 1996, 'Jakamattomat osat ja laajennetut esineet: Joitakin filosofisia jaksoja topologian esihistoriasta', The Monist 79: 148-180.

Muut Internet-resurssit